Contracția lungimii în teoria relativității speciale

Contracția lungimii este fenomenul în care lungimea obiectului în mișcare măsurată este mai mică decât lungimea corespunzătoare, adică decât lungimea măsurată în cadrul propriu-zis al obiectului. Această contracție (mai formală numită contracție Lorentz sau contracție Lorentz-FitzGerald după Hendrik Lorentz și George Francis FitzGerald) este de obicei vizibilă doar la o fracțiune substanțială a vitezei luminii. Contracția lungimii este numai în direcția paralelă cu direcția în care se deplasează corpul observat. Pentru obiectele standard, acest efect este neglijabil la vitezele obișnuite și poate fi ignorat în toate scopurile normale, devenind semnificativ numai atunci când obiectul se apropie de viteza luminii în raport cu observatorul.

Istorie

Lungimea contracției a fost postulată de George FitzGerald (1889) și Hendrik Antoon Lorentz (1892) pentru a explica rezultatul negativ al experimentului Michelson-Morley și pentru a salva ipoteza eterului staționar (ipoteza contracției Lorentz-FitzGerald). Deși FitzGerald și Lorentz au făcut aluzie la faptul că câmpurile electrostatice în mișcare au fost deformate („elipsoid Heaviside” după Oliver Heaviside, care a derivat această deformare din teoria electromagnetică în 1888), a fost considerată o ipoteză ad-hoc, nu era un motiv suficient pentru a presupune că forțele intermoleculare se comportă la fel ca cele electromagnetice. În 1897, Joseph Larmor a dezvoltat un model în care toate forțele sunt considerate a fi de origine electromagnetică, iar contracția lungimii părea a fi o consecință directă a acestui model. Cu toate acestea, Henri Poincaré (1905) a arătat că forțele electromagnetice nu pot explica stabilitatea electronului. Așa că a trebuit să introducă o altă ipoteză ad-hoc: forțele de legătură neelectrice (forțele Poincaré) care asigură stabilitatea electronului, dau o explicație dinamică contracției lungimii și ascund astfel mișcarea eterului staționar.

În cele din urmă, Albert Einstein (1905) a fost primul care a înlăturat complet caracterul ad-hoc din ipoteza contracției, demonstrând că această contracție nu necesită mișcare printr-un presupus eter, dar poate fi explicată folosind relativitatea specială, care ne-a schimbat noțiunile de spațiu, timp și simultaneitate. Viziunea lui Einstein a fost elaborată în continuare de Hermann Minkowski, care a demonstrat interpretarea geometrică a tuturor efectelor relativiste prin introducerea conceptului său de spațiu-timp în patru dimensiuni.

Bazele relativității

(În relativitate specială, observatorul măsoară evenimentele cu o rețea infinită de ceasuri sincronizate.)

În primul rând este necesar să se ia în considerare cu atenție metodele de măsurare a lungimilor obiectelor în repaus și în mișcare. Aici, „obiect” înseamnă pur și simplu o distanță cu puncte finale care sunt întotdeauna reciproc în repaus, adică sunt în repaus în același cadru de referință inerțial. Dacă viteza relativă dintre un observator (sau instrumentele sale de măsurare) și obiectul observat este zero, atunci lungimea corespunzătoare L₀ a obiectului poate fi determinată pur și simplu prin suprapunerea directă a unei bare de măsurare. Cu toate acestea, dacă viteza relativă > 0, atunci se poate proceda după cum urmează:

(Contracția lungimii: trei tije albastre sunt în repaus în S și trei tije roșii în S’. În momentul în care capetele din stânga ale lui A și D ating aceeași poziție pe axa lui x, lungimile tijelor vor fi comparate. În pozițiile S, pozițiile simultane ale laturii stângi a lui A și partea dreaptă a lui C sunt mai îndepărtate decât cele ale lui D și F. În timp ce în S’ pozițiile simultane ale laturii stângi a lui D și partea dreaptă a lui F sunt mai îndepărtate decât cele ale lui A și C.)

