Fizica matematică - Cămpul electromagnetic - Ecuațiile lui Maxwell

Interacțiunea electromagnetică este descrisă prin media câmpului electromagnetic, care este soluția așa-numitelor ecuații Maxwell. Dar, deoarece ecuațiile Maxwell iau în considerare pozițiile surselor (sarcini și curenți), de obicei avem dinamica cuplată – problema ecuațiilor de câmp: câmpurile acționează asupra particulelor încărcate și particulele de sarcină acționează asupra câmpurilor.

O primă modalitate de a rezolva această problemă este studierea cazului static. O a doua modalitate este de a presupune că particulele capabile să se miște au un efect neglijabil asupra distribuției câmpului electromagnetic (se presupune că sunt create de unele surse statice „mari”). Ultima modalitate este de a aborda direct sistemul de ecuații cuplate (aceasta este modalitatea obișnuită de a trata problemele cu plasmă.

Acest capitol prezintă ecuațiile Maxwell, precum și aplicațiile lor în optică. Se arată și dualitatea dintre reprezentarea prin forțe și prin puteri ale interacțiunii electromagnetice.

Câmp electromagnetic

Ecuații pentru câmpuri: Ecuații Maxwell

Interacțiunea electromagnetică este descrisă prin intermediul câmpurilor electromagnetice: câmpul E numit câmp electric, câmpul B numit câmp magnetic, câmpul D și câmpul H. Aceste câmpuri sunt soluții ale ecuațiilor Maxwell:

div D = ρ

rot H = j + ∂D/∂t

div B = 0

rot E = − ∂B/∂t

unde ρ este densitatea de sarcină și j este densitatea de curent. Acest sistem de ecuații trebuie completat de relații suplimentare numite relații constitutive care leagă D de E și H de B. În vid, acele relații sunt:

D = ϵ₀E

H = B/μ₀

În medii materiale continue trebuie făcute ipoteze energetice.

Remarcă:

În regim armonic[1] și când nu există surse și când relațiile constitutive sunt:

· pentru câmpul D:

D(r,t) = ϵ(r,t) ∗ E(r,t)

unde ∗ reprezintă convoluția temporală\index{convoluția} (valoarea câmpului D(r,t) la momentul t depinde de valorile E la momentele anterioare) și:

· pentru câmpul B:

H = B/μ₀

Ecuațiile Maxwell implică ecuația Helmholtz:

ΔE + k²E = 0.

Remarcă:

Ecuațiile opticii sunt un caz limită al ecuațiilor Maxwell. Ecuația iconală:

grad²L = n²

unde L este calea optică și n indicele optic este obținută din ecuația Helmholtz folosind metoda WKB. Principiul Fermat poate fi dedus din ecuația iconală via ecuația razelor de lumină. Principiul Huyghens al difracției poate fi dedus din ecuația Helmholtz folosind metode integrale.

Conservarea sarcinii

Ecuația locală care traduce conservarea sarcinii electrice este:

∂ρ/∂t + divj = 0

Modelarea sarcinii

Densitatea de sarcină în ecuația Maxwell-Gauss în vid

divE = ρ/ϵ₀

trebuie luată în sensul distribuțiilor, adică E și ρ sunt distribuții. În special, ρ poate fi o distribuție Dirac, iar E poate fi discontinuă. Prin definiție:

sarcină punctiformă q situată la r = 0 este modelată de distribuția qδ(r) unde δ(r) este distribuția Dirac.
un dipol de impuls dipolar P_i este modelat prin distribuția div(Piδ(r)).
un cvadripol de tensor cvadripolar Q_i,j este modelat prin distribuție ∂x_i∂x_j(Q_i,jδ(r)).
la fel se pot defini momente de ordin superior.

Densitatea de curent j este, de asemenea, modelată prin distribuții:

monopolul nu există! Nu există un echivalent al sarcinii punctuale.
dipolul magnetic este rotA_iδ(r)

Potențial electrostatic

Potențialul electrostatic este soluția ecuației Maxwell-Gauss:

ΔV = ρ/ϵ₀

Aceste ecuații pot fi rezolvate prin metode integrale: odată găsită soluția Green a problemei (sau soluția elementară pentru o problemă cu invariante de translație), soluția pentru orice altă sursă poate fi scrisă ca o integrală simplă (sau ca o convoluție simplă pentru problema invariantă de translație). Potențialul electric V_e(r) creat de o sarcină punctuală unitară în spațiu infinit este soluția elementară a ecuației Maxwell-Gauss:

V_e(r) = 1/4πϵ₀r

Să dăm un exemplu de aplicare a metodei integrale:

Exemplu:

Potențial creat de un dipol electric, în spațiu infinit:

V_Pi = ∫V_e(r − r′)∂_i(P_iδ(r′))

Deoarece potențialul este zero la infinit, folosind formula lui Green:

V_Pi = − ∫∂_i(V_e(r − r′))(P_iδ(r′))

Din proprietățile distribuției δ, rezultă:

V_Pi = – ∂_i(V_e(r))P_i