Jetoane în cruce

de Nicolae Sfetcu | postat în: Amuzamente matematice | 0

Tot ce avem nevoie pentru acest puzzle sunt nouă jetoane, numerotate 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9. Se va vedea că în ilustrația A acestea sunt aranjate astfel încât să formeze o cruce grecească , în timp ce în cazul lui B formează o cruce latină. În ambele cazuri, cititorul va constata că suma numerelor din verticala crucii este aceeași cu suma numerelor din brațul orizontal. Este destul de ușor să ajungeți la un astfel de aranjament prin încercări, dar problema este să descoperiți cu exactitate câte feluri moduri pot fi aranjate în fiecare caz. Nu uitați că inversările și reflexiile nu se consideră ca fiind diferite. Adică, dacă rotiți această pagină, obțineți patru aranjamente ale crucii grecești pentru fiecare 90 grade, iar dacă o reflectați din nou în fața unei oglinzi, veți mai obține încă patru. Dar aceste opt sunt considerate ca fiind unul și același. Acum, câte moduri diferite există în fiecare caz?

Să ne ocupăm mai întâi de crucea grecească . Există doar optsprezece forme în care numerele pot fi asociate pentru cele două brațe. Acestea sunt:

12978 13968 14958
34956 24957 23967
23958 13769 14759
14967 24758 23768
12589 23759 13579
34567 14768 24568
14569 23569 14379
23578 14578 25368
15369 24369 23189
24378 15378 45167
24179 25169 34169
35168 34178 25178

Desigur, numărul din mijloc este comun pentru ambele brațe. Prima pereche este cea pe care am dat-o ca exemplu. Voi presupune că am scris toate aceste cruci, plasând întotdeauna primul rând al unei perechi în poziție verticală și cel de-al doilea rând în brațul orizontal. Acum, dacă lăsăm cifra centrală fixată, există 24 de moduri în care numerele în poziție verticală pot fi variate, pentru cele patru contoare pot fi schimbate în 1 × 2 × 3 × 4 = 24 moduri. Și cum cele patru din orizontală pot fi, de asemenea, schimbate în 24 de moduri pentru fiecare aranjament de pe celălalt braț, descoperim că există 24 × 24 = 576 variații pentru fiecare formă; prin urmare, deoarece există 18 forme, obținem 18 × 576 = 10.368 moduri. Dar aceasta va include jumătate din cele patru inversări și jumătate din cele patru reflecții pe care le-am restricționat, deci trebuie să împărțim la 4 pentru a obține răspunsul corect la crucea grecească, rezultând 2.592 moduri diferite. Împărțirea este cu 4 și nu cu 8, pentru că ne-am asigurat pentru jumătate din inversări și reflexii, rezervând întotdeauna un număr pentru vertical și celălalt pentru orizontal.

În cazul crucii latine, este evident că trebuie să avem de-a face cu aceleași 18 forme de împerechere. Numărul total de moduri diferite în acest caz este numărul complet, 18 × 576. Datorită faptului că brațele superioare și inferioare au o lungime inegală, permutările se vor repeta prin reflexe, dar nu prin inversare, pentru că nu putem inversa. Prin urmare, acest fapt presupune doar împărțirea cu 2. Dar în fiecare pereche putem schimba cifrele verticale cu cele din orizontală (lucru pe care nu l-am putea face în cazul crucii grecești, întrucât brațele sunt toate deopotrivă); în consecință, trebuie să înmulțim cu 2. Această înmulțire cu 2 și împărțirea cu 2 se anulează reciproc. Prin urmare, 10.368 este aici răspunsul corect.