Se va vedea că fiecare dintre aceste probleme are problema inversă – tăierea unui pătrat în bucăți pentru a forma o cruce grecească. Dar, deoarece un pătrat nu are atât de multe unghiuri ca și crucea, nu este întotdeauna la fel de ușor să descoperiți direcțiile corecte ale tăieturilor. Cu toate acestea, în cazul exemplelor date, voi lăsa cititorul să-și determine direcția singur, deoarece acestea sunt destul de evidente din diagrame.
Fig. 12 
Fig. 13
Tăierea unui pătrat în cinci bucăți care va forma două cruci grecești separate de mărimi diferite. Acesta este un puzzle destul de ușor. După cum se poate vedea în figura 12, trebuie doar să împărțim pătratul în 25 de pătrate mici și apoi să tăiem după cum este arătat. Crucea A este tăiată în întregime, iar piesele B, C, D și E formează crucea mai mare din figura 13. Cititorul poate tăia singură piesa B în patru bucăți, toate asemănătoare cu ea însăși , și formează o cruce cu ele în maniera prezentată în figura 13. Nu prea e nevoie de explicat soluția.
Fig. 14 
Fig. 15
Tăierea unui pătrat în cinci bucăți care vor forma două cruci grecești separate de exact aceeași mărime. Acest lucru este mai dificil. Facem tăieturile ca în figura 14, unde crucea A iese întreagă iar celelalte patru piese formează crucea din figura 15. Direcția tăieturilor este destul de evidentă. Se va observa că laturile pătratului din figura 14 sunt marcate în șase părți egale. Laturile crucii se găsesc trăgând linii din unele din aceste puncte către altele.
Voi explic acum, așa cum am promis, de ce o cruce grecească poate fi tăiată în patru bucăți într-un număr infinit de moduri diferite pentru a face un pătrat. Desenați o cruce, ca în figura 16. Apoi, trasați pe hârtie transparentă pătratul prezentat în figura 17, având grijă ca distanța de la c la d să fie exact aceeași cu distanța de la a la b în cruce. Acum puneți hârtia transparentă peste cruce și glisați-o în poziții diferite, feriți-vă mereu întotdeauna să păstrați pătratul în același unghi cu crucea așa cum este arătat, unde ab este paralelă cu cd. Dacă plasați punctul c peste o linie, linia va indica soluția (figurile 10 și 11). Dacă plasați c în centrul pătratului punctat, acesta va da soluția din Fig. 8 și 9. Veți observa acum că prin alunecarea pătratului, astfel încât punctul c să fie întotdeauna în interiorul pătratului punctat, puteți obține cât mai multe soluții dorite; deoarece, din moment ce un număr infinit de puncte diferite pot fi plasate teoretic în acest pătrat, trebuie să existe un număr infinit de soluții diferite. Dar punctul c nu trebuie neapărat să fie plasat în pătratul punctat. Acesta poate fi plasat, de exemplu, în punctul e pentru a da o soluție în patru bucăți. Aici, legăturile la a și f pot fi la fel cât de mici doriți. Cu toate acestea, dacă ați depăși o dată marginea la a sau f, nu mai aveți o soluție în patru bucăți. Această demonstrație va fi atît distractivă cît și instructivă. Dacă nu se întâmplă să aveți hârtie transparentă la îndemână, orice hârtie subțire va fi bună, desigur, dacă țineți cele două foi pe un geam la fereastră.
Fig. 16 
Fig. 17
S-ar putea să fi fost observat din soluțiile problemelor pe care le-am dat că latura pătratului format din cruce este întotdeauna egală cu distanța ab din Figura 16. Aceasta trebuie să fie neapărat așa și voi încerca să clarific acest punct.
