Centrul de masă și centrul de greutate

În fizică, centrul de masă al unei distribuții de masă în spațiu este punctul unic în care poziția relativă ponderată a sumelor masei distribuite la zero sau punctul în care, dacă se aplică o forță, se deplasează în direcția forței fără rotire . Distribuția masei este echilibrată în jurul centrului de masă, iar media coordonatelor poziției ponderate ale masei distribuite definește coordonatele acesteia. Calculele în mecanică sunt deseori simplificate atunci când sunt formulate în funcție de centrul de masă. Este un punct ipotetic în care masa întregului obiect poate fi presupusă a fi concentrată pentru a-și vizualiza mișcarea. Cu alte cuvinte, centrul de masă este echivalentul pentru particule al unui obiect dat pentru aplicarea legilor mișcării lui Newton.

În cazul unui singur corp rigid, centrul de masă este fixat în raport cu corpul și, dacă corpul are densitate uniformă, acesta va fi localizat în centroid. Centrul de masă poate fi amplasat în afara corpului fizic, așa cum se întâmplă uneori în cazul obiectelor goale sau în formă deschisă, cum ar fi o potcoavă. În cazul unei distribuții de corpuri separate, cum ar fi planetele sistemului solar, centrul de masă poate să nu corespundă poziției unui membru individual al sistemului.

Centrul de masă este un punct de referință util pentru calculele din mecanică implicând mase distribuite în spațiu, cum ar fi forța liniară și unghiulară a corpurilor planetare și dinamica rigidă a corpului. În mecanica orbitală, ecuațiile de mișcare ale planetelor sunt formulate ca mase punctuale situate în centrele de masă. Sistemul de referință al centrului de masă este un cadru inerțial în care centrul de masă al unui sistem este în repaus față de originea sistemului de coordonate.

Istorie

Conceptul de „centru de masă” sub forma centrului de greutate a fost introdus pentru prima dată de fizicianul antic grec, matematicianul și inginerul Arhimede din Siracusa. El a lucrat cu ipoteze simplificate despre gravitație într-un câmp uniform, ajungând astfel la proprietățile matematice ale ceea ce numim acum centrul de masă. Arhimede a arătat că cuplul exercitat asupra unei pârghii prin greutăți care se găsesc în diferite puncte de-a lungul pârghiei este același cu ceea ce ar fi dacă toate greutățile s-ar muta într-un singur punct – centrul lor de masă. În lucrările pe corpuri plutitoare a demonstrat că orientarea unui obiect plutitor este cea care face ca centrul său de masă să fie cât mai scăzut posibil. A dezvoltat tehnici matematice pentru găsirea centrelor de masă a obiectelor de densitate uniformă a diferitelor forme bine definite.

Mai târziu, matematicienii care au dezvoltat teoria centrului de masă includ Pappus din Alexandria, Guido Ubaldi, Francesco Maurolico, Federico Commandino, Simon Stevin, Luca Valerio, Jean-Charles de la Faille, Paul Guldin, John Wallis, Louis Carré, Pierre Varignon, și Alexis Clairaut.

A doua lege al lui Newton este reformulat ăcu privire la centrul de masă în prima lege a lui Euler.

Definiție

Centrul de masă este punctul unic în centrul unei distribuții a masei în spațiu, care are proprietatea că suma vectorilor de poziție ponderați față de acest punct este zero. În mod analog cu statisticile, centrul de masă este locația medie a unei distribuții a masei în spațiu.

Un sistem de particule

În cazul unui sistem de particule P_i, i = 1, …, n, fiecare cu masa m_i care sunt situate în spațiu cu coordonatele r_i, i = 1, …, n, coordonatele R ale centrului de masă satisfac condiția

Σⁿ_i=1 m_i(r_i – R) = 0.

Rezolvarea acestei ecuații pentru R dă formula

R = (1/M) Σⁿ_i=1m_ir_i,

unde M este suma maselor tuturor particulelor.

