Estimări intuitive și calcule Fermi în știință și inginerie

În multe ocazii, fizicienii, alți oameni de știință și inginerii trebuie să facă estimări intuitive pentru o anumită cantitate. Alți termeni folosiți uneori sunt ghiciri, aproximări ale ordinului de mărime, calcule din spatele anvelopei sau calcule Fermi. (Fizicianul Enrico Fermi menționat mai devreme era renumit pentru capacitatea sa de a estima diverse tipuri de date cu o precizie surprinzătoare.) Va încăpea acel echipament în spatele mașinii sau trebuie să închiriem un camion? Cât va dura această descărcare? Cam cât de mare va fi un curent în acest circuit când este pornit? Câte case ar putea fi alimentate de o centrală electrică propusă dacă este construită? Rețineți că a estima nu înseamnă a ghici un număr sau o formulă la întâmplare. Mai degrabă, estimarea înseamnă folosirea experienței anterioare și a unui raționament fizic solid pentru a ajunge la o idee aproximativă a valorii unei cantități. Deoarece procesul de determinare a unei aproximări fiabile implică de obicei identificarea principiilor fizice corecte și o estimare bună a variabilelor relevante, estimarea este foarte utilă în dezvoltarea intuiției fizice. Estimările ne permit, de asemenea, să efectuăm „verificări corecte” asupra calculelor sau propunerilor de politici, ajutându-ne să excludem anumite scenarii sau cifre nerealiste. Ele ne permit să-i provocăm pe alții (precum și pe noi înșine) în eforturile noastre de a afla adevăruri despre lume.

Multe estimări se bazează pe formule în care cantitățile de intrare sunt cunoscute doar cu o precizie limitată. Pe măsură ce dezvoltați abilități de rezolvare a problemelor de fizică (care sunt aplicabile într-o mare varietate de domenii), veți dezvolta și abilități de estimare. Dezvoltați aceste abilități gândind cantitativ fiind chiar dispus să vă asumați riscuri. Ca în orice abilitate, experiența ajută. Familiarizarea cu dimensiunile, precum și cu scalele cantităților de bază ajută, de asemenea.

Pentru a face unele progrese în estimare, trebuie să aveți câteva idei clare despre modul în care variabilele pot fi legate. Următoarele strategii vă pot ajuta în practicarea artei estimării:

