Coordonate polare

Pentru a descrie locațiile punctelor sau vectorilor într-un plan, avem nevoie de două direcții ortogonale. În sistemul de coordonate carteziene aceste direcții sunt date de vectorii unitari iˆ și jˆ de-a lungul axei x și, respectiv, a axei y. Sistemul de coordonate carteziene este foarte convenabil pentru a descrie deplasările și vitezele obiectelor și forțele care acționează asupra acestora. Cu toate acestea, devine greoi atunci când trebuie să descriem rotația obiectelor. Când descriem rotația, de obicei lucrăm în sistemul de coordonate polare.

În sistemul de coordonate polare, locația punctului P într-un plan este dată de două coordonate polare (Figura 2.20). Prima coordonată polară este coordonata radială r, care este distanța punctului P de la origine. A doua coordonată polară este un unghi φ pe care vectorul radial îl face cu o direcție aleasă, de obicei direcția x pozitivă. În coordonatele polare, unghiurile sunt măsurate în radiani sau rad. Vectorul radial este atașat la origine și se îndreaptă departe de origine către punctul P. Această direcție radială este descrisă de un vector radial unitar rˆ. Al doilea vector unitar tˆ este un vector ortogonal pe direcția radială rˆ. Direcția pozitivă +tˆ indică modul în care unghiul φ se modifică în sens invers acelor de ceasornic. În acest fel, un punct P care are coordonatele (x, y) în sistemul dreptunghiular poate fi descris în mod echivalent în sistemul de coordonate polare prin cele două coordonate polare (r, φ). Ecuația 2.17 este valabilă pentru orice vector, așa că o putem folosi pentru a exprima coordonatele x și y ale vectorului r⃗ . În acest fel, obținem legătura dintre coordonatele polare și coordonatele dreptunghiulare ale punctului P:

(2.18) x = rcosφ ; y = rsinφ.

Figura 2.20 Folosind coordonatele polare, vectorul unitar rˆ definește direcția pozitivă de-a lungul razei r (direcția radială) și, ortogonal cu aceasta, vectorul unitar tˆ definește direcția pozitivă de rotație prin unghiul φ.

EXEMPLUL 2.6

Coordonate polare

Un căutător de comori găsește o monedă de argint într-o locație la 20,0 m distanță de o fântână uscată în direcția 20° la nord de est și găsește o monedă de aur la o locație la 10,0 m distanță de fântână în direcția 20° la nord de vest. Care sunt coordonatele polare și dreptunghiulare ale acestor descoperiri în raport cu puțul?

Strategie

Fântâna marchează originea sistemului de coordonate, iar estul este direcția +x. Identificăm distanțe radiale de la locații până la origine, care sunt r_S = 20,0 m (pentru moneda de argint) și r_G = 10,0 m (pentru moneda de aur). Pentru a găsi coordonatele unghiulare, convertim 20° în radiani: 20° = π20/180 = π/9. Folosim ecuația 2.18 pentru a găsi coordonatele x și y ale monedelor.

Soluție

Coordonata unghiulară a monedei de argint este φ_S = π/9, în timp ce coordonata unghiulară a monedei de aur este φ_G = π − π/9 = 8π/9. Prin urmare, coordonatele polare ale monedei de argint sunt (r_S, φ_S) = (20,0 m, π/9) iar cele ale monedei de aur sunt (r_G, φ_G) = (10,0 m, 8π/9). Înlocuim aceste coordonate in ecuația 2.18 pentru a obține coordonatele dreptunghiulare. Pentru moneda de aur, coordonatele sunt

x_G = r_Gcosφ_G = (10,0 m)cos8π/9 = −9,4 m ; y_G = r_Gsinφ_G = (10,0 m)sin8π/9 = 3,4 m ⇒ (x_G,y_G) = (−9,4 m, 3,4 m).

Pentru moneda de argint, coordonatele sunt

x_S = r_Scosφ_S = (20,0 m)cosπ/9 = 18,9 m ; y_S = r_Ssinφ_S = (20,0 m)sinπ/9 = 6,8 m ⇒ (x_S, y_S) = (18,9 m, 6,8 m).

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu