Am definit impulsul ca fiind produsul dintre masă și viteză. Prin urmare, dacă viteza unui obiect ar trebui să se schimbe (datorită aplicării unei forțe asupra obiectului), atunci în mod necesar, și impulsul acestuia se schimbă. Aceasta indică o legătură între impuls și forță. Scopul acestei secțiuni este de a explora și descrie această conexiune.
Să presupunem că aplicați o forță asupra unui obiect liber pentru o anumită perioadă de timp. În mod clar, cu cât forța este mai mare, cu atât va fi mai mare modificarea impulsului obiectului. Alternativ, cu cât petreci mai mult timp aplicând această forță, cu atât mai mare va fi schimbarea impulsului, așa cum este prezentat în Figura 9.5. Mărimea cu care se modifică mișcarea obiectului este, prin urmare, proporțională cu mărimea forței și, de asemenea, cu intervalul de timp în care se aplică forța.
Figura 9.5 Variația impulsului unui obiect este proporțională cu durata de timp în care se aplică forța. Dacă o forță este exercitată asupra bilei inferioare de două ori mai mult decât asupra bilei superioare, atunci variația impulsului bilei inferioare este de două ori mai mare decât a bilei superioare.
Matematic, dacă o cantitate este proporțională cu două (sau mai multe) lucruri, atunci este proporțională cu produsul acelor lucruri. Produsul dintre o forță și un interval de timp (peste care acționează acea forță) se numește variația impulsului și are simbolul J⃗ .
| VARIAȚIA IMPULSULUI
Fie F⃗(t) forța aplicată unui obiect pe un interval de timp diferențial dt (Figura 9.6). Variația impulsului rezultată asupra obiectului este definită ca (9.2) dJ⃗ ≡ F⃗(t)dt. |
Figura 9.6 O forță aplicată de o rachetă de tenis unei mingi de tenis într-un interval de timp generează un impuls care acționează asupra mingii.
Impulsul total pe intervalul tf − ti este
| (9.3) J⃗ = ∫tftidJ⃗ sau J⃗ ≡ ∫tftiF⃗(t)dt. |
Ecuația 9.2 și ecuația 9.3 împreună spun că atunci când o forță este aplicată pentru un interval de timp infinitezimal dt, aceasta provoacă o variație de impuls infinitezimală dJ⃗ , iar variația de impulsul totală dată obiectului este definită ca fiind suma (integrala) tuturor acestor impulsuri infinitezimale.
Pentru a calcula variația de impuls folosind ecuația 9.3, trebuie să cunoaștem funcția de forță F(t), pe care adesea nu o cunoaștem. Cu toate acestea, un rezultat din calcul este util aici: Amintiți-vă că valoarea medie a unei funcții pe un anumit interval este calculată de
f(x)med = 1/Δx ∫xfxif(x)dx
unde Δx = xf − xi. Aplicând aceasta funcției de forță dependentă de timp, obținem
(9.4) F⃗med = 1/Δt ∫tftiF⃗(t)dt.
Prin urmare, din ecuația 9.3,
| (9.5) J⃗ = F⃗medΔt. |
Ideea aici este că puteți calcula variația impulsului asupra obiectului chiar dacă nu cunoașteți detaliile forței în funcție de timp; aveți nevoie doar de forta medie. De fapt, însă, procesul este de obicei inversat: determinați variația impulsului (prin măsurare sau calcul) și apoi calculați forța medie care a provocat acel impuls.
Pentru a calcula variația impulsului, se obține un rezultat util din scrierea forței în ecuația 9.3 ca F⃗(t) = ma⃗(t):
J⃗ = ∫tftiF⃗(t)dt = m∫tftia⃗(t)dt = m[v⃗(tf) − v⃗i].
Pentru o forță constantă F⃗med = F⃗ = ma⃗ , aceasta se simplifică la
J⃗ = ma⃗Δt = mv⃗f − mv⃗i = m(v⃗f − v⃗i).
Acesta este,
(9.6) J⃗ = mΔv⃗ .