• Obțineți lungimi mari din lungimi mai mici. Când estimați lungimile, amintiți-vă că orice poate fi o riglă. Astfel, imaginați-vă că împărțiți un lucru mare în fragmente mai mici, estimați lungimea unuia dintre fragmentele mai mici și înmulțiți cu numărul lor pentru a obține lungimea lucrului mare. De exemplu, pentru a estima înălțimea unei clădiri, mai întâi numărați câte etaje are. Apoi, estimați cât de mare este un singur etaj imaginându-vă câți oameni ar trebui să stea pe umerii celuilalt pentru a ajunge la tavan. În sfârșit, estimați înălțimea unei persoane. Produsul acestor trei estimări este estimarea dumneavoastră a înălțimii clădirii. Este de ajutor să fi memorat câteva scale de lungime relevante pentru tipurile de probleme pe care le rezolvați. De exemplu, cunoașterea unora dintre scalele de lungime ar putea fi utilă. Uneori, de asemenea, ajută să faceți acest lucru în sens invers, adică pentru a estima lungimea unui lucru mic, imaginați-vă că o grămadă dintre ele formează un lucru mai mare. De exemplu, pentru a estima grosimea unei foi de hârtie, estimați grosimea unui teanc de hârtie și apoi împărțiți la numărul de pagini din teanc. Aceleași strategii de împărțire a lucrurilor mari în lucruri mai mici sau de agregare a lucrurilor mai mici într-un lucru mai mare pot fi uneori folosite pentru a estima alte cantități fizice, cum ar fi mase și timpi.
• Obțineți suprafețe și volume din lungimi. Când aveți de-a face cu o arie sau un volum al unui obiect complex, introduceți un model simplu al obiectului, cum ar fi o sferă sau o cutie. Apoi, estimați mai întâi dimensiunile liniare (cum ar fi raza sferei sau lungimea, lățimea și înălțimea casetei) și utilizați estimările pentru a obține volumul sau aria din formule geometrice standard. Dacă se întâmplă să aveți o estimare a ariei sau volumului unui obiect, puteți face și invers; adică folosiți formule geometrice standard pentru a obține o estimare a dimensiunilor sale liniare.
• Obțineți mase din volume și densități. Când se estimează masele unor obiecte, poate ajuta mai întâi să estimați volumul și apoi să-i estimeze masa dintr-o estimare aproximativă a densității sale medii (reamintim, densitatea are dimensiunea masei divizată la lungimea cubică, deci masa este densitatea ori volumul). Pentru aceasta, este util să ne amintim că densitatea aerului este de aproximativ 1 kg/m³, densitatea apei este de 10³ kg/m³, iar cele mai dense solide obișnuite ajung la maxim la aproximativ 10⁴ kg/m³. Dacă vă întrebați dacă un obiect plutește sau se scufundă fie în aer, fie în apă, obțineți o estimare a densității sale. Puteți face acest lucru și invers; dacă aveți o estimare a masei și a densității unui obiect, le puteți utiliza pentru a obține o estimare a volumului acestuia.
• Dacă toate celelalte metode eșuează, limitați. Pentru cantitățile fizice pentru care nu aveți prea multă intuiție, uneori cel mai bine ce puteți face este să vă gândiți la ceva de genul: Ei bine, trebuie să fie mai mare decât asta și mai mică decât aia. De exemplu, să presupunem că trebuie să estimați masa unui elan. Poate că aveți multă experiență cu elanul și cunoașteți masa lor medie din experiență. Dacă da, e grozav. Dar pentru majoritatea oamenilor, cel mai bun lucru pe care-l pot face este să gândească ceva de genul: trebuie să fie mai mare decât o persoană (de ordinul 10² kg) și mai mic decât o mașină (de ordinul 10³ kg). Dacă aveți nevoie de un singur număr pentru un calcul ulterior, puteți lua media geometrică a limitei superioare și inferioare, adică le înmulțiți împreună și apoi extrageți rădăcina pătrată. Pentru exemplul de mai sus, masa elanului ar fi

(10² × 10³)^0,5 = 10^2,5 = 10^0,5 × 10² ≈ 3 × 10² kg.

Cu cât limitele sunt mai strânse, cu atât e mai bine. De asemenea, nicio regulă nu este de neîncălcat atunci când vine vorba de estimare. Dacă credeți că valoarea cantității este probabil mai aproape de limita superioară decât de limita inferioară, atunci vă recomandăm să vă măriți estimarea de la media geometrică cu un ordin sau două de mărime.

• O cifră semnificativă este suficientă. Nu este nevoie să depășiți o cifră semnificativă, sau o cifră în coeficientul unei expresii în notație științifică, atunci când faceți calcule pentru a obține o estimare. În cele mai multe cazuri, ordinul de mărime este suficient de bun. Scopul este doar de a ajunge la o cifră apropiată, așa că păstrați aritmetica cât mai simplă posibil.
• Întrebați-vă: Are acest lucru vreun sens? În sfârșit, verificați dacă răspunsul dvs. este rezonabil. Cum se compară cu valorile altor cantități cu aceleași dimensiuni pe care le cunoașteți deja sau le puteți căuta cu ușurință? Dacă primiți un răspuns ciudat (de exemplu, dacă estimați că masa Oceanului Atlantic este mai mare decât masa Pământului sau un interval de timp mai lung decât vârsta universului), verificați mai întâi dacă unitățile dvs. sunt corecte. Apoi, verificați erorile aritmetice. Apoi, regândiți logica pe care ați folosit-o pentru a ajunge la răspunsul dvs. Dacă totul se verifică, s-ar putea să fi dovedit că o idee nouă este de fapt falsă.