Centrul de greutate

Centrul de greutate al unui corp este punctul în jurul căruia dispare cuplul rezultant datorită forțelor gravitaționale. În cazul în care un câmp gravitațional poate fi considerat uniform, centrul de masă și centrul de greutate vor fi aceleași. Cu toate acestea, pentru sateliții care se află pe orbită în jurul unei planete, în absența altor forțe de cuplu aplicate pe un satelit, variația ușoară (gradientul) în câmpul gravitațional între punctele mai apropiat (mai puternic) și mai depărtat (mai slab) de planetă determină un cuplu care va tinde să alinieze satelitul astfel încât axa sa lungă să fie verticală. Într-un astfel de caz, este important să se facă distincția între centrul de greutate și centrul de masă. Orice decalaj orizontal dintre cele două va duce la un cuplu aplicat.

Este util să observăm că centrul de masă este o proprietate fixă ​​pentru un anumit corp rigid, în timp ce centrul de greutate poate, în plus, să depindă de orientarea sa într-un câmp gravitațional neuniform. În acest din urmă caz, centrul de greutate va fi întotdeauna localizat într-o oarecare măsură mai aproape de principalul corp din punctul de vedere al atracției în comparație cu centrul de masă și astfel își va schimba poziția în corpul de interes, pe măsură ce se va schimba orientarea sa.

În studiul dinamicii aeronavelor, vehiculelor și navelor, forțele și momentele trebuie rezolvate în raport cu centrul de masă. Acest lucru este cu adevărat independent de faptul dacă gravitația în sine este luată în considerație. Când efectele gradientului gravitațional sunt neglijabile, centrul de greutate și centrul de masă sunt aceleași și sunt folosite interschimbabil.

Localizarea centrului de masă

(Metoda firului cu plumb)

Determinarea experimentală a centrului de masă al unui corp folosește forțe gravitaționale pe corp și se bazează pe faptul că în câmpul gravitațional, paralel lângă suprafața pământului, centrul de masă este același cu centrul de greutate.

Centrul de masă al unui corp cu o axă de simetrie și densitate constantă trebuie să se afle pe această axă. Astfel, centrul de masă al unui cilindru circular cu densitate constantă are centrul său de masă pe axa cilindrului. În același mod, centrul de masă al unui corp sferic simetric de densitate constantă se află în centrul sferei. În general, pentru orice simetrie a unui corp, centrul său de masă va fi un punct fix al acestei simetrii.

În două dimensiuni

O metodă experimentală pentru localizarea centrului de masă este suspendarea obiectului din două locații și lăsarea firelor cu plumb să atârne de punctele de suspensie. Intersecția celor două linii este centrul de masă.

Forma unui obiect ar putea fi deja determinată matematic, dar ar putea fi prea complexă pentru a folosi o formulă cunoscută. În acest caz, se poate subdiviza forma complexă în forme mai simple, mai elementare, ale căror centre de masă sunt ușor de găsit. Dacă masa totală și centrul de masă pot fi determinate pentru fiecare zonă, atunci centrul de masă al întregului sistem este media ponderată a centrelor. Această metodă poate chiar să funcționeze pentru obiecte cu găuri, care pot fi considerate ca mase negative.

O dezvoltare directă a planimetrului cunoscut ca un integraf sau integrometru poate fi utilizată pentru a stabili poziția centroidului sau a centrului de masă a unei forme neregulate bidimensionale. Această metodă poate fi aplicată la o formă cu o limită neregulată, netedă sau complexă, unde alte metode sunt prea dificile. A fost folosit în mod regulat de către constructorii de nave pentru a-l compara cu deplasarea necesară și centrul de flotabilitate a unei nave, și să se asigure că nu se va răsturna.

În trei dimensiuni

O metodă experimentală de localizare a coordonatelor tridimensionale ale centrului de masă începe prin susținerea obiectului în trei puncte și măsurarea forțelor F₁, F₂ și F₃ care se opun greutății obiectului. Coordonatele centrului de masă gtrebuie să satisfacă condiția ca cuplul rezultat să fie zero.