Rețineți că forma integrală, ecuația 9.3, se aplică și forțelor constante; în acest caz, deoarece forța este independentă de timp, ea iese din integrală, care poate fi apoi evaluată trivial.
| EXEMPLUL 9.1
Craterul de meteoriți din Arizona Cu aproximativ 50.000 de ani în urmă, un meteorit din fier-nichel mare (cu o rază de 25 m) s-a ciocnit cu Pământul cu o viteză estimată de 1,28 × 104 m/s în ceea ce este acum deșertul din nordul Arizona, în Statele Unite. Impactul a produs un crater care este vizibil și astăzi (Figura 9.7); are aproximativ 1200 m în diametru, 170 m adâncime și are o margine care se ridică la 45 m deasupra câmpiei deșertice din jur. Meteoriții fier-nichel au de obicei o densitate de ρ = 7970 kg/m3. Folosiți considerentele de variație de impuls pentru a estima forța medie și forța maximă pe care meteorul a aplicat-o pe Pământ în timpul impactului.  Figura 9.7 Craterul de meteoriți Arizona din Flagstaff, Arizona (deseori denumit Craterul Barringer după persoana care a sugerat prima originea acestuia și a cărei familie deține terenul). Strategie Din punct de vedere conceptual, este mai ușor să inversezi întrebarea și să calculezi forța pe care Pământul a aplicat-o asupra meteorului pentru a-l opri. Prin urmare, vom calcula forța asupra meteorului și apoi vom folosi a treia lege a lui Newton pentru a argumenta că forța meteorului de pe Pământ a fost egală ca magnitudine și opusă ca direcție. Folosind datele date despre meteor și făcând presupuneri rezonabile despre forma meteorului și timpul de impact, mai întâi calculăm variația impulsului utilizând ecuația 9.6. Apoi folosim relația dintre forță și variația impulsui, ecuația 9.5, pentru a estima forța medie în timpul impactului. Apoi, alegem o funcție de forță rezonabilă pentru evenimentul de impact, calculăm valoarea medie a acelei funcții, ecuația 9.4, și setăm expresia rezultată egală cu forța medie calculată. Acest lucru ne permite să rezolvăm forța maximă. Soluţie Definiți susul să fie direcția +y. Pentru simplitate, presupuneți că meteorul călătorește vertical în jos înainte de impact. În acest caz, viteza sa inițială este v⃗i = −vijˆ, iar forța pe care o exercită Pământul asupra meteorului este îndreptată în sus, F⃗(t) = +F(t) jˆ. Situația la t = 0 este prezentată mai jos.
Forța medie în timpul impactului este legată de variația de impuls prin F⃗med = J⃗/Δt. Din ecuația 9.6, J⃗ = mΔv⃗ , deci avem F⃗med = mΔv⃗ Δt. Masa este egală cu produsul dintre densitatea meteorului și volumul acestuia: m = ρV. Dacă presupunem (ghicim) că meteorul a fost aproximativ sferic, avem V=4/3 πR3. Astfel obținem F⃗med = ρVΔv⃗/Δt = ρ(4/3 πR3)(v⃗f − v⃗i)/Δt. Problema spune că viteza la impact a fost −1,28 × 104 m/s jˆ (viteza finală este zero); de asemenea, presupunem că impactul primar a durat aproximativ tmax = 2 s. Înlocuirea acestor valori dă F⃗med = (7970 kg/m3)[4/3 π(25 m)3][0 m/s − (−1,28 × 104 m/s jˆ)]/2s = +(3,33 × 1012 N) jˆ. Aceasta este forța medie aplicată în timpul coliziunii. Observați că acest vector forță indică în aceeași direcție cu schimbarea vectorului viteză Δv⃗ . Apoi, calculăm forța maximă. Impulsul este legat de funcția de forță prin J⃗ = ∫tmaxtiF⃗(t)dt. Trebuie să facem o alegere rezonabilă pentru forță în funcție de timp. Definim t = 0 ca fiind momentul în care meteorul atinge pentru prima dată solul. Apoi presupunem că forța este maximă la impact și scade rapid la zero. O funcție care face acest lucru este F(t) = Fmaxe−t2/(2τ2). (Parametrul τ reprezintă cât de repede scade forța la zero.) Forța medie este Fmed = 1/Δt ∫tmax0Fmaxe−t2/(2τ2)dt unde Δt = tmax – 0 s. Deoarece avem deja o valoare numerică pentru Fmed, putem folosi rezultatul integralei pentru a obține Fmax. Alegând τ = 1/e tmax (aceasta este o alegere comună, după cum veți vedea în capitolele următoare) și ghicind că tmax = 2 s, această integrală evaluează la Fmed = 0,458 Fmax. Astfel, forța maximă are o mărime de 0,458Fmax = 3,33 × 1012 N. Fmax = 7,27 × 1012 N. Funcția completă de forță, inclusiv direcția, este F⃗(t) = (7,27 × 1012 N)e−t2/(8s2) jˆ. Aceasta este forța aplicată de Pământ meteorului; după a treia lege a lui Newton, forța pe care meteorul a aplicat-o pe Pământ F⃗(t) = (7,27 × 1012 N)e−t2/(8s2) jˆ. care este răspunsul la întrebarea inițială. Semnificaţie Graficul acestei funcții conține informații importante. Să punem în grafic (mărimea pentru) atât această funcție, cât și forța medie, împreună (Figura 9.8).