Observatorul instalează un șir de ceasuri care sunt sincronizate fie a) prin schimbarea semnalelor luminoase în conformitate cu sincronizarea Poincaré-Einstein, fie b) prin „transportul ceasului lent”, adică un ceas este transportat de-a lungul rândului de ceasuri în funcție de viteza de transport. Acum, când procesul de sincronizare este terminat, obiectul este mutat de-a lungul rândului de ceas și fiecare ceas stochează ora exactă când trece partea stângă sau cea dreaptă a obiectului. După aceea, observatorul trebuie să aibă grijă doar de poziția unui ceas A care a păstrat timpul când trece partea stângă a obiectului și un ceas B la care capătul drept al obiectului trece simultan . Este clar că distanța AB este egală cu lungimea L a obiectului în mișcare. Folosind această metodă, definiția simultană este crucială pentru măsurarea lungimii obiectelor în mișcare.

O altă metodă este utilizarea unui ceas care indică timpul său corespunzător T₀, care se deplasează de la un capăt al barei la celălalt în timpul T măsurat prin ceasuri în cadrul în repaus al barei. Lungimea barei poate fi calculată prin înmulțirea timpului său de deplasare cu viteza sa, deci L₀ = T·v în cadrul de repaus al barei sau L = T₀·v în cadrul de repaus al ceasului.

În mecanica newtoniană, simultaneitatea și durata de timp sunt absolute și, prin urmare, ambele metode conduc la egalitatea lui L și L₀. Cu toate acestea, în teoria relativității constanța vitezei luminii în toate cadrele inerțiale în legătură cu relativitatea simultaneității și dilatarea timpului distruge această egalitate. În prima metodă, un observator dintr-un cadru susține că a măsurat simultan punctele finale ale obiectului, dar observatorii din toate celelalte cadre inerțiale vor argumenta că punctele terminale ale obiectului nu au fost măsurate simultan. În cea de-a doua metodă, timpii T și T₀ nu sunt egali datorită dilatării timpului, rezultând de asemenea lungimi diferite.

Abaterea dintre măsurători în toate cadrele inerțiale este dată de formulele pentru transformarea Lorentz și dilatarea timpului. Lungimea proprie rămâne neschimbată și indică întotdeauna cea mai mare lungime a unui obiect, iar lungimea aceluiași obiect măsurată într-un alt cadru de referință inerțial este mai scurtă decât lungimea corespunzătoare. Această contracție are loc numai de-a lungul liniei de mișcare și poate fi reprezentată de relația

L = L₀/γ(v)

unde: L este lungimea observată de un observator în mișcare față de obiect, L₀ este lungimea corectă (lungimea obiectului în cadrul de repaus), γ(v) este factorul Lorentz, definit ca

γ(v) ≡ 1/√(1 – v²/c²)

unde: v este viteza relativă dintre observator și obiectul în mișcare, c este viteza luminii.

Înlocuirea factorului Lorentz în formula originală duce la relația

L = L₀/√(1 – v²/c²)

În această ecuație, atât L, cât și L₀ sunt măsurate paralel cu linia de mișcare a obiectului. Pentru observatorul în mișcare relativă, lungimea obiectului este măsurată prin scăderea distanțelor măsurate simultan la ambele capete ale obiectului. Pentru mai multe conversii generale, se aplică transformările Lorentz. Un observator în stare de repaus văzând un obiect care călătorește foarte aproape de viteza luminii ar observa lungimea obiectului în direcția mișcării ca fiind aproape de zero.

Astfel, la o viteză de 13.400.000 m/s (30 milioane mph, 0.0447c) lungimea contractată este de 99,9% din lungimea în repaus; la o viteză de 42.300.000 m/s (95 milioane mph, 0.141c), lungimea este încă 99%. Deoarece magnitudinea vitezei se apropie de viteza luminii, efectul devine proeminent.

Simetrie

Diagrama Minkowski:

(În S toate evenimentele paralele cu axa lui x sunt simultane, în timp ce în S’ toate evenimentele paralele cu axa lui x’ sunt simultane.)

(O bară este transportată de la S la S’.)

