Logica categorică

Luați în considerare următorul argument:

Toți oamenii sunt muritori
Toate lucrurile muritoare mor
Prin urmare, toți oamenii mor

Dacă ar fi să aplicăm testul informal al validității (din capitolul 1) acestui argument, am vedea că argumentul este valid deoarece nu este posibil să ne imaginăm un scenariu în care premisele sunt adevărate și totuși concluzia este falsă. Cu toate acestea, uitați-vă la ce se întâmplă dacă încercăm să îl traducem folosind logica propozițională. Deoarece „toți oamenii sunt muritori” este atomic (adică nu conține operatori funcționali de adevăr) îl putem traduce folosind constanta „H.” A doua premisă, „toate lucrurile muritoare mor”, este, de asemenea, atomică, deci o putem traduce folosind constanta „M.” În cele din urmă, concluzia este încă o afirmație atomică, „Toți oamenii mor”, pe care o putem traduce „D.” Deci apoi argumentul nostru este tocmai acesta:

H
M
∴ D

Problema este că acest argument nu este valid, lucru pe care îl putem vedea clar construind un tabel de adevăr. Deoarece există trei componente atomice diferite, tabelul nostru de adevăr va fi de 8 rânduri. (În următorul tabel de adevăr, deoarece coloanele de referință ar fi identice cu coloanele de premisa și concluzie, tocmai le-am colapsat pe cele două pentru a face tabelul de adevăr mai puțin redundant.)

H	M	D
A	A	A
A	A	F
A	F	A
A	F	F
F	A	A
F	A	F
F	F	A
F	F	F

Observați al doilea rând al tabelului adevărului (pe care l-am îngroșat). Premisele sunt ambele adevărate pe acel rând, cât și totuși concluzia este falsă. Asta înseamnă că acest argument nu trece testul validității tabelului adevărului și deci este invalid. Dar în mod clar acest argument este valid. Dacă este adevărat că toți oamenii sunt muritori și că toate lucrurile muritoare mor, atunci trebuie să fie adevărat că toți oamenii mor. Ceea ce relevă acest argument este una dintre limitările logicii propoziționale. Există câteva argumente care sunt valabile intuitiv (cum ar fi acesta), dar care nu pot fi dovedite a fi valabile folosind metodele logicii propoziționale. Aceasta arată că avem nevoie de alte tipuri de logică formală pentru a putea capta o gamă mai largă de inferențe logice valabile. Logica categorică ne permite să completăm logica propozițională cu o metodă formală care să gestioneze argumente de acest gen pe care logica propozițională nu le poate gestiona.

Logica categorică se ocupă de relația logică dintre enunțurile categorice. O afirmație categorică este pur și simplu o afirmație despre o categorie sau un tip de lucru. De exemplu, prima premisă a argumentului de mai sus este o afirmație despre categoriile de oameni și lucruri care sunt muritoare. A doua premisă este o afirmație despre categoriile de lucruri care sunt muritoare și lucruri care mor. În cele din urmă, concluzia este o afirmație despre oameni și lucrurile care mor. Deși ați putea gândi acest argument ca formă similară cu un silogism ipotetic, este distinct de un silogism ipotetic, deoarece premisele nu sunt compuse din două propoziții atomice diferite. Mai degrabă, fiecare premisă conține o singură propoziție atomică.

În logica categorică, termenii logici (analogi cu operatorii funcționali de adevăr ai logicii propoziționale) sunt termenii „toți” și „unii”. Spre deosebire de logica propozițională, în logica categorică vom folosi litere mari pentru a reprezenta categorii de lucruri din lume, mai degrabă decât pentru propoziții atomice. Astfel, putem reprezenta afirmația:

Toți oamenii sunt muritori

Toți H sunt M

unde „H” reprezintă categoria „oameni” și „M” reprezintă categoria „lucruri care sunt muritoare”. Observați că categoriile sunt substantive sau sintagme nominale. Astfel, în loc să spun despre categorie că este „muritoare”, am spus „lucruri care sunt muritoare”. Este important să recunoaștem diferența dintre modul în care literele majuscule sunt utilizate în logica categorică și modul în care au fost utilizate în logica propozițională. În logica categorică, majusculele reprezintă expresii substantivale care denotă categorii de lucruri din lume – de exemplu, „mașini” sau „lucruri create de om” sau „mamifere” sau „lucruri roșii”.

În logica categorică, vom folosi ceea ce se numește diagrame Venn pentru a reprezenta relațiile logice dintre diferitele tipuri de enunțuri categorice. O diagramă Venn este pur și simplu un mod de a reprezenta grafic relația logică dintre două afirmații categorice diferite. Mai jos este o diagramă Venn care reprezintă afirmația „toți oamenii sunt muritori”.