Observați că aria de sub fiecare diagramă a fost colorată. Pentru graficul forței (constante) Fmed, aria este un dreptunghi, corespunzător lui FmedΔt = J. În ceea ce privește graficul lui F(t), reamintim din calcul că aria de sub graficul unei funcții este numeric egală cu integrala acelei funcție, pe intervalul specificat; deci aici, adică ∫tmax0F(t)dt = J. Astfel, zonele sunt egale și ambele reprezintă impulsul pe care meteorul l-a aplicat Pământului în timpul impactului de două secunde. Forța medie de pe Pământ sună ca o forță uriașă, și este. Cu toate acestea, Pământul abia a simțit-o. Accelerația obținută de Pământ a fost a⃗ = −F⃗med/MPământ = −(3,33 × 1012 N)jˆ/5,97 × 1024 kg = −(5,6 × 10−13 m/s2)jˆ care este complet nemăsurabilă. Acestea fiind spuse, impactul a creat unde seismice care în prezent puteau fi detectate doar de echipamente moderne de monitorizare. |
| EXEMPLUL 9.2
Beneficiile impulsului O mașină care circula cu 27 m/s se ciocnește de o clădire. Ciocnirea cu clădirea face ca mașina să se oprească în aproximativ 1 secundă. Șoferul, care cântărește 860 N, este protejat de o combinație de centură de siguranță cu tensiune variabilă și airbag (Figura 9.9). (De fapt, șoferul se ciocnește cu centura de siguranță și cu airbag-ul și nu cu clădirea.) Airbag-ul și centura de siguranță îi încetinesc viteza, astfel încât se oprește în aproximativ 2,5 s. a. Ce forță medie experimentează șoferul în timpul coliziunii? b. Fără centura de siguranță și airbag, timpul lui de coliziune (cu volanul) ar fi fost de aproximativ 0,20 s. Ce forță ar experimenta în acest caz?
Strategie Ni se dă greutatea șoferului, vitezele inițiale și finale ale acestuia și momentul coliziunii; ni se cere să calculăm o forță. Variația de impuls pare modalitatea corectă de a aborda acest lucru; putem combina ecuația 9.5 și ecuația 9.6. Soluţie a. Definiți direcția +x ca fiind direcția în care se mișcă inițial mașina. Noi stim J⃗ = F⃗Δt și J⃗ = mΔv⃗ . Deoarece J este egal cu ambele expresii, ele trebuie să fie egale între ele: F⃗Δt = mΔv⃗ . Trebuie să convertim această greutate în masa echivalentă, exprimată în unități SI: 860 N/9,8 m/s2 = 87,8 kg. Reținând că Δv⃗ = v⃗f − v⃗i, și observând că viteza finală este zero, rezolvăm forța: F⃗ = m(0−viiˆ)/Δt = (87,8kg)(−(27 m/s)iˆ/2,5 s) = −(948 N)iˆ. Semnul negativ implică faptul că forța îl încetinește. Pentru perspectivă, aceasta este de aproximativ 1,1 ori greutatea lui. b. Același calcul, doar un interval de timp diferit: F⃗ = (87,8 kg)(−(27 m/s)iˆ/0,20 s) = −(11,853 N)iˆ care este de aproximativ 14 ori greutatea lui. Mare diferență! Semnificaţie Vedeți că valoarea unui airbag constă în reducerea forței asupra ocupanților vehiculului. Din acest motiv, acestea au fost necesare pentru toate vehiculele de pasageri din Statele Unite din 1991 și au fost obișnuite în toată Europa și Asia de la mijlocul anilor 1990. Variația impulsului într-un accident este aceeași, cu sau fără airbag; forța, totuși, este foarte diferită. |
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu
© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.
Mecanica fenomenologică
O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.
Lasă un răspuns