Logica propozițională – Declarații

Matematica este consistentă, ceea ce înseamnă că indiferent de metoda pe care o folosești pentru a rezolva o problemă, vei obține același răspuns. Știm acest lucru deoarece, atunci când un matematician creează o nouă metodă, trebuie să demonstreze că este corectă. La începutul secolului al XX-lea, matematicienii s-au confruntat cu o problemă. Metodele noastre au funcționat în cea mai mare parte. Dar dovezile noastre era lungi demonstrații de raționament deductiv pe care le-am acceptat doar pe baza faptului că „păreau corecte”. Pe măsură ce demonstrațiile au devenit mai lungi și mai complicate, nu ne-am mai putut baza pe această intuiție. Trebuia să efectuăm un studiu matematic al demonstrației în sine. O demonstrație este o serie de afirmații, fiecare dintre acestea trebuind să decurgă din cele precedente într-un mod logic. Pentru a ne valida raționamentul, vom investiga o ramură a matematicii în care obiectele de studiu de bază nu sunt numere, ci enunțuri! Această ramură este cunoscută sub numele de logică propozițională.

Definiție: O declarație este o propoziție care face o afirmație faptică clară și lipsită de ambiguitate. Fiecare declarație are o valoare de adevăr: o etichetă adevărat sau fals care spune dacă este o declarație exactă despre lume așa cum este.

Exemplu: pentru fiecare propoziție, spuneți dacă se califică drept declarație.

1. Soarele este o stea.
2. Luna este făcută din brânză.
3. Cât de departe este Marte?
4. Ajută-mă să instalez telescopul.
5. Uau, spațiul, omule, uau!
6. Telescopul este îndreptat către o planetă.
7. Acea stea se află la mulți ani lumină distanță.
8. Acea planetă are viață pe ea!

Soluție: Vom verifica fiecare propoziție cu definiția unei declarații.

1. Da. Această propoziție face o afirmație faptică clară și lipsită de ambiguitate. Afirmația are o valoare de adevăr: este adevărată.
2. Da. Afirmația aici este o prostie, dar este totuși clar o afirmație: fie luna este făcută din brânză, fie nu este. Valoarea de adevăr a acestei afirmații este falsă.
3. Nu. Această propoziție nu face o afirmație și nu are valoare de adevăr. Nu putem spune că „Cât de departe este Marte?” este adevărat sau fals. Răspunsul la această întrebare va fi o afirmație, dar întrebările în sine nu sunt afirmații.
4. Nu. Această solicitare se referă la obiecte din lume, dar nu își face propria afirmație faptică cu privire la acestea. Nu are sens să spunem că această propoziție este adevărată sau falsă. Comenzile și cererile nu sunt declarații pentru că nu au valori de adevăr.
5. Nu. Această propoziție este o expresie a emoției și a experienței personale, dar nu face nicio afirmație faptică clară.
6. Da. Această propoziție face o revendicare. Pentru a spune dacă afirmația este adevărată, ar trebui să știm poziția telescopului, cu toate acestea, în orice moment, afirmația este fie adevărată, fie falsă. Valoarea de adevăr încă există chiar dacă este schimbabilă.
7. Da. Dacă steaua în cauză este soarele nostru, atunci această afirmație este falsă; Soarele este la doar 8 minute lumină distanță. Dacă este orice altă stea, afirmația este adevărată. Valoarea de adevăr depinde de care stea este în discuție, dar această afirmație are întotdeauna o valoare de adevăr.
8. Da. Din nou, valoarea adevărului depinde de planeta în cauză, dar pentru orice planetă dată afirmația este fie adevărată, fie falsă.

Sursa: Quantitative Skills & Reasoning, For MATH 1001 at The University of West Georgia, 2021. Licența CC BY-SA 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu. © 2022 MultiMedia Publishing