Transformările Lorentz și relativitatea specială

Definirea evenimentului pentru a avea coordonate spațiu-timp (t, x, y, z) în sistemul S și (t’, x’, y’, z’) într-un cadru de referință care se deplasează la o viteză v față de acel cadru, S′. Atunci, transformarea Lorentz specifică faptul că aceste coordonate sunt legate în felul următor:

t ‘= γ(t – vx/c²)

x’ = γ(x – vt)

y ‘= y

z’ = z

unde γ = 1/√(1 – v²/c²) este factorul Lorentz și c este viteza luminii în vid, și viteza v a lui S’ este paralelă cu axa x. Coordonatele y și z nu sunt afectate; doar coordonatele x și t sunt transformate. Aceste transformări Lorentz formează un grup de un parametru de mapări liniare, acest parametru fiind numit rapiditate.

Nu există nimic deosebit în ceea ce privește axa x, transformarea se poate aplica axelor y sau z sau chiar în orice direcție, putându-se face prin direcții paralele cu mișcarea (care sunt deformate de factorul γ) și perpendiculare.

O cantitate invariantă în transformările Lorentz este cunoscută ca un scalar Lorentz.

Scriind transformarea Lorentz și inversul său în ceea ce privește diferențele de coordonate, unde, de exemplu, un eveniment are coordonate (x₁, t₁) și (x’₁, t’₁), un alt eveniment are coordonatele (x₂, t₂) și (x′₂, t′₂), iar diferențele sunt definite ca

Δx’ = x₂‘ – x₁‘, Δx = x₂ – x₁,

Δt’ = t₂‘ – t₁‘, Δt = t₂ – t₁

obținem

Δx’ = γ(Δx – vΔt), Δ x = γ (Δx’ + vΔt’).

Δt′ = γ(Δt − vΔx/c²), Δt = γ(Δt ′ + vΔx′/c²)

Aceste efecte sunt în mod explicit legate de modul nostru de măsurare a intervalelor de timp dintre evenimentele care apar în același loc într-un sistem dat de coordonate (numite evenimente „co-locale”). Aceste intervale de timp vor fi diferite într-un alt sistem de coordonate care se mișcă în raport cu primul, dacă evenimentele nu sunt simultane. În mod similar, aceste efecte se referă, de asemenea, la distanțele măsurate între evenimente separate dar simultane într-un sistem de coordonate ales. Dacă aceste evenimente nu sunt co-locale, dar sunt separate prin distanțe (spațiu), ele nu se vor întâmpla la aceeași distanță spațială unul față de celălalt atunci când se văd dintr-un alt sistem de coordonate în mișcare. Cu toate acestea, intervalul spațiu-timp va fi același pentru toți observatorii.

Măsurare versus aparența vizuală

Dilatarea în timp și contracția lungimii nu sunt iluzii optice, ci efecte reale. Măsurătorile acestor efecte nu reprezintă un artefact al efectului Doppler, nici nu sunt rezultatul neglijării luării în considerare a timpului necesar pentru a călători de la un eveniment la un observator.

Acestea fiind spuse, oamenii de știință fac o distinctie fundamentală între măsurare sau observare, pe de o parte, față de aparența vizuală sau ceea ce vede cineva.

Timp de mulți ani, distincția dintre cele două nu a fost în general apreciată. De exemplu, s-a crezut, în general, că un obiect de lungime contractată trecând de un observator ar fi, de fapt, văzut efectiv ca o lungime contractată. În 1959, James Terrell și Roger Penrose au subliniat în mod independent că efectele decalajului temporal diferențial în semnalele care ajung la observator din diferitele părți ale unui obiect în mișcare conduc la aparența vizuală a obiectului în mișcare rapidă, diferită de forma măsurată. De exemplu, un obiect care se îndepărtează ar părea contractat, un obiect care se apropie ar părea alungit, iar un obiect în trecere ar avea un aspect oblic care ar fi asemănător cu o rotație. O sferă în mișcare păstrează aspectul unei sfere, deși imaginile de pe suprafața sferei vor apărea distorsionate.

 (Galaxia M87 emite un jet de electroni și alte particule sub-atomice care circulă aproape la viteza luminii).

În cazul unui cub văzut de la o distanță de patru ori mai mare decât lungimea laturilor sale, la viteze mari, laturile cubului care sunt perpendiculare pe direcția mișcării apar în formă hiperbolică. Cubul nu este, de fapt, rotit. Mai degrabă, luminii din spatele cubului îi ia mai mult timp pentru a ajunge la ochi în comparație cu lumina din față, timp în care cubul s-a mutat spre dreapta. Această iluzie a devenit cunoscută sub numele de rotația Terrell sau efectul Terrell-Penrose.

Un alt exemplu în care aspectul vizual este în contradicție cu măsurarea provine din observația mișcării aparent superluminice în diferite galaxii radio, obiecte BL Lac, quasari și alte obiecte astronomice care emit jeturi de materie cu viteză relativistă în unghiuri înguste în raport cu privitorul. O iluzie optică face să apară că se deplasează cu o viteză mai mare decât cea a luminii. În figura de mai sus, galaxia M87 expulzează un jet de viteză mare de particule subatomice aproape direct către noi, dar rotația Penrose-Terrell face ca jetul să pară că se mișcă lateral în același mod cu cubul descris mai înainte.