Home » Articole » Articole » Știință » Fizica » Mecanica cuantică » Mecanica cuantică – Funcții de undă

Mecanica cuantică – Funcții de undă

Calculator cuantic: procesor qubit cu undă D
Credit: D-Wave Systems, Inc./Wikipedia, licența CC BY 3.0

   Figura 7.1 Un procesor qubit cu undă D: creierul unui computer cuantic care codifică informații în biți cuantici pentru a efectua calcule complexe.

Mecanica cuantică este un cadru puternic pentru înțelegerea mișcărilor și interacțiunilor particulelor la scară mică, cum ar fi atomii și moleculele. Ideile din spatele mecanicii cuantice par adesea destul de ciudate. În multe privințe, experiența noastră de zi cu zi cu lumea fizică macroscopică nu ne pregătește pentru lumea microscopică a mecanicii cuantice. Scopul acestui capitol este de a vă prezenta această lume interesantă.

Imaginea de mai sus este un procesor de computer cuantic. Acest dispozitiv este „creierul” unui computer cuantic care funcționează la temperaturi aproape de zero absolut. Spre deosebire de un computer digital, care codifică informația în cifre binare (stări definite fie zero, fie unu), un computer cuantic codifică informația în biți cuantici sau qubiți (stări mixte de zero și unu). Calculatoarele cuantice sunt discutate în prima secțiune a acestui capitol.

Funcții de undă

În capitolul precedent, am văzut că particulele acționează în unele cazuri ca particule și în alte cazuri ca unde. Dar ce înseamnă ca o particulă să „acționeze ca o undă”? Ce înseamnă mai exact „a se undui”? Ce reguli guvernează modul în care această undă se schimbă și se propagă? Cum este folosită funcția de undă pentru a face predicții? De exemplu, dacă amplitudinea unei unde de electroni este dată de o funcție de poziție și timp, Ψ(x,t), definită pentru tot x, unde este exact electronul? Scopul acestui capitol este de a răspunde la aceste întrebări.

Utilizarea funcției de undă

Un indiciu cu privire la semnificația fizică a funcției de undă Ψ(x,t) este oferit de interferența în două fante a luminii monocromatice (Figura 7.2). (Vezi și Unde electromagnetice și interferență.) Funcția de undă a unei unde luminoase este dată de E(x,t), iar densitatea sa de energie este dată de |E|2, unde E este puterea câmpului electric. Energia unui foton individual depinde doar de frecvența luminii, εfoton = hf, deci |E|2 este proporțională cu numărul de fotoni. Când undele de lumină de la S1 interferează cu undele de lumină de la S2 la ecranul de vizualizare (la o distanță D), se produce un model de interferență (partea (a) a figurii). Franjurile luminoase corespund punctelor de interferență constructivă a undelor luminoase, iar franjurile întunecate corespund punctelor de interferență distructivă a undelor luminoase (partea (b)).

Să presupunem că ecranul nu este expus inițial la lumină. Dacă ecranul este expus la lumină foarte slabă, modelul de interferență apare treptat (Figura 7.2(c), de la stânga la dreapta). Loviturile de fotoni individuale de pe ecran apar ca puncte. Densitatea punctelor este de așteptat să fie mare în locațiile în care modelul de interferență va fi, în cele din urmă, cel mai intens. Cu alte cuvinte, probabilitatea (pe unitate de suprafață) ca un singur foton să lovească un anumit punct de pe ecran este proporțională cu pătratul câmpului electric total, |E|2 în acel punct. În condițiile potrivite, se dezvoltă același model de interferență pentru particulele de materie, cum ar fi electronii.

Interferența cu două fanteFigura 7.2 Interferența cu două fante a luminii monocromatice. (a) Schema interferenței cu două fante; (b) model de interferență a luminii; (c) model de interferență creat treptat sub lumină de intensitate scăzută (de la stânga la dreapta).