Principiul relativității (conform căruia legile naturii trebuie să aibă aceeași formă în toate cadrele de referință inerțiale) impune contracția lungimii să fie simetrică: Dacă o tijă este în repaus față de un cadru inerțial S, ea are lungimea corespunzătoare în S și lungimea sa este contractată în S’. Cu toate acestea, dacă o tijă se află în S’, ea are lungimea corespunzătoare în S’ și lungimea ei este contractată în S. Aceasta poate fi ilustrată foarte bine folosind diagrame simetrice Minkowski (sau diagrame Loedel), deoarece transformarea Lorentz corespunde geometric unei rotații în spațiu-timp patrudimensional.

Prima imagine: Dacă se dă o tijă în repaus în S’, atunci punctele sale finale sunt situate pe axa ct’ și pe axa paralelă cu aceasta. În acest cadru pozițiile simultane (paralele cu axa lui x’) ale punctelor finale sunt O și B, astfel lungimea corespunzătoare este dată de OB. Dar în S pozițiile simultane (paralele cu axa lui x) sunt O și A, astfel lungimea contractată este dată de OA.

Pe de altă parte, dacă o altă tijă este în repaus în S, atunci punctele sale finale sunt situate pe axa ct și pe axa paralelă cu aceasta. În acest cadru, pozițiile simultane (paralele cu axa lui x) ale punctelor finale sunt O și D, deci lungimea corespunzătoare este dată de OD. Dar în S’ pozițiile simultane (paralele cu axa lui x’) sunt O și C, astfel lungimea contractată este dată de OC.

Imaginea a doua: Un tren în repaus în S și o stație în repaus în S’ cu o viteză relativă de v = 0.8 c. În S este localizată o tijă cu lungimea corespunzătoare L₀ = A B = 30 cm, deci lungimea ei contractată L’ în S’ este dată de:

L’ = AC = L₀/γ = 18 cm.

Apoi, bara va fi aruncată din tren în S și va ajunge în repaus în stația din S’. Lungimea sa trebuie măsurată din nou în conformitate cu metodele de mai sus, iar lungimea corespunzătoare L₀‘= EF = 30 cm se măsoară în S’ (tija a devenit mai mare în acel sistem), în timp ce în S tija este în mișcare și, prin urmare, lungimea sa este contractată (tija a devenit mai mică în acel sistem):

L = DE = L₀‘/γ = 18 cm.

Realitatea contracției lungimii

(Diagrama Minkowski a experimentului Einstein din 1911 privind contracția lungimii. Două tije de lungime în repaus A’B’ = A”B” = L₀ se mișcă cu 0,6c în direcție opusă, rezultând A*B* < L₀.)

În 1911, Vladimir Varićak a afirmat că contracția de lungime este „reală” conform lui Lorentz, în timp ce este „aparentă sau subiectivă”, conform lui Einstein. Einstein a răspuns:

”Autorul a declarat în mod nejustificat o diferență ăntre viziunea lui Lorentz și a mea cu privire la faptele fizice. Întrebarea dacă contracția în lungime există sau nu este înșelătoare. Nu există „într-adevăr”, în măsura în care nu există pentru un observator care se mișcă împreună cu ea; deși există „într-adevăr”, adică în așa fel încât să poată fi demonstrat în principiu prin mijloace fizice pentru un observator care nu se mișcă împreună cu ea.”
– Albert Einstein, 1911

Einstein a susținut, de asemenea, în această lucrare, că această contracție a lungimii nu este pur și simplu produsul unor definiții arbitrare cu privire la modul în care sunt efectuate regulile pentru ceas și măsurătorile de lungime. El a prezentat următorul experiment de gândire: Fie A’B’ și A”B” punctele finale ale a două bare de aceeași lungime L₀, măsurate pe x’ și respectiv x. Sunt lăsate să se miște în direcții opuse de-a lungul axei x*, considerată în repaus, cu aceeasi viteză iîn raport cu ele. Punctele terminale A’A” se întâlnesc apoi în punctul A*, iar B’B” în punctul B*. Einstein a arătat că lungimea A*B* este mai mică decât A’B’ sau A”B”, aceasta putând fi demonstrat și prin aducerea uneia dintre bare în repaus în raport cu acea axă.