Probleme cu tabla de șah

Pe o tablă de șah obișnuită, 8 pe 8 pătrate, fiecare pătrat poate fi păzit, adică ocupat sau atacat de 5 regine, cel mai mic număr posibil. Există exact 91 de aranjamente fundamentale diferite în care nicio regină nu atacă o altă regină. Dacă fiecare regină trebuie să atace (sau să fie protejată de) o altă regină, există cel puțin 41 de aranjamente și am găsit 150 de moduri în care unele dintre regine sunt atacate și altele nu, însă ultimul caz este foarte dificil de evaluat exact.

Pe o tablă obișnuită de șah, fiecare pătrat poate fi păzit de 8 ture (cel mai mic număr posibil) în 40.320 de modalități, dacă nicio tură nu poate ataca o altă tură, dar nu se știe câte dintre ele sunt fundamental diferite.

Pe o tablă obișnuită de șah fiecare pătrat poate fi păzit de 8 nebuni (cel mai mic număr posibil), dacă nici un nebun nu poate ataca un alt nebun. Sunt necesari zece nebuni pentru ca fiecare nebun să fie protejat.

Pe o tablă obișnuită de șah, fiecare pătrat poate fi păzit de 12 cai, dacă toți, cu excepția a 4, nu sunt protejați. Dar dacă fiecare cal trebuie să fie protejat, sunt necesari 14 cai.

În cazul general al unei table de n x n (n²) pătrate, unde n este mai mic de 8, obținem următoarele rezultate:

1 damă păzește tabla de 2² în 1 mod fundamental (protejat).
1 damă păzește tabla de 3² în 1 mod fundamental (neprotejat).
2 dame păzesc tabla de 4² în 3 moduri fundamentale (protejate).
3 dame păzesc tabla de 4² în 2 moduri fundamentale (neprotejate).
3 dame păzesc tabla de 5² în 37 de moduri fundamentale (protejate).
3 dame păzesc tabla de 5² în 2 moduri fundamentale (neprotejate).
3 dame păzesc tabla de 6² în 1 mod fundamental (protejat).
4 dame păzesc tabla de 6² în 17 moduri fundamentale (neprotejate).
4 dame păzesc tabla de 7² în 5 moduri fundamentale (protejate).
4 dame păzesc tabla de 7² în 1 mod fundamental (neprotejate).

Aranjamente pe tabla de șah fără atac

Știm că n regine pot fi întotdeauna plasate pe o tablă pătrată de n² pătrate (dacă n este mai mare de 3) fără ca vreo regină să atace altă regină. Dar nu a fost încă descoperită nicio formulă generală care să evalueze numărul de moduri diferite în care ar putea fi făcută; probabil este nedescoperit. Rezultatele cunoscute sunt după cum urmează:

Unde n = 4 există o soluție fundamentală și 2 în total.
Unde n = 5 există 2 soluții fundamentale și 10 în total.
Unde n = 6 există o soluție fundamentală și 4 în total.
Unde n = 7 există 6 soluții fundamentale și 40 în total.
Unde n = 8 există 12 soluții fundamentale și 92 în total.
Unde n = 9 există 46 de soluții fundamentale.
Unde n = 10 există 92 de soluții fundamentale.
Unde n = 11 există 341 de soluții fundamentale.

Evident, n ture pot fi plasate fără atac pe o tablă n² în n! moduri, dar câte dintre acestea sunt fundamental diferite am aflat numai în cele patru cazuri în care n este egal cu 2, 3, 4 și 5. Răspunsurile sunt, respectiv, 1, 2, 7 și 23.

Putem plasa 2n-2 nebuni pe o tablă n² în 2ⁿ moduri. Pentru tablele care conțin 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 pătrate, pe o parte există, respectiv, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 36 aranjamente fundamentale diferite. Unde n este impar, există 2^½(n-1) astfel de aranjamente, fiecare dând 4 prin inversări și reflexii și 2^n-3-2^{½ (n-3)} care dau 8. Unde n este par există 2^½(n-2), fiecare dând 4 prin inversări și reflexii, și 2^n-3-2^½(n-4), fiecare datând 8.

Putem plasa ½ (n²+1) cai pe o tablă n² fără atac, când n este impar, în un mod fundamental; și ½n² cai pe o tablă n², când n este par, într-un mod fundamental. În primul caz plasăm toți caii în aceeași culoare ca și pătratul central; în cel de-al doilea caz îi punem pe toți pe pătrate negre sau pe albe.

Problema celor două piese

Pe o tablă de n² pătrate pot fi plasate întotdeauna două regine, două ture, doi nebuni sau doi cai, indiferent dacă să fie atacate sau nu, în 1/2(n⁴ – n²) moduri. Următoarea formulă va arăta în câte dintre aceste moduri cele două piese pot fi plasate cu atac și fără:

	Cu atac	Fără atac
2 dame	5n³ – 6n² + n	3n⁴ – 10n³ + 9n² – 2n
2 dame	3	6
2 ture	n³ – n²	n⁴ – 2n³ + n²
2 ture	n³ – n²	2
2 nebuni	4n³ – 6n² + 2n	3n⁴ – 4n³ + 3n² – 2n
2 nebuni	6	6
2 cai	4n² – 12n + 8	n⁴ – 9n² + 24n
2 cai	4n² – 12n + 8	2