Pătratul undei materiei |Ψ|2 într-o dimensiune are o interpretare similară cu pătratul câmpului electric |E|2. Oferă probabilitatea ca o particulă să fie găsită într-o anumită poziție și timp pe unitatea de lungime, numită și densitate de probabilitate. Probabilitatea (P) ca o particulă să se găsească într-un interval îngust (x, x + dx) la momentul t este prin urmare

(7.1)   P(x,x+dx) = |Ψ(x,t)|2dx.

 

(Mai târziu, definim mărimea pătratului pentru cazul general al unei funcții cu „părți imaginare”). Această interpretare probabilistică a funcției de undă se numește interpretarea Born. Exemple de funcții de undă și pătratele lor pentru un anumit timp t sunt date în Figura 7.3.

Funcții de undăFigura 7.3 Câteva exemple de funcții de undă și pătratul corespunzător al funcțiilor de undă ale acestora.

Dacă funcția de undă variază lent pe intervalul Δx, probabilitatea de a găsi o particulă în interval este de aproximativ

(7.2)   P(x,x+Δx) ≈ |Ψ(x,t)|2Δx.

Observați că ridicarea la pătrat funcției de undă asigură că probabilitatea este pozitivă. (Acest lucru este analog cu ridicarea la pătrat a intensității câmpului electric – care poate fi pozitivă sau negativă – pentru a obține o valoare pozitivă a intensității.) Totuși, dacă funcția de undă nu variază lent, trebuie să integrăm:

(7.3)   P(x,x+Δx) = ∫xx+Δx∣Ψ(x,t)∣2dx.

Această probabilitate este doar aria de sub funcția |Ψ(x,t)|2 între x și x+Δx. Probabilitatea de a găsi particula „undeva” (condiția de normalizare) este

(7.4)   P(−∞,+∞)=∫−∞∣Ψ(x,t)∣2dx = 1.

Pentru o particulă în două dimensiuni, integrarea este pe o zonă și necesită o integrală dublă; pentru o particulă în trei dimensiuni, integrarea este peste un volum și necesită o integrală triplă. Deocamdată, rămânem la cazul simplu unidimensional.

EXEMPLUL 7.1

Unde este mingea? (Partea I)

O minge este constrânsă să se miște de-a lungul unei linii în interiorul unui tub de lungime L. Este la fel de probabil ca mingea să fie găsită oriunde în tub la un moment dat t. Care este probabilitatea de a găsi mingea în jumătatea stângă a tubului în acel moment? (Răspunsul este de 50%, desigur, dar cum obținem acest răspuns folosind interpretarea probabilistică a funcției de undă mecanică cuantică?)

Strategie

Primul pas este să scrieți funcția de undă. Mingea este la fel de probabil să fie găsită oriunde în cutie, deci o modalitate de a descrie mingea cu o funcție de undă constantă (Figura 7.4). Condiția de normalizare poate fi folosită pentru a găsi valoarea funcției și o simplă integrare peste jumătate din casetă dă răspunsul final.

Funcția de undăFigura 7.4 Funcția de undă pentru o minge dintr-un tub de lungime L.

Soluţie

Funcția de undă a mingii poate fi scrisă ca Ψ(x,t) = C(0 < x < L), unde C este o constantă, și Ψ(x,t) = 0 în caz contrar. Putem determina constanta C aplicând condiția de normalizare (setăm t = 0 pentru a simplifica notația):

P(x = −∞, +∞) = ∫−∞∣C∣2dx = 1.

Această integrală poate fi împărțită în trei părți: (1) de la infinit negativ la zero, (2) zero la L și (3) de la L la infinit. Particula este constrânsă să fie în tub, deci C = 0 în afara tubului și prima și ultima integrare sunt zero. Prin urmare, ecuația de mai sus poate fi scrisă

P(x = 0, L) = ∫0L∣C∣2dx = 1.

Valoarea C nu depinde de x și poate fi scoasă din integrală, deci obținem

∣C∣20Ldx = 1.

Integrarea dă

C = √(1/L).

