Presiunea într-un fluid

Presiunea într-un fluid static într-un câmp gravitațional uniform

Un fluid static este un fluid care nu este în mișcare. În orice punct dintr-un fluid static, presiunea de pe toate părțile trebuie să fie egală – altfel, fluidul din acel punct ar reacționa la o forță netă și ar accelera.

Presiunea în orice punct dintr-un fluid static depinde numai de adâncimea în acel punct. După cum s-a discutat, presiunea într-un fluid în apropierea Pământului variază cu adâncimea datorită greutății fluidului deasupra unui anumit nivel. În exemplele de mai sus, am presupus că densitatea este constantă și densitatea medie a fluidului este o bună reprezentare a densității. Aceasta este o aproximare rezonabilă pentru lichide precum apa, unde sunt necesare forțe mari pentru a comprima lichidul sau a schimba volumul. Într-o piscină, de exemplu, densitatea este aproximativ constantă, iar apa din fund este foarte puțin comprimată de greutatea apei de deasupra. Călătorind în atmosferă este totuși o situație cu totul diferită. Densitatea aerului începe să se schimbe semnificativ la doar o mică distanță deasupra suprafeței Pământului.

Pentru a obține o formulă pentru variația presiunii cu adâncimea într-un rezervor care conține un fluid cu densitatea ρ pe suprafața Pământului, trebuie să începem cu presupunerea că densitatea fluidului nu este constantă. Fluidul situat la niveluri mai adânci este supus unei forțe mai mari decât fluidul mai aproape de suprafață din cauza greutății fluidului de deasupra acestuia. Prin urmare, presiunea calculată la o anumită adâncime este diferită de presiunea calculată folosind o densitate constantă.

Imaginați-vă un element subțire de fluid la o adâncime h, așa cum se arată în Figura 14.8. Fie ca elementul să aibă o arie a secțiunii transversale A și înălțime Δy. Forțele care acționează asupra elementului se datorează presiunilor p(y) de deasupra și p(y+Δy) de sub el. Greutatea elementului în sine este prezentată și în diagrama cu corp liber.

Figura 14.8 Forțe asupra unui element de masă în interiorul unui fluid. Greutatea elementului în sine este prezentată în diagrama cu corp liber.

Deoarece elementul de fluid dintre y și y+Δy nu accelerează, forțele sunt echilibrate. Folosind o axa carteziană y orientată în sus, găsim următoarea ecuație pentru componenta y:

(14.6)   p(y+Δy)A − p(y)A – gΔm = 0   (Δy < 0).

Rețineți că dacă elementul ar avea o componentă y diferită de zero a accelerației, partea dreaptă nu ar fi zero, ci ar fi masa înmulțită cu accelerația y. Masa elementului poate fi scrisă în termeni de densitate a fluidului și volumul elementelor:

Δm = |ρAΔy| = −ρAΔy   (Δy<0).

Punând această expresie pentru Δm în ecuația 14.6 și apoi împărțind ambele părți la AΔy, găsim

(14.7)   (p(y+Δy) − p(y))/Δy = −ρg.

Luând limita elementului infinit subțire Δy→0, obținem următoarea ecuație diferențială, care dă variația presiunii într-un fluid:

(14.8)   dp/dy = −ρg.

 

Această ecuație ne spune că viteza de schimbare a presiunii într-un fluid este proporțională cu densitatea fluidului. Soluția acestei ecuații depinde dacă densitatea ρ este constantă sau se modifică cu adâncimea; adică funcția ρ(y).

Dacă intervalul adâncimii analizate nu este prea mare, putem presupune că densitatea este constantă. Dar dacă intervalul de adâncime este suficient de mare pentru ca densitatea să varieze apreciabil, cum ar fi în cazul atmosferei, există o schimbare semnificativă a densității cu adâncimea. În acest caz, nu putem folosi aproximarea unei densități constante.

Presiunea într-un fluid cu densitate constantă

Să folosim ecuația 14.9 pentru a găsi o formulă pentru presiunea la o adâncime h de la suprafață într-un rezervor de lichid, cum ar fi apa, unde densitatea lichidului poate fi considerată constantă.

Trebuie să integrăm ecuația 14.9 de la y = 0, unde presiunea este presiunea atmosferică (p₀), la y = −h, coordonata y a adâncimii:

∫^p_p0 dp = −∫^−h₀ ρgdy

(14.9)   p − p₀ = ρgh

p = p₀ + ρgh.

Prin urmare, presiunea la o adâncime a fluidului de pe suprafața Pământului este egală cu presiunea atmosferică plus ρgh dacă densitatea fluidului este constantă pe înălțime, așa cum am găsit anterior.

Rețineți că presiunea dintr-un fluid depinde doar de adâncimea de la suprafață și nu de forma recipientului. Astfel, într-un recipient în care un fluid se poate mișca liber în diferite părți, lichidul rămâne la același nivel în fiecare parte, indiferent de formă, așa cum se arată în Figura 14.9.

