Un pătrat magic din numere compozite

Problema este de a găsi cel mai mic număr prim astfel încât următorul număr prim să fie mai mare cu cel puțin 10. Găsim că acest număr este 113, următorul număr prim fiind 127. Putem apoi să formăm pătratul din diagramă, unde fiecare număr este un număr compozit. Aceasta este soluția cu cele mai mici numere. Vedem deci că răspunsul s-a obținut destul de ușor, formîndu-se un pătrat de ordinul trei (3×3), prin încercări. Să vedem cum putem obține o soluție (adevărat, nu cu cele mai mici numere) fără tabele sau încercări, într-o manieră foarte directă și rapidă.

Mai întâi scrieți orice numere consecutive, cel mai mic fiind mai mare decât 1- să spunem, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Singurii factori primi din aceste numere sunt 2, 3, 5 și 7. Prin urmare, multiplicăm aceste patru cifre împreună și adăugăm produsul, 210, la  fiecare dintre cele nouă numere. Rezultatul este cele nouă numere compozite consecutive, de la 212 la 220 inclusiv, cu care putem forma pătratul necesar. Fiecare număr va fi întotdeauna divizibil cu rezultatul scăderii lui 210 din acel număr. Este foarte evident că prin această metodă găsim oricât mai multe numere compozite dorim. Să presupunem, de exemplu, că dorim să formăm un pătrat magic de șaisprezece astfel de numere; atunci putem folosi, de exemplu, numerele de la 2 la 17, cu factorii primi 2, 3, 5, 7, 11, 13 și 17, care, multiplicați, dau 510510; acest număr va fi adăugat la numerele respective pentru a produce cele șaisprezece numere compozite, de la 510512 până la 510527 inclusiv, toate putând fi verificate că sunt compozite ca mai înainte.

Dar, așa cum am spus, acestea nu sunt răspunsurile pentru cele mai mici numere: pentru că dacă adăugăm 523 la numerele de la 1 la 16, obținem șaisprezece compozite consecutive; și dacă adăugăm 1.327 la numerele de la 1 la 25, obținem douăzeci și cinci de compozite consecutive, fiecare cu cel mai mic număr posibil. Cu toate acestea, dacă problema ar fi să formăm un pătrat magic din o sută de astfel de numere, ar fi dificil să-l găsim fără ajutorul tabelelor, deși prin procesul pe care l-am arătat este o chestiune simplă. Chiar și pentru a găsi treizeci și șase de astfel de numere veți căuta în tabele de până la 10.000 fără succes, iar dificultatea crește într-un ritm accelerat cu creșterea ordinii pătratului (numărului de linii și coloane).