EXEMPLUL 1.6 Masa oceanelor Pământului Estimați masa totală a oceanelor de pe Pământ. Strategie Știm că densitatea apei este de aproximativ 103 kg/m3, așa că începem cu sfatul de a „obține mase din densități și volume”. Astfel, trebuie să estimăm volumul oceanelor planetei. Folosind sfatul pentru „a obține zone și volume din lungimi”, putem estima volumul oceanelor ca suprafață înmulțită cu adâncimea medie sau V = AD. Cunoaștem diametrul Pământului și știm că cea mai mare parte a suprafeței Pământului este acoperită de apă, așa că putem estima suprafața oceanelor ca fiind aproximativ egală cu suprafața planetei. Urmând sfatul de a „obține suprafețe și volume din lungimi” din nou, putem aproxima Pământul ca sferă și putem folosi formula pentru suprafața unei sfere cu diametrul d – adică A = πd2, pentru a estima suprafața oceanelor. Acum trebuie doar să estimăm adâncimea medie a oceanelor. Pentru aceasta, folosim sfatul: „dacă toate celelalte metode eșuează, limitați”. Se întâmplă să știm că cele mai adânci puncte ale oceanului sunt în jur de 10 km și că nu este neobișnuit ca oceanul să fie mai adânc de 1 km, așa că vom considera că adâncimea medie este în jur de (103 × 104)0,5 ≈ 3 × 103 m. Acum trebuie doar să punem totul cap la cap, ținând seama de sfatul că „o cifră semnificativă este suficientă.” Soluție Estimăm că suprafața Pământului (și, prin urmare, suprafața oceanelor Pământului) este aproximativ A = πd2 = π(107 m)2 ≈ 3 × 1014 m2. Apoi, folosind estimarea medie a adâncimii de D = 3 × 103 m, care a fost obținută prin limitare, estimăm că volumul oceanelor Pământului este V = AD = (3 × 1014 m2)(3 × 103 m) = 9 × 1017 m3. În sfârșit, estimăm masa oceanelor lumii M = ρV = (103 kg/m3)(9 × 1017 m3) = 9 × 1020 kg. Astfel, estimăm că ordinul de mărime al masei oceanelor planetei este de 1021 kg. Semnificație Pentru a ne verifica răspunsul cât mai bine, trebuie mai întâi să răspundem la întrebarea: Are acest lucru vreun sens? Din figura 1.4, vedem că masa atmosferei Pământului este de ordinul a 1019 kg și masa Pământului este de ordinul a 1025 kg. Este liniștitor faptul că estimarea noastră de 1021 kg pentru masa oceanelor Pământului se situează undeva între acestea două. Deci, da, pare să aibă sens. Se întâmplă că am făcut o căutare pe web pentru „masa oceanelor”, iar rezultatele de căutare de top au spus toate 1,4 × 1021 kg, care este de același ordin de mărime ca estimarea noastră. Acum, în loc să avem încredere orbește în oricine a pus primul acel număr pe un site web (majoritatea celorlalte site-uri probabil tocmai l-au copiat de pe ele), putem avea totuși puțin mai multă încredere în rezultatul nostru.

 

EXERCIȚIUL 1.7 Figura 1.4 spune că masa atmosferei este de 1019 kg. Presupunând că densitatea atmosferei este de 1 kg/m3, estimați înălțimea atmosferei Pământului. Credeți că răspunsul dvs. este o subestimare sau o supraestimare? Explicați de ce.

 

Răspuns: 3 × 10⁴ m sau 30 km. Este probabil o subestimare deoarece densitatea atmosferei scade cu altitudinea. (De fapt, 30 de km nici măcar nu ne scot din stratosferă.)

 

Câți acordori de pian există în București? Câte frunze sunt pe acel copac? Dacă studiezi fotosinteza sau te gândești să scrii o aplicație pentru smartphone pentru acorduri de pian, atunci răspunsurile la aceste întrebări ar putea fi de mare interes pentru tine. Altfel, probabil că nu ți-ar păsa cât de puțin care sunt răspunsurile. Cu toate acestea, acestea sunt exact tipurile de probleme de estimare pe care oamenii din diverse industrii tehnologice le-au cerut potențialilor angajați pentru a le evalua abilitățile de raționament cantitativ. Dacă construirea intuiției fizice și evaluarea afirmațiilor cantitative nu par motive suficiente pentru a practica problemele de estimare, ce zici de faptul că a fi bun la ele ți-ar putea obține un loc de muncă bine plătit?

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1