Teorema lui Bell – Exemplu

Există numeroase variații ale ideii de bază, unele folosind presupuneri matematice mai puternice decât altele.[6] În mod semnificativ, teoremele de tip Bell nu se referă la nicio teorie anume a variabilelor ascunse locale, ci arată în schimb că fizica cuantică încalcă presupunerile generale din spatele imaginilor clasice ale naturii. Teorema originală demonstrată de Bell în 1964 nu este cea mai ușor de experimentat și este convenabil să introducem genul inegalităților de tip Bell cu un exemplu ulterior.[7]

Personajele ipotetice Alice și Bob stau în locații foarte separate. Colegul lor, Victor, pregătește o pereche de particule și trimite una către Alice și cealaltă către Bob. Când Alice primește particula ei, alege să efectueze una dintre cele două măsurători posibile (poate aruncând o monedă pentru a decide care). Notăm aceste măsurători cu  A₀ și A₁. Atât A₀, cât și A₁ sunt măsurători binare: rezultatul lui A₀ este fie +1, fie -1, și la fel pentru A₁. Când Bob primește particula sa, el alege una dintre cele două măsurători, B₀ și B₁, care sunt, de asemenea, ambele binare.

Să presupunem că fiecare măsurătoare dezvăluie o proprietate pe care particula o poseda deja. De exemplu, dacă Alice alege să măsoare A₀ și obține rezultatul +1, atunci particula pe care a primit-o avea o valoare de +1 pentru o proprietate a₀.[nota 1] Luați în considerare combinația

a₀b₀ + a₀b₁ + a₁b₀ − a₁b₁ = (a₀ + a₁)b₀ + (a₀ − a₁)b₁.

Deoarece atât a₀, cât și a₁ iau valorile ±1, atunci fie a₀ = a₁, fie a₀ = -a₁. În primul caz, cantitatea (a₀ – a₁)b₁ trebuie să fie egală cu 0, în timp ce în cel de-al doilea caz, (a₀ + a₁)b₀ = 0. Deci, unul dintre termenii din partea dreaptă a expresiei de mai sus se va anula, iar celălalt va fi egal cu ±2. Prin urmare, dacă experimentul este repetat pe parcursul mai multor încercări, Victor pregătind noi perechi de particule, valoarea absolută a mediei combinației a₀ b₀ + a₀ b₁ + a₁ b₀ – a₁ b₁ în toate încercările va fi mai mică sau egală cu 2. Nicio încercare singulară nu poate măsura această cantitate, deoarece Alice și Bob pot alege câte o singură măsurătoare fiecare, dar presupunând că proprietățile subiacente există, valoarea medie a sumei este doar suma mediilor pentru fiecare termen. Utilizarea parantezelor unghiulare pentru a denota mediile

|⟨A₀ B₀⟩ + ⟨A₀ B₁⟩ + ⟨A₁ B₀⟩ – ⟨A₁ B₁⟩| ≤ 2.

Aceasta este o inegalitate Bell, mai exact, inegalitatea CHSH.[7]: 115  Derivarea sa aici depinde de două presupuneri: în primul rând, că proprietățile fizice subiacente a₀, a₁, b₀ și b₁ există independent de a fi observate sau măsurate (uneori numită presupunerea realismului); și în al doilea rând, că alegerea acțiunii lui Alice nu poate influența rezultatul lui Bob sau invers (adesea numită presupunerea localității).[7]: 117

Mecanica cuantică poate încălca inegalitatea CHSH, după cum urmează. Victor pregătește o pereche de qubiți pe care îi descrie prin starea Bell

|ψ⟩ = (|0⟩⊗|1⟩ – |1⟩⊗|0⟩)/√2,

unde |0⟩ și |1⟩ sunt stările proprii ale uneia dintre matricile Pauli,

σ_z = (■(1&0@0&-1)).

Victor îi transmite apoi primul qubit lui Alice și al doilea lui Bob. Alegerile lui Alice și Bob privind posibilele măsurători sunt, de asemenea, definite în funcție de matricele Pauli. Alice măsoară oricare dintre cele două observabile σ_z și σ_x:

A₀ = σ_z, A₁ = σx = (■(0&1@1&0));

iar Bob măsoară oricare dintre cele două observabile

B₀ = -(σ_x + σ_z)/√2, B₁ = (σ_x – σ_z)/√2.

Victor poate calcula valorile așteptate cuantice pentru perechi ale acestor observabile folosind regula lui Born:

⟨A₀⊗B₀⟩ = 1/√2, ⟨A₀⊗B₁⟩ = 1/√2, ⟨A₁⊗B₀⟩ = 1/√2, ⟨A₁⊗B₁⟩  =-1/√2.

Deși doar una dintre aceste patru măsurători poate fi efectuată într-o singură încercare a experimentului, suma

⟨A₀⊗B₀⟩ + ⟨A₀⊗B₁⟩ + ⟨A₁⊗B₀⟩ – ⟨A₁⊗B₁⟩ = 2√2

oferă suma valorilor medii pe care Victor se așteaptă să le găsească în mai multe încercări. Această valoare depășește limita superioară clasică de 2, care a fost dedusă din ipoteza variabilelor ascunse locale.[7]: 116  Valoarea 2√2 este de fapt cea mai mare pe care fizica cuantică o permite pentru această combinație de valori așteptate, ceea ce o face o limită Tsirelson.[10]: 140

O ilustrare a jocului CHSH: arbitrul, Victor, trimite câte un bit către Alice și Bob, iar Alice și Bob trimit fiecare câte un bit înapoi arbitrului.

Inegalitatea CHSH poate fi considerată și un joc în care Alice și Bob încearcă să își coordoneze acțiunile.[11][12] Victor pregătește doi biți, x și y, independent și aleatoriu. El trimite bitul x către Alice și bitul y către Bob. Alice și Bob câștigă dacă returnează biții de răspuns a și b către Victor, satisfăcând

xy = a + b mod2.

Sau, în mod echivalent, Alice și Bob câștigă dacă operația logică AND a lui x și y este operația logică XOR a lui a și b. Alice și Bob pot conveni asupra oricărei strategii dorite înainte de joc, dar nu pot comunica odată ce jocul începe. În orice teorie bazată pe variabile ascunse locale, probabilitatea lui Alice și Bob de a câștiga nu este mai mare de 3/4, indiferent de strategia asupra căreia convin în prealabil. Cu toate acestea, dacă au în comun o stare cuantică inseparată, probabilitatea lor de a câștiga poate fi de până la

(2 + √2)/4 ≈ 0.85.

(Include texte traduse și adaptate din Wikipedia de Nicolae Sfetcu)