Home » Articole » Articole » Știință » Matematica » Algebra vectorilor

Algebra vectorilor

postat în: Matematica 0

Vectorii pot fi adunați împreună și înmulțiți cu scalari. Adunarea vectorială este asociativă (Ecuația 2.8) și comutativă (Ecuația 2.7), iar înmulțirea vectorială cu o sumă de scalari este distributivă (Ecuația 2.9). De asemenea, înmulțirea scalară cu o sumă de vectori este distributivă:

(2.22)   α(A + B) = αA + αB .

 

În această ecuație, α este orice număr (un scalar). De exemplu, un vector antiparalel cu vectorul A = Axiˆ+ Ayjˆ+ Azkˆ poate fi exprimat simplu prin înmulțirea lui A cu scalarul α = −1:

(2.23)   −A = −Axiˆ− Ayjˆ− Azkˆ.

 

EXEMPLUL 2.8

Direcția de mișcare

Într-un sistem de coordonate carteziene în care denotă estul geografic, denotă nordul geografic și denotă altitudinea deasupra nivelului mării, un convoi militar își avansează poziția printr-un teritoriu necunoscut cu viteza v = (4,0iˆ+ 3,0jˆ+ 0,1kˆ) km/h . Dacă convoiul ar trebui să se retragă, în ce direcție geografică s-ar deplasa?

Soluție

Vectorul viteză are a treia componentă vz = (+0,1 km/h)kˆ, care spune că convoiul urcă cu o viteză de 100 m/h prin teren muntos. În același timp, viteza sa este de 4,0 km/h spre est și 3,0 km/h spre nord, deci se deplasează pe sol în direcția tan−1(3/4) ≈ 37° nord – est. Dacă convoiul ar trebui să se retragă, noul său vector viteză u ar trebui să fie antiparalel cu v și să aibă forma u = −αv , unde α este un număr pozitiv. Astfel, viteza retragerii ar fi u = α(−4.0iˆ− 3.0jˆ− 0.1kˆ) km/h. Semnul negativ al celei de-a treia componente indică că convoiul ar urma să coboare. Unghiul de direcție al vitezei de retragere este tan−1(−3α/−4α) ≈ 37° sud – vest. Prin urmare, convoiul se va deplasa pe sol în direcția 37° sud – vest în timp ce va coborî pe drumul de întoarcere.

 

Generalizarea numărului zero la algebră vectorială se numește vector nul, notat cu 0 . Toate componentele vectorului nul sunt zero, 0 = 0iˆ+ 0jˆ+ 0kˆ, deci vectorul nul nu are lungime și nici direcție.

Doi vectori A și B sunt vectori egali dacă și numai dacă diferența lor este vectorul nul:

0⃗ = A⃗ − B⃗ = (Axiˆ+ Ayjˆ+ Azkˆ) − (Bxiˆ+ Byjˆ+ Bzkˆ) = (Ax − Bx)iˆ+ (Ay − By)jˆ+ (Az − Bz)kˆ.

Această ecuație vectorială înseamnă că trebuie să avem simultan Ax – Bx = 0, Ay – By = 0 și Az – Bz = 0. Prin urmare, putem scrie A⃗ = B⃗ dacă și numai dacă componentele corespunzătoare ale vectorilor A⃗ și B⃗ sunt egale:

(2.24)   A = B ⇔ Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz.

 

Doi vectori sunt egali atunci când componentele lor scalare corespunzătoare sunt egale.

Rezolvarea vectorilor în componentele lor scalare (adică, găsirea componentelor lor scalare) și exprimarea lor analitică sub formă de componente vectoriale (dată de ecuația 2.19) ne permite să folosim algebra vectorială pentru a găsi sumele sau diferențele mai multor vectori în mod analitic (adică, fără a folosi metode grafice). De exemplu, pentru a găsi rezultanta a doi vectori A⃗ și B⃗, pur și simplu îi adunăm componentă cu componentă, după cum urmează:

R⃗ = A⃗   +B⃗  = (Axiˆ+ Ayjˆ+ Azkˆ) + (Bxiˆ+ Byjˆ+ Bzkˆ) = (Ax + Bx)iˆ+ (Ay + By)jˆ+ (Az + Bz)kˆ.

În acest fel, folosind ecuația 2.24, componentele scalare ale vectorului rezultat R⃗ = Rxiˆ+ Ryjˆ+ Rzkˆ sunt sumele componentelor scalare corespunzătoare ale vectorilor A⃗ și B⃗ :

Rx = Ax + Bx,

Ry = Ay + By,

Rz = Az + Bz.

Metodele analitice pot fi utilizate pentru a găsi componente ale unei rezultante a mai multor vectori. De exemplu, dacă trebuie să însumăm N vectori F⃗1, F⃗2, F⃗3,…, F⃗N, unde fiecare vector este F⃗k = F kxiˆ+ F kyjˆ+ F kzkˆ, vectorul rezultat F⃗R este

F⃗R = F⃗1 + F⃗2 + F⃗3 +…+ F⃗N = ∑k=1NF⃗k = ∑k=1N(Fkxiˆ+ Fkyjˆ+ Fkzkˆ) = (∑k=1NFkx)iˆ+ (∑k=1NFky)jˆ + (∑k=1NFkz)kˆ.