Figura 14.9 Dacă un fluid poate curge liber între părțile unui recipient, acesta se ridică la aceeași înălțime în fiecare parte. În recipientul din imagine, presiunea din partea inferioară a fiecărei coloane este aceeași; dacă nu ar fi la fel, fluidul ar curge până când presiunile ar deveni egale.

Variația presiunii atmosferice cu înălțimea

Modificarea presiunii atmosferice cu înălțimea prezintă un interes deosebit. Presupunând că temperatura aerului este constantă și că legea gazelor ideale a termodinamicii descrie atmosfera cu o bună aproximare, putem găsi variația presiunii atmosferice cu înălțimea, atunci când temperatura este constantă. (Discutăm legea gazelor ideale într-un capitol ulterior, dar presupunem că sunteți familiarizat cu ea de la liceu și chimie.) Fie p(y) presiunea atmosferică la înălțimea y. Densitatea ρ la y, temperatura T pe scara Kelvin (K) și masa m a unei molecule de aer sunt legate de presiunea absolută prin legea gazelor ideale, sub forma

(14.10)   p = ρ k_BT/m   (atmosfera),

unde k_B este constanta lui Boltzmann, care are o valoare de 1,38 × 10⁻²³ J/K.

Este posibil să fi întâlnit legea gazelor ideale sub forma pV = nRT, unde n este numărul de moli și R este constanta gazului. Aici, aceeași lege a fost scrisă într-o formă diferită, folosind densitatea ρ în loc de volumul V. Prin urmare, dacă presiunea p se modifică odată cu înălțimea, la fel și densitatea ρ. Folosind densitatea din legea gazelor ideale, rata de variație a presiunii cu înălțimea este dată ca

dp/dy = −p(mg/k_BT),

unde s-au adunat cantități constante în interiorul parantezei. Înlocuind aceste constante cu un singur simbol α, ecuația pare mult mai simplă:

dp/dy = −αp

dp/p = −αdy

∫ _p0^p(y) dp/p = ∫₀^y −αdy

[ln(p)]^p(y)_p0 = [−αy]^y₀

ln(p) − ln(p₀) = −αy

ln(p/p₀) = −αy

Aceasta dă soluția

p(y) = p₀exp(−αy).

Astfel, presiunea atmosferică scade exponențial odată cu înălțimea, deoarece axa y este îndreptată în sus de la sol și y are valori pozitive în atmosferă deasupra nivelului mării. Presiunea scade cu un factor de 1/e atunci când înălțimea este 1/α, ceea ce ne oferă o interpretare fizică pentru α: constanta 1/α este o scară de lungime care caracterizează modul în care presiunea variază în funcție de înălțime și este adesea denumită înălțimea scalei de presiune.

Putem obține o valoare aproximativă a lui α utilizând masa unei molecule de azot ca proxy pentru o moleculă de aer. La temperatura de 27 °C, sau 300 K, găsim

α = (−mg/k_BT = 4,8 × 10⁻²⁶ kg × 9,81 m/s²)/(1,38 × 10⁻²³ J/K × 300 K) = 1/8800 m.

Prin urmare, pentru fiecare 8800 de metri, presiunea aerului scade cu un factor 1/e, sau aproximativ o treime din valoarea sa. Acest lucru ne oferă doar o estimare aproximativă a situației reale, deoarece am presupus atât o temperatură constantă, cât și un g constant la distanțe atât de mari de Pământ, niciuna dintre acestea nu este corectă în realitate.

Direcția presiunii într-un fluid

Presiunea fluidului nu are direcție, fiind o mărime scalară, în timp ce forțele datorate presiunii au direcții bine definite: Ele se exercită întotdeauna perpendicular pe orice suprafață. Motivul este că fluidele nu pot rezista sau exercita forțe de forfecare. Astfel, într-un fluid static închis într-un rezervor, forța exercitată asupra pereților rezervorului este exercitată perpendicular pe suprafața interioară. De asemenea, presiunea este exercitată perpendicular pe suprafețele oricărui obiect din fluid. Figura 14.10 ilustrează presiunea exercitată de aer pe pereții unei anvelope și de apă asupra corpului unui înotător.

Figura 14.10 (a) Presiunea din interiorul acestei anvelope exercită forțe perpendiculare pe toate suprafețele cu care intră în contact. Săgețile reprezintă direcțiile și mărimile forțelor exercitate în diferite puncte. (b) Presiunea este exercitată perpendicular pe toate părțile acestui înotător, deoarece apa s-ar scurge în spațiul pe care îl ocupă dacă nu ar fi acolo. Săgețile reprezintă direcțiile și mărimile forțelor exercitate în diferite puncte asupra înotătorului. Rețineți că forțele sunt mai mari dedesubt, datorită adâncimii mai mari, dând o forță netă în sus sau flotantă. Forța verticală netă asupra înotătorului este egală cu suma forței de plutire și a greutății înotătorului.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1