Puzzle imobiliar

de Nicolae Sfetcu | postat în: Amuzamente matematice | 0

Am fost într-o vizită într-o comună de la marginea Bucureștiului. În timp ce mă duceam la gară în ziua plecării mele, un prieten mi-a transmis un mesaj scris, pe care l-am luat cu mine în tren și l-am citit pe drum. Mă informa că există trei terenuri vecine în comuna respectivă care urmau să fie scoase la vânzare. Fiecare teren avea o formă pătrată, unite între ele doar la colțurile lor, după cum se arată în diagramă. Terenul A are exact 370 metri pătrați (mp), B are 116 mp și C 74 mp.

Acum, zona triunghiulară închisă de cele trei terenuri pătrate nu a fost oferită spre vânzare și, fără vreun motiv special, am devenit curios în ceea ce privește zona respectivă. Câți metri pătrați are?

Zona triunghiulară care nu a fost de vânzare are exact 11 mp. Desigur, nu este dificil să găsim răspunsul dacă urmăm traseele excentrice și complicate ale trigonometriei complexe; sau aș putea spune că aplicarea unei formule cunoscute reduce problema la găsirea unui sfert din rădăcina pătrată a lui (4 × 370 × 116) – (370 + 116 – 74)² – adică un sfert din rădăcina pătrată a lui 1936, care este un sfert din 44, respectiv 11 mp. Dar tot ce trebuie să știe cititorul este legea lui Pitagora pe care s-au construit multe puzzle-uri, că în orice triunghi cu unghi drept, pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi. Voi evita toate numerele iraționale și alte asemenea absurdități, cu toate că laturile triunghiului nostru sunt în mod clar lipsite numere iraționale, deoarece nu putem extrage exact rădăcinile pătrate ale celor trei terenuri pătrate.

În diagrama de mai sus, ABC reprezintă triunghiul nostru. ADB este un triunghi cu un unghi drept, AD are 9 și BD are 17, deoarece pătratul lui 9 adunat cu pătratul lui 17 este egal cu 370, suprafața cunoscută a pătratului de pe AB. De asemenea, AEC este un triunghi cu un unghi drept, deoarece pătratul lui 5 adunat cu pătratul lui 7 este egal cu 74, suprafața terenului pătrat de pe AC. În mod similar, CFB este un triunghi cu un unghi drept, deoarece pătratul lui 4 adunat cu pătratul lui 10 este egal cu 116, suprafața terenuui pătrat din BC. Acum, deși laturile zonei noastre triunghiulare sunt de nerezolvat, avem în această diagramă toate cifrele exacte de care avem nevoie pentru a calcula cu precizie suprafața sa.

Aria triunghiului nostru ADB este în mod clar jumătate din 9 × 17, sau 76,5 mp. Aria lui AEC este jumătate din 5 × 7, sau 17,5 mp; aria lui CFB este jumătate din 4 × 10 sau 20 mp; iar suprafața alungită EDFC este, evident, de 4 × 7, sau 28 mp. Acum, dacă adunăm 17,5, 20 și 28 = 65,5, și scădem această sumă din aria triunghiului mare ADB (care am aflat că este de 76,5 mp), ceea ce rămâne trebuie să fie în mod clar aria lui ABC. Adică, suprafața dorită trebuie să fie exact 76,5 – 65,5 = 11 mp.