Iată cum să înțelegem această diagramă Venn. Există două cercuri care reprezintă cele două categorii, „oameni” și „lucruri care sunt muritoare”. Aceste două categorii se suprapun astfel încât intersecția celor două categorii (adică locul în care cele două cercuri se suprapun) reprezintă lucruri care sunt atât umane, cât și muritoare. Orice porțiuni umbrite ale diagramei Venn (prin „umbrite” voi însemna „înnegrite”) reprezintă că nu există nimic în acea zonă a categoriei. Deci, diagrama Venn de mai sus spune că nu există nimic în categoria „oameni” care să nu fie și în categoria „lucruri care sunt muritoare”. Diagrama Venn de mai sus permite, de asemenea, să existe lucruri care sunt în categoria „lucruri care sunt muritoare”, dar care nu sunt în categoria „oameni” (ceea ce este așa cum ar trebui să fie, deoarece, desigur, câinii sunt muritori și totuși nu sunt umani ). Deci, motivul pentru care categoria „lucruri care sunt muritoare” este lăsată neumbrită este că, spunând „toți oamenii sunt muritori”, lasă deschisă posibilitatea să existe lucruri care nu sunt umane și totuși sunt muritoare.

După cum s-a menționat mai sus, afirmația „toți oamenii sunt muritori” are o formă specială:

Toți H sunt M.

Aceasta este una dintre cele patru forme categorice. Modul în care vom reprezenta aceste forme categorice sunt în general cu un „S” (care înseamnă „termen subiect”) și un „P” (care înseamnă „termen predicat”). Astfel, afirmația categorică, „toți oamenii sunt muritori”, are următoarea formă categorică:

Toți S sunt P.

Modul în care interpretăm enunțurile acestei forme sunt după cum urmează: totul din categoria S este, de asemenea, în categoria P. Această formă de enunț este ceea ce numim o „afirmativă universală”, deoarece este o afirmație universală care nu conține o negație. Există alte trei forme de declarații categorice cu care va trebui să vă familiarizați pentru a lucra cu logica categorică. Iată-le (cu numele tipului de declarație între paranteze în dreapta:

Niciun S nu este P (negativă universală)

Unele S sunt P (afirmativă particulară)

Unele S nu sunt P (negativă particulară)

Iată trei exemple de afirmații care au aceste trei forme (respectiv):

Nicio reptilă nu naște ființe vii

Unele păsări sunt mai înalte decât președintele Obama

Unele păsări nu zboară

Observați că, deși aceste trei afirmații nu au exact aceeași formă ca formele de afirmație de mai sus, ele pot fi traduse în aceleași forme. Tot ce trebuie să facem este să ne dăm seama de sintagma nominală care descrie fiecare categorie la care se referă afirmația. Să începem cu „nicio reptilă nu naște ființe vii”. Această afirmație categorică se referă la două categorii diferite: categoria „reptilelor” și categoria „lucrurilor care nasc ființe vii”. Observați, din nou, că am adăugat „lucruri care …” la predicatul propoziției („nasc ființe vii”) deoarece „nasc ființe vii” nu este o descriere a unei categorii. Mai degrabă, modul de descriere a categoriei este cu sintagma nominală, „lucruri care nasc ființe vii”. Folosind aceste două descrieri de categorii, putem traduce această propoziție pentru a avea aceeași formă ca forma sa categorică. Tot ce trebuie să facem este să înlocuim numele categoriei subiectului (adică termenul „S”) și descrierea categoriei predicatului (adică termenul „P”). Dacă faceți acest lucru, veți obține următoarea propoziție:

Nicio reptilă nu este un lucru care naște ființe vii

Deși această propoziție sună ciudat, are aceeași formă ca forma categorică, niciun S nu este P, iar această traducere ne permite să vedem clar că așa este și astfel să vedem care sunt cele două categorii. Iată cum arată diagrama Venn pentru această afirmație:

Această diagramă Venn arată că nu există nimic în intersecția celor două categorii, „reptile” și „lucruri care nasc ființe vii”. Dacă vă gândiți la asta, exact asta spunea afirmația noastră inițială: nu există nimic care să fie atât o reptilă, cât și să nască ființe vii.

Să ne uităm la următoarea declarație, „unele păsări sunt mai înalte decât președintele Obama”. Aceasta este o afirmație nu despre toate păsările, ci despre unele păsări. Care sunt cele două categorii? O categorie este în mod clar „păsări”. Cealaltă categorie este „lucruri care sunt mai înalte decât președintele Obama”. Poate sună ca o categorie ciudată, dar este o categorie perfect legitimă. Include lucruri cum ar fi struții adulți, urși grizzly mari care stau pe picioarele din spate, girafe, clădirea Flatiron, un autobuz școlar, etc. Iată cum am traduce această propoziție folosind cele două categorii ale noastre:

Unele păsări sunt lucruri care sunt mai înalte decât președintele Obama.

Din nou, deși această propoziție sună ciudat, are aceeași formă ca forma categorică, unele S sunt P, și ne permite să vedem clar care sunt cele două categorii. Mai jos este diagrama Venn pentru această afirmație:

Prin convenție, un asterisc pe diagrama Venn înseamnă că există cel puțin un lucru în această categorie. Punând asteriscul în intersecția celor două categorii, spunem că există cel puțin un lucru care este o pasăre și este mai înaltă decât președintele Obama, exact ceea ce spunea propoziția noastră inițială.

