Exemplu de calcul a vectorului viteză

Calcularea vectorului viteză

Funcția poziție a unei particule este r⃗ (t) = 2,0t²iˆ + (2,0 + 3,0t)jˆ + 5,0tkˆ m. (a) Care este vectorul viteză și viteza liniară instantanee la t = 2,0 s? (b) Care este viteza vectorială medie între 1,0 s și 3,0 s?

Soluţie

Folosind ecuația 4.5 și ecuația 4.6 și luând derivata funcției poziție în raport cu timpul, găsim

(a) v(t) = dr(t)/dt = 4,0tiˆ + 3,0jˆ + 5,0kˆ m/s

v⃗(2,0 s) = 8,0iˆ + 3,0jˆ + 5,0kˆ m/s

Viteza |v⃗(2.0s)| = √(8² + 3² + 5²) = 9,9 m/s.

(b) Din ecuația 4.7,

v⃗_medie = (r⃗(t₂) − r⃗(t₁))/(t₂ − t₁) = (r⃗(3,0 s) − r⃗(1,0 s))/(3,0 s − 1,0 s) = (18iˆ + 11jˆ + 15kˆ) m − (2iˆ + 5jˆ + 5kˆ) m/2,0 s = (16iˆ + 6jˆ + 10kˆ) m/2,0 s = 8,0iˆ + 3,0jˆ + 5,0kˆ m/s.

Semnificaţie

Vedem că viteza vectorială medie este aceeași cu viteza vectorială instantanee la t = 2,0 s, ca urmare a faptului că funcția viteză vectorială este liniară. Acest lucru nu este cazul în general. De fapt, de cele mai multe ori, vitezele vectoriale instantanee și cele medii nu sunt aceleași.

Funcția de poziție a unei particule este r⃗(t) = 3,0t³iˆ + 4,0jˆ. (a) Care este viteza vectorială instantanee la t = 3 s? (b) Este viteza vectorială medie între 2 s și 4 s egală cu viteza vectorială instantanee la t = 3 s?