Coordonatele tridimensionale ale centrului de masă sunt determinate prin efectuarea acestui experiment de două ori cu obiectul poziționat astfel încât forțele să fie măsurate pentru două planuri orizontale diferite prin obiect. Centrul de masă va fi intersecția a două linii obținute din cele două experimente.

Aplicații

Automobile

Inginerii încearcă să proiecteze o mașină sport, astfel încât centrul său de masă să fie coborât pentru a face mașina mai stabilă, menținând tracțiunea în timp ce execută turații relativ mari.

Profilul redus caracteristic vehiculelor militare este conceput în parte pentru a permite înclinarea mai mare fiind vehicule mai înalte, fără să se răstoarne, deoarece centrul său redus de masă ar ajunge peste spațiul delimitat de cele patru roți.

Aeronautică

Centrul de masă este un punct important al unei aeronave, care afectează în mod semnificativ stabilitatea aeronavei. Pentru a se asigura că aeronava este suficient de stabilă pentru a fi sigură să zboare, centrul de masă trebuie să se încadreze în limitele specificate. Dacă centrul de masă se află în fața poziției viitoare, aeronava va fi mai puțin manevrabilă, chiar până la imposibilitatea de a se roti pentru decolare sau la aterizare. Dacă centrul de masă se află în spatele limitei posterioare, aeronava va fi mai manevrabilă, dar și mai puțin stabilă și, eventual, atât de instabilă încât este imposibil să zboare.

Pentru elicopterele care se deplasează, centrul de masă este întotdeauna direct sub capul rotor. În zborul înainte, centrul de masă se va deplasa înainte pentru a echilibra cuplul negativ de torsiune produs prin aplicarea controlului ciclic pentru a propulsa elicopterul înainte; în consecință, un elicopter de croazieră zboară „cu nasul în jos” în zborul la nivel constant.

Astronomie

Centrul de masă joacă un rol important în astronomie și astrofizică, unde este denumit în mod obișnuit baricentru. Barcentrul este punctul dintre două obiecte în care se echilibrează unul pe celălalt; este centrul maselor unde două sau mai multe corpuri cerești se orbitează reciproc. Când o lună orbitează pe o planetă sau o planetă orbitează o stea, ambele corpuri circulă în jurul unui punct care se află departe de centrul corpului mai mare. De exemplu, Luna nu orbitează centrul exact al Pământului, ci un punct pe o linie între centrul Pământului și Lună, la aproximativ 1710 km de suprafața Pământului, unde se echilibrează masele acestora. Acesta este punctul față de care Pământul și Luna orbitează în timp ce se deplasează în jurul Soarelui. Dacă masele sunt mai asemănătoare, de exemplu Pluto și Charon, baricentrul va cădea în afara celor două corpuri.

Mișcarea corpurilor umane

Atunci când atleții sar la înălțime, folosesc o tehnică specifică, își îndoaie corpurile în așa fel încât să trec peste bară în timp ce centrul lor de masă poate să rămâă sub bară. Deoarece este înălțimea centrului de greutate (mai degrabă decât cea mai înaltă parte a corpului) care determină energia minimă pentru „trecerea” barei, „șerpuirea peste” bară poate reduce energia folosită pentru a propulsa corpul în sus .

În kinesiologie și biomecanică, centrul de masă este un parametru important care ajută oamenii să înțeleagă locomoția lor umană. În mod obișnuit, centrul de masă al omului este detectat prin una din cele două metode: Metoda plăcii de reacție este o analiză statică implicând persoana care se află pe acel instrument și folosirea ecuației statice de echilibru pentru a-i găsi centrul de masă; metoda de segmentare se bazează pe o soluție matematică bazată pe principiul fizic conform căruia sumarea momentelor de cuplu ale secțiunilor individuale ale corpului, față de o axă specificată, trebuie să fie egală cu momentul cuplului întregului sistem care constituie corpul, măsurat în raport cu aceeași axă.