Conservarea impulsului în sisteme mecanice – Exemple și exerciții

Hochei pe gheață 1

Două pucuri de hochei cu masă identică se află pe un patinoar de hochei pe gheață, plan și orizontal. Pucul roșu este nemișcat; pucul albastru se mișcă cu 2,5 m/s spre stânga (Figura 9.18). Acesta se ciocnește cu pucul roșu nemișcat. Pucurile au o masă de 15 g. După coliziune, pucul roșu se mișcă cu 2,5 m/s, spre stânga. Care este viteza finală a pucului albastru?

Sunt prezentate două pucuri de hochei. Diagrama de sus arată pucul din stânga cu 0 metri pe secundă și pucul din dreapta mișcându-se spre stânga cu 2,5 metri pe secundă. Diagrama de jos arată pucul din stânga mișcându-se spre stânga cu 2,5 metri pe secundă și pucul din dreapta mișcându-se cu v necunoscut.

Figura 9.18 Două pucuri de hochei identice care se ciocnesc. Diagrama de sus arată pucurile în momentul dinaintea coliziunii, iar diagrama de jos arată pucurile în momentul de după coliziune. Forța externă netă este zero.

Strategie

Ni se spune că avem două obiecte care se ciocnesc, ni se dau masele și vitezele inițiale și o viteză finală; ni se cer ambele viteze finale. Conservarea impulsului pare o strategie bună. Definiți sistemul ca fiind format din cele două pucuri; nu există frecare, deci avem un sistem închis.

Înainte de a analiza soluția, care credeți că va fi răspunsul?

Viteza finală a pucului albastru va fi:

·         zero

·         2,5 m/s spre stânga

·         2,5 m/s spre dreapta

·         1,25 m/s spre stânga

·         1,25 m/s spre dreapta

·         altceva

Soluție

Definiți direcția +x pentru a indica spre dreapta. Conservarea impulsului se citește atunci

p⃗_f =  p⃗_i

mv_rfiˆ + mv_bfiˆ = mv_riiˆ − mv_biiˆ.

Înainte de coliziune, impulsul sistemului se află în întregime și numai în pucul albastru. Astfel,

mv_rfiˆ + mv_bfiˆ = − mv_biiˆ

v_rfiˆ + v_bfiˆ = − v_biiˆ.

(Rețineți că masele pucurilor sunt egale.) Înlocuind numerele:

−(2,5 m/s)iˆ + v⃗_bf = −(2,5 m/s)iˆ

v⃗_bf = 0.

Semnificație

Evident, cele două pucuri au schimbat pur și simplu impuls. Pucul albastru și-a transferat tot impulsul către pucul roșu. De fapt, asta se întâmplă într-o coliziune similară în care m1 = m2.

Chiar dacă ar exista o oarecare frecare pe gheață, este totuși posibil să se utilizeze conservarea impulsului pentru a rezolva această problemă, dar ar trebui să se impună o condiție suplimentară problemei. Care este acea condiție suplimentară?

Aterizarea cometei Philae

Pe 12 noiembrie 2014, Agenția Spațială Europeană a aterizat cu succes o sondă numită Philae pe cometa 67P/Ciuriumov/Gherasimenko (Figura 9.19). În timpul aterizării, însă, sonda a aterizat de fapt de trei ori, deoarece a ricoșat de două ori. Să calculăm cât de mult s-a schimbat viteza cometei ca urmare a primului ricoșeu.

Figura 9.19 O reprezentare artistică a aterizării lui Philae pe cometa 67P/Ciuriumov/Gherasimenko. (Credit: modificare a lucrării lui „DLR German Aerospace Center”/Flickr)

Să definim sus ca fiind direcția +y, perpendiculară pe suprafața cometei, și y = 0 ca fiind la suprafața cometei. Iată ce știm:

·         Masa Cometei 67P: M_c = 1,0 × 10¹³ kg

·         Accelerația datorată gravitației cometei: a⃗ = −(5,0 × 10⁻³ m/s²)jˆ

·         Masa lui Philae: M_p = 96 kg

·         Viteza inițială de aterizare: v⃗₁ = −(1,0 m/s)jˆ

·         Viteza inițială ascendentă datorată primei sărituri: v⃗₂ = (0,38 m/s)jˆ

·         Timpul de impact la aterizare: Δt = 1,3 s

Strategie

Ni se cere să spunem cât de mult s-a schimbat viteza cometei, dar nu știm prea multe despre cometă, dincolo de masa sa și de accelerația pe care o provoacă gravitația sa. Cu toate acestea, ni se spune că modulul de aterizare Philae se ciocnește cu (aterizează pe) cometă și ricoșează de pe ea. O coliziune sugerează impulsul ca strategie pentru rezolvarea acestei probleme.

Dacă definim un sistem care constă atât din Philae, cât și din Cometa 67/P, atunci nu există nicio forță externă netă asupra acestui sistem și, prin urmare, impulsul acestui sistem se conservă. (Vom neglija forța gravitațională a soarelui.) Astfel, dacă calculăm schimbarea impulsului modulului de aterizare, avem automat schimbarea impulsului cometei. De asemenea, schimbarea vitezei cometei este direct legată de schimbarea impulsului său ca urmare a „coliziunii” modulului de aterizare cu aceasta.

Soluție

Fie p⃗₁ impulsul lui Philae în momentul de dinainte de aterizare și p⃗₂ impulsul său imediat după primul ricoșeu. Atunci, impulsul său chiar înainte de aterizare a fost

p⃗₁ = M_pv⃗₁ = (96 kg)(−1,0 m/s jˆ) = −(96 kg⋅m/s)jˆ

și imediat după aterizare a fost

p⃗₂ = M_pv⃗₂ = (96 kg)(+0,38 m/s jˆ) = (36,5 kg⋅m/s)jˆ.

Prin urmare, schimbarea impulsului modulului de aterizare în timpul primei sărituri este

Δp⃗ = p⃗₂ − p⃗₁ = (36,5 kg⋅m/s)jˆ − (−96,0 kg⋅m/s jˆ) = (133 kg⋅m/s)jˆ

Observați cât de important este să includeți semnul negativ al impulsului inițial.

Acum, despre cometă. Întrucât impulsul sistemului trebuie conservat, impulsul cometei s-a modificat exact cu negativul următoarei valori:

Δp⃗_c = −Δp⃗ = −(133 kg⋅m/s)jˆ.

Prin urmare, schimbarea vitezei sale este

Δv⃗_c = Δp⃗_c/M_c = −(133 kg⋅m/s)jˆ/1,0 × 10¹³ kg = −(1,33 × 10^-11 m/s)jˆ.

Semnificație

Aceasta este o schimbare foarte mică a vitezei, de aproximativ o miime de miliardime de metru pe secundă. Cu toate acestea, este esențial că nu este zero.

Modificările impulsului pentru Philae și pentru Cometa 67/P au fost egale (ca magnitudine). Au fost impulsurile resimțite de Philae și de cometă egale? Dar forțele? Dar schimbările energiilor cinetice?