Puterea mecanică

Conceptul de lucru mecanic implică forță și deplasare; teorema lucru mecanic-energie raportează lucrul mecanic net efectuat asupra unui corp la diferența de energie cinetică a acestuia, calculată între două puncte de pe traiectoria lui. Niciuna dintre aceste cantități sau relații nu implică timp în mod explicit, dar știm că timpul disponibil pentru a realiza o anumită cantitate de lucru mecanic este adesea la fel de important pentru noi ca și cantitatea în sine. În figura de la începutul capitolului, mai mulți sprinteri au atins aceeași viteză la sosire și, prin urmare, au făcut aceeași cantitate de lucru mecanic, dar câștigătorul cursei a făcut-o în cel mai mic timp.

Exprimăm relația dintre lucrul mecanic depus și intervalul de timp implicat în realizarea acesteia, prin introducerea conceptului de putere. Deoarece lucrul mecanic poate varia în funcție de timp, definim mai întâi puterea medie ca lucrul mecanic efectuat într-un interval de timp, împărțit la intervalul de timp,

(7.10) P_med = ΔW/Δt.

Apoi, putem defini puterea instantanee (denumită frecvent pur și simplu putere).

PUTEREA

Puterea este definită ca rata de lucru mecanic efectuat sau limita puterii medii pentru intervale de timp care se apropie de zero,

(7.11) P = dW/dt.

Dacă puterea este constantă pe un interval de timp, puterea medie pentru acel interval este egală cu puterea instantanee, iar lucrul mecanic efectuat de agentul care furnizează puterea este W = PΔt. Dacă puterea într-un interval variază în timp, atunci lucrul mecanic efectuat este integrala de timp a puterii,

W = ∫Pdt.

Teorema energie-lucru mecanic relatează modul în care lucrul mecanic poate fi transformat în energie cinetică. Deoarece există și alte forme de energie, așa cum discutăm în capitolul următor, putem defini puterea și ca rata de transfer de energie. Lucrul mecanic și energia sunt măsurate în unități de jouli, astfel încât puterea este măsurată în unități de jouli pe secundă, care a primit numele SI wați, abrevierea W: 1 J/s = 1 W. O altă unitate comună pentru exprimarea capacității de putere a dispozitivelor de zi cu zi este cal putere: 1 cp = 746 W.

EXEMPLUL 7.11

Puterea de tracțiune

Un stagiar al armatei de 80 kg face tracțiuni pe o bară orizontală (Figura 7.14). Stagiarului îi ia 0,8 secunde pentru a-și ridica corpul dintr-o poziție inferioară până la locul în care bărbia se află deasupra barei. Câtă putere furnizează mușchii stagiarului, mișcându-și corpul din poziția inferioară până la locul în care bărbia este deasupra barei? (Sugestie: faceți estimări rezonabile pentru orice cantități necesare.)

Figura 7.14 Care este puterea consumată în efectuarea a zece tracțiuni în zece secunde?

Strategie

Lucrul mecanic efectuat împotriva gravitației, urcând sau coborând o distanță Δy, este mgΔy. Să presupunem că Δy = 2 = 60 cm. De asemenea, să presupunem că brațele cuprind 10% din masa corporală și nu sunt incluse în masa în mișcare. Cu aceste ipoteze, putem calcula lucrul mecanic depus.

Soluție

Rezultatul pe care îl obținem, aplicând ipotezele noastre, este

P = mg(Δy)/t = 0,9(80 kg)(9,8 m/s²)/(0,60 m)/0,8 s = 529 W.

Semnificație

Acest lucru este tipic pentru consumul de energie în exerciții intense; în unitățile obișnuite, este ceva mai mult de un cal putere (1 CP = 746 W).

EXERCIȚIUL 7.8

Estimați puterea consumată de un halterofil care ridică o halteră de 150 kg la 2 m în 3 s

Puterea implicată în deplasarea unui corp poate fi exprimată și în termeni de forțe care acționează asupra acestuia. Dacă o forță F⃗ acționează asupra unui corp care este deplasat dr⃗ într-un timp dt, puterea cheltuită de forță este

(7.12) P = dW/dt =F⃗⋅dr⃗/dt = F⃗⋅(dr⃗/dt)=F⃗⋅v⃗ ,

unde v⃗ este viteza corpului. Faptul că există limitele implicate de derivate, pentru mișcarea unui corp real, justifică rearanjarea infinitezimalelor.

EXEMPLUL 7.12

Puterea unu automobil la deal

Câtă putere trebuie să consume un motor de automobil pentru a deplasa o mașină de 1200 kg în sus cu o pantă de 15% la 90 km/h (Figura 7.15)? Să presupunem că 25% din această putere este disipată pentru depășirea rezistenței aerului și a frecării.

Figura 7.15 Dorim să calculăm puterea necesară pentru a deplasa o mașină pe un deal cu viteză constantă.

Strategie

La viteză constantă, nu există nicio modificare a energiei cinetice, astfel încât lucrul mecanic net efectuat pentru deplasarea mașinii este zero. Prin urmare, puterea furnizată de motor pentru a deplasa mașina este egală cu puterea consumată împotriva gravitației și rezistenței aerului. Prin presupunere, 75% din putere este furnizată împotriva gravitației, ceea ce este egal cu mg⃗⋅v⃗ = mgvsinθ, unde θ este unghiul de înclinare. Un unghi de 15% înseamnă tanθ = 0,15. Acest raționament ne permite să rezolvăm puterea necesară.

Soluție

Efectuând pașii sugerați, găsim

0,75 P = mgvsin(tan⁻¹0,15),

P = (1200 × 9,8 N)(90 m/3,6 s)sin(8,53°)/0,75 = 58 kW,

sau aproximativ 78 CP. (Ar trebui să furnizați pașii utilizați pentru a converti unitățile.)

Semnificație

Aceasta este o cantitate rezonabilă de putere pentru motorul unei mașini de dimensiuni mici până la mijlocii (1 CP = 0,746 kW). Rețineți că aceasta este doar puterea consumată pentru a deplasa mașina. O mare parte din puterea motorului se duce în altă parte, de exemplu, în căldura reziduală. De aceea mașinile au nevoie de radiatoare. Orice putere rămasă poate fi folosită pentru accelerare sau pentru a acționa accesoriile mașinii.