Vom merge acum un pas mai departe. Am spus deja că soluția ideală pentru o problemă de decupare este întotdeauna cea care necesită cele mai puține bucăți posibile. Tocmai am văzut că două cruci de aceeași mărime pot fi tăiate dintr-un pătrat în cinci bucăți. Cititorul care a reușit să rezolve acest lucru se poate întreba: „Poate fi făcut în mai puține bucăți?” Acesta este doar un fel de întrebare pe care iubitorul adevărat de puzzle se întreabă întotdeauna și este atitudinea potrivită de adoptat. Răspunsul la întrebare este căproblema poate fi rezolvată din patru bucăți – cel mai mic număr posibil. Acesta este un puzzle nou. Tăierea unui pătrat în patru bucăți care vor forma două cruci grecești de aceeași mărime.
Fig. 18 
Fig. 19 
Fig. 20
Soluția este foarte frumoasă. Dacă împărțiți prin puncte laturile pătratului în trei părți egale, direcțiile liniilor din figura 18 vor fi destul de evidente. Dacă tăiați de-a lungul acestor linii, piesele A și B vor forma crucea în figura 19 și piesele C și D, crucea similară din figura 20. În acest pătrat avem o altă formă de zvastică.
Cititorul va aprecia aici adevărul remarcii mele, în sensul că este mai ușor să găsești direcțiile tăieturilor când transformi o cruce într-un pătrat decât atunci când transformi un pătrat într-o cruce. Astfel, în fig. 6, 8 și 10 direcțiile tăieturilor sunt mai evidente decât în figura 14, unde mai întâi am împărțit laturile pătratului în șase părți egale, iar în figura 18, unde le împărțim în trei părți egale . Apoi, presupunând că trebuie să tăiați două cruci grecești egale, fiecare în două bucăți, pentru a forma un pătrat, o privire la Figs. 19 și 20 vor arăta cât de mult mai ușor este decât puzzle-ul invers al tăierii pătratului pentru a face două cruci.
Referindu-mă la comentariile mele despre „erori”, voi da acum un mic exemplu de „soluții” care nu sunt soluții. Cu câțiva ani în urmă, un tânăr corespondent mi-a trimis ceea ce credea în mod evident că este o descoperire strălucită nouă – transformarea unui pătrat într-o cruce grecească în patru bucăți, prin tăieturi paralele cu laturile pătratului. Redau încercarea în Fig. 21 și 22, unde se va vedea că cele patru piese nu formează o cruce grecească simetrică, deoarece cele patru brațe nu sunt cu adevărat pătrate, ci oblonguri. Pentru a face o cruce grecească adevărată, am avea nevoie de adaosurile pe care le-am indicat cu linii punctate. Desigur, soluția lui produce o cruce, dar nu este soiul grecesc simetric cerut de condițiile puzzle-ului. Prietenul meu tânăr credea că încercarea lui era „suficient de aproape” pentru a fi corectă; dar dacă ar fi cumpărat un măr cu un 60 bani, probabil că nu ar fi crezut că este „aproape suficient” dacă ar fi primit rest doar 30 bani. În timp ce cititorul avansează, el va realiza importanța acestei întrebări despre exactitate.
Fig. 21 
Fig. 22
În aceste puzzle-uri de decupare este necesar nu numai să obțineți direcțiile liniilor de tăiere cât mai corect posibil, dar să nu uitați că aceste linii nu au lățime. Dacă după tăierea uneia dintre cruci într-o manieră indicată în aceste articole veți găsi că piesele nu se potrivesc exact pentru a forma un pătrat, puteți fi sigur că eroarea este în întregime a voastră. Dacă crucea dvs. nu a fost exact desenată, tăieturile dvs. nu au fost făcute în direcția corectă, sau (dacă ați folosit lemn și un ferăstrău) ferăstrăul nu a fost suficient de ascuțit. Dacă tăiați puzzle-urile din hârtie cu foarfece, sau din carton cu un cuțit, nu se pierde niciun material; dar cu un ferăstrău, oricât de bun ar fi, există o anumită pierdere. În cazul celor mai multe puzzle-uri, această ușoară pierdere nu este suficientă pentru a fi apreciabilă, dacă puzzle-ul este tăiat la dimensiuni mari, dar au existat cazuri în care am considerat că este de dorit să desenez și să tai fiecare parte separat pentru a produce un rezultat perfect.
Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu, după ”Amusements in Mathematics”, de Henry Ernest Dudeney
Lasă un răspuns