Pentru a determina probabilitatea de a găsi mingea în prima jumătate a cutiei (0 < x < L), avem

P(x = 0, L/2) = ∫0L∣√(1/L)∣2dx = (1.L)L/2 = 0,50.

Semnificaţie

Probabilitatea de a găsi mingea în prima jumătate a tubului este de 50%, așa cum era de așteptat. Două observații sunt de remarcat. În primul rând, acest rezultat corespunde ariei sub funcția constantă de la x = 0 la L/2 (aria unui pătrat rămas din L/2). În al doilea rând, acest calcul necesită o integrare a pătratului funcției de undă. O greșeală comună în efectuarea unor astfel de calcule este să uitați să ridicați la pătrat funcția de undă înainte de integrare.

 

EXEMPLUL 7.2

Unde este mingea? (Partea a II-a)

O minge este din nou constrânsă să se miște de-a lungul unei linii în interiorul unui tub de lungime L. De această dată, mingea se găsește de preferință în mijlocul tubului. O modalitate de a-i reprezenta funcția de undă este cu o funcție cosinus simplă (Figura 7.5). Care este probabilitatea de a găsi mingea în ultimul sfert al tubului?

Funcția de undăFigura 7.5 Funcția de undă pentru o minge dintr-un tub de lungime L, unde mingea se află de preferință în mijlocul tubului.

Strategie

Folosim aceeași strategie ca înainte. În acest caz, funcția de undă are două constante necunoscute: Una este asociată cu lungimea de undă a undei și cealaltă este amplitudinea undei. Determinăm amplitudinea utilizând condițiile la limită ale problemei și evaluăm lungimea de undă utilizând condiția de normalizare. Integrarea pătratului funcției de undă pe ultimul sfert al tubului dă răspunsul final. Calculul este simplificat prin centrarea sistemului nostru de coordonate pe vârful funcției de undă.

Soluţie

Funcția de undă a mingii poate fi scrisă

Ψ(x,0) = Acos(kx)(−L/2 < x < L/2),

unde A este amplitudinea funcției de undă și k = 2π/λ este numărul de undă al acesteia. Dincolo de acest interval, amplitudinea funcției de undă este zero deoarece mingea este limitată la tub. Solicitarea ca funcția de undă să se termine la capătul drept al tubului dă

Ψ(x = L/2, 0) = 0.

Evaluând funcția de undă la x = L/2 dă

Acos(kL/2) = 0.

Această ecuație este satisfăcută dacă argumentul cosinusului este un multiplu integral al lui π/2, 3π/2, 5π/2 și așa mai departe. În acest caz, avem

kL/2 = π/2,

sau

k = π/L.

Aplicarea condiției de normalizare dă A = √(2/L), deci funcția de undă a mingii este

Ψ(x,0) = √(2/L)cos(πx/L), −L/2 < x <L/2.

Pentru a determina probabilitatea de a găsi mingea în ultimul sfert al tubului, ridicăm la pătrat funcția și integrăm:

P(x = L/4, L/2) = ∫L/2L/4∣√(2/L)cos(πx/L)∣2dx = 0,091.

Semnificaţie

Probabilitatea de a găsi mingea în ultimul sfert al tubului este de 9,1%. Mingea are o lungime de undă definită (λ = 2L). Dacă tubul este de lungime macroscopică (L = 1m), impulsul mingii este

p = h/λ = h/2L ~ 10−36 m/s.

Acest impuls este mult prea mic pentru a fi măsurat de orice instrument uman.

Sursa: University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere de Nicolae Sfetcu. © 2021 MultiMedia Publishing, Fizica, Vol. 1-3

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!

Nu a fost votat 47.84 lei167.60 lei Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.

Nu a fost votat 47.84 lei167.60 lei Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.
Mecanica cuantică fenomenologică
Mecanica cuantică fenomenologică

Intră în lumea fascinantă a mecanicii cuantice. Nu rata ocazia de a explora frontierele științei!

Nu a fost votat 23.89 lei104.96 lei Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *