Problema sutei

Problema exprimării numărului 100 ca număr sau fracție mixtă, folosind toate cele nouă cifre o dată și o singură dată, are, ca toate aceste puzzle-uri digitale, o latură fascinantă. În acest puzzle, trebuie să aranjăm corect cele nouă cifre și totuși, cu miile de combinații posibile cu care ne putem confrunta, nu este atât de ușor cum ar putea apărea la început. Iată unsprezece răspunsuri, inclusiv cel pe care l-am dat ca exemplu:

96 2148/537
96 1752/438
96 1428/357
94 1578/263
91 7524/836
91 5823/647
91 5742/638
82 3546/197
81 7524/396
81 5643/297
3 69258/714

Acum, deoarece toate fracțiile reprezintă în mod necesar numere întregi, va fi convenabil să le abordăm în următoarea formă: 96 + 4, 94 + 6, 91 + 9, 82 + 18, 81 + 19 și 3 + 97.

Cu orice număr întreg, rădăcinile digitale ale fracției care o aduce până la 100 vor fi întotdeauna dintr-o anumită formă. (Rădăcina digitală a unui număr este suma cifrelor din care este format numărul, însumare care se face și la totalul obținut până când se obține o singură cifră) Astfel, în cazul 96 + 4, se poate spune dintr-o dată că, dacă se pot obține răspunsuri, atunci rădăcinile numărătorului și ale numitorului fracției vor fi 6. De ex., în cazul numărului 96 2148/537, rădăcina digitală a numărătorului 2148 este 2 + 1 + 4 + 8 = 15 și 1 + 5 = 6 Examinați primele trei aranjamente date mai sus și veți află că așa este. În cazul 94 + 6, rădăcinile numărătorului și numitorului vor fi respectiv 3 și 2, în cazul 91 + 9 și 82 + 18 vor fi 9 și 8, în cazul 81 + 19 vor fi 9 și 9, iar în cazul 3 + 97 vor fi 3 și 3. Fiecare fracție care poate fi utilizată are, prin urmare, forma sa specială de rădăcină digitală, și vă pierdeți timpul doar în încercarea inconștientă de a încălca această lege.

Fiecare cititor va fi perceput că anumite numere întregi sunt în mod evident imposibile. Astfel, dacă există un număr 5 în numărul întreg, va exista, de asemenea, un zero sau un al doilea 5 în fracție, care sunt restricționate de condiții. Atunci multipli de 10, cum ar fi 90 și 80, nu pot să apară desigur și nici numărul întreg nu se poate încheia cu un 9, ca 89 și 79, deoarece fracția, egală cu 11 sau 21, va avea 1 în ultimul loc și va repeta deci o cifră. Numerele întregi care repetă o cifră, precum 88 și 77, sunt, de asemenea, excluse. După cum am spus, aceste cazuri sunt evidente pentru fiecare cititor. Dar când declar că astfel de combinații precum 98 + 2, 92 + 8, 86 + 14, 83 + 17, 74 + 26, etc., trebuie respinse simultan ca fiind imposibile, motivul nu este atât de evident, și, din păcate.

Dar, atunci când toate aceste combinații sunt cunoscute a fi imposibile, nu rezultă că toate „formele posibile” rămase vor funcționa de fapt. Forma elementară poate fi suficient de corectă, dar există și alte considerente mai profunde, care se opun încercărilor noastre. De exemplu, 98 + 2 este o combinație imposibilă, deoarece putem spune dintr-o dată că nu există o formă posibilă pentru rădăcinile digitale ale fracției egală cu 2. Dar în cazul 97 + 3 există o formă posibilă pentru rădăcinile digitale ale fracției, și anume 6 și 5, și numai în investigarea ulterioară suntem în măsură să determinăm că această formă nu poate fi obținută în practică, datorită unor considerente curioase. Lucrurile sunt mult simplificate printr-un proces de eliminare, bazat pe astfel de considerente că anumite înmulțiri produc o repetare a cifrelor și că întregul număr nu poate fi de la 12 la 23 inclusiv, deoarece în astfel de cazuri nu sunt disponibili numitori suficient de mici pentru a forma partea fracțională.