În cele din urmă, să luăm în considerare afirmația, „unele păsări nu zboară”. Cum am traduce această propoziție pentru a avea forma „unele S nu sunt P”? Primul pas este de a obține descrierile celor două categorii folosind fie substantive, fie fraze nominale. Termenul „S” este ușor; este doar „păsări” din nou. Dar trebuie să fim puțin mai atenți cu termenul „P”, deoarece predicatul său conține o negație. Nu dorim ca niciuna dintre categoriile noastre să nu conțină o negație. Mai degrabă, negația este conținută în formă (adică „nu”). Categoria nu poate fi pur și simplu „zbor” sau chiar „zboară”, deoarece niciuna dintre acestea nu este o categorie de lucruri. Trebuie să ne folosim de trucul nostru de a transforma predicatul într-o frază nominală, adică „lucruri care zboară”. Având în vedere aceste două descrieri de categorii, putem traduce apoi propoziția pentru a avea forma categorică, unele S nu sunt P:

Unele păsări nu sunt lucruri care zboară

Din nou, deși sună ciudat aici, are aceeași formă ca forma categorică, unele S nu sunt P, și ne permite să vedem clar care sunt cele două categorii. Mai jos este diagrama Venn pentru această afirmație:

Prin convenție, un asterisc pe diagrama Venn înseamnă că există cel puțin un lucru în această categorie. Prin plasarea asteriscului în categoria „păsări”, dar în afara categoriei „lucruri care zboară”, spunem că cel puțin un lucru care este o pasăre nu este un lucru care zboară. Exact asta spunea propoziția noastră inițială.

Traducerea afirmațiilor categorice în forma lor categorică poate fi dificilă. De fapt, este probabil unul dintre aspecte mai complicate cu care veți lucra în logica formală. Nu există o modalitate simplă de a face acest lucru decât să te întrebi dacă traducerea ta surprinde cu exactitate semnificația propoziției originale. Iată un exemplu de afirmație categorică complicată:

Nimeni nu mă iubește în afară de mama mea.

Aceasta este o afirmație categorică, dar care dintre cele patru forme categorice? Primul pas este să ne întrebăm la care două categorii se face referire în această frază. Iată cele două categorii: „lucruri care mă iubesc” și „lucruri care sunt mama mea”. Observați că categoria nu ar putea fi doar „mama mea”, deoarece aceasta nu este o categorie; este un lucru special. Din nou, acest lucru sună ciudat, dar este important să ne amintim că descriem categorii de lucruri. Următoarea întrebare este: care spune această propoziție este relația dintre aceste două categorii? Sugestie: trebuie să fie una dintre cele patru forme categorice (deoarece orice afirmație categorică poate fi tradusă într-una dintre aceste patru forme). Propoziția spune că singurele lucruri care mă iubesc sunt lucruri care sunt mama mea. Forma categorică a enunțului este forma „toate S sunt P”. Astfel, propoziția, tradusă în forma categorică corectă ar fi:

Toate lucrurile care mă iubesc sunt lucruri care sunt mama mea.

Vom încheia această secțiune cu un ultim exemplu. Luați în considerare următoarea afirmație categorică:

Babuinul este o fiară înfricoșătoare.

Care dintre cele patru forme categorice se aplică la această afirmație? Deși articolul de la „babuinul”, care denotă adesea detalii, poate să-l determine pe cineva să creadă că aceasta este o formă afirmativă particulară (unele S sunt P), este de fapt o formă afirmativă universală (toate S sunt P). Această propoziție are sensul de „babuinii sunt fiare înfricoșătoare”, mai degrabă decât „acel babuin (particular) este o fiară înfricoșătoare”. Limba este ciudată, ceea ce face din traducere una dintre cele mai dificile părți ale logicii. Deci, cele două categorii sunt: „babuini” și „fiare înfricoșătoare”. Observați că, din moment ce „fiare înfricoșătoare” este deja o frază nominală, nu trebuie să adăugăm „lucruri care sunt …” la ea. Folosind cele două descrieri de categorii, traducerea în forma categorică „toate S sunt P” este astfel:

Toți babuinii sunt fiare înfricoșătoare.

În această secțiune am aflat ce sunt afirmațiile categorice, cum să traducem afirmațiile categorice într-una dintre cele patru forme categorice și cum să construim diagrame Venn pentru fiecare dintre cele patru forme categorice. Următoarele exerciții vă vor oferi o anumită practică cu partea de traducere; în secțiunile următoare vom învăța cum să folosim diagramele Venn ca metodă formală de evaluare a unei anumite clase de argumente.

Exercițiul 18

Traduceți fiecare dintre următoarele propoziții într-una dintre cele patru forme categorice (afirmativă universală, negativă universală, afirmativă particulară, negativă particulară). Asigurați-vă că descrierile celor două categorii sunt substantive sau sintagme nominale (mai degrabă decât adjective sau verbe).