Prin urmare, componentele scalare ale vectorului rezultant sunt

(2.25)

FRx = ∑k=1NFkx = F1x + F2x + … + FNx

FRy = ∑k=1NFky = F1y + F2y + … + FNy

FRz = ∑k=1NFkz = F1z + F2z + … + FNz

 

După ce am găsit componentele scalare, putem scrie rezultatul sub formă de componentă vectorială:

F⃗R = FRxiˆ+ FRyjˆ+ FRzkˆ.

Metodele analitice pentru găsirea rezultantei și, în general, pentru rezolvarea ecuațiilor vectoriale sunt foarte importante în fizică deoarece multe mărimi fizice sunt vectori. De exemplu, folosim această metodă în cinematică pentru a găsi vectori de deplasare rezultanți și vectori de viteză rezultanți, în mecanică pentru a găsi vectori de forță rezultanți și rezultanții multor mărimi vectoriale derivate, și în electricitate și magnetism pentru a găsi câmpuri vectoriale electrice sau magnetice rezultante.

EXEMPLUL 2.9

Calcul analitic al unui rezultat

Trei vectori de deplasare A⃗ , B⃗ și C⃗ într-un plan (Figura 2.13) sunt specificați prin mărimile lor A = 10,0, B = 7,0 și, respectiv, C = 8,0 și prin unghiurile lor de direcție cu direcția orizontală α = 35° , β = −110° și γ = 30°. Unitățile fizice ale mărimilor sunt centimetri. Rezolvați vectorii la componentele lor scalare și găsiți următoarele sume vectoriale: (a) R⃗ = A⃗ + B⃗ + C⃗ , (b) D⃗ = A⃗ − B⃗ și (c) S⃗ = A⃗ − 3B⃗ + C⃗ .

Strategie

Mai întâi, folosim ecuația 2.17 pentru a găsi componentele scalare ale fiecărui vector și apoi exprimăm fiecare vector în forma sa de componentă vectorială dată de ecuația 2.12. Apoi, folosim metode analitice de algebră vectorială pentru a găsi rezultatele.

Soluție

Rezolvăm vectorii dați la componentele lor scalare:

Ax = Acosα = (10,0 cm)cos35° = 8,19 cm

Ay = Asinα = (10,0 cm)sin35° = 5,73ccm

Bx = Bcosβ = (7,0 vcm)cos(−110°) = −2.39 cm

By = Bsinβ = (7,0 cm)sin(−110°) = −6,58 cm

Cx = Ccosγ = (8,0 cm)cos30° = 6,93 cm

Cy = Csinγ = (8,0 cm)sin30° = 4,00 cm.

Pentru (a) putem înlocui direct în ecuația 2.25 pentru a găsi componentele scalare ale rezultantei:

Rx = Ax + Bx + Cx = 8,19 cm − 2,39 cm + 6,93 cm = 12,73 cm

Ry = Ay + By + Cy = 5,73 cm − 6,58 cm + 4,00 cm = 3,15 cm.

Prin urmare, vectorul rezultant este R⃗ = Rxiˆ+ Ryjˆ= (12,7iˆ+ 3,1jˆ) cm.

Pentru (b), putem dori să scriem diferența vectorială ca

D⃗ = A⃗  − B⃗ = (Axiˆ+ Ayjˆ) − (Bxiˆ +Byjˆ) = (Ax − Bx)iˆ+ (Ay − By)jˆ.

Atunci, componentele scalare ale diferenței vectoriale sunt

Dx = Ax – Bx = 8,19 cm − (−2,39 cm) = 10,58 cm

Dy = Ay – By = 5,73 cm − (−6,58cm) = 12,31cm.

Prin urmare, vectorul de diferență este D⃗ = Dxiˆ+ Dyjˆ= (10,6iˆ+ 12,3jˆ) cm.

Pentru (c), putem scrie vectorul S⃗ în următoarea formă explicită:

S⃗ = A⃗ − 3B⃗ + C⃗ = (Axiˆ+ Ayjˆ) − 3(Bxiˆ+ Byjˆ) + (Cxiˆ+ Cyjˆ) = (Ax − 3Bx + Cx)iˆ+ (Ay − 3By + Cy)jˆ.

Atunci, componentele scalare ale lui S⃗ sunt

Sx = Ax − 3Bx + Cx = 8,19 cm −3(−2,39 cm) + 6,93 cm = 22,29 cm

Sy = Ay − 3By + Cy = 5,73 cm −3(−6,58 cm) + 4,00 cm = 29,47 cm.

Vectorul este S⃗ = Sxiˆ+ Syjˆ = (22,3iˆ+ 29,5jˆ) cm.

Semnificație

După ce am găsit componentele vectoriale, putem ilustra vectorii prin grafică sau putem calcula magnitudini și unghiuri de direcție, așa cum se arată în Figura 2.24. Rezultatele pentru mărimile din (b) și (c) pot fi comparate cu rezultatele pentru aceleași probleme obținute cu metoda grafică, prezentate în Figura 2.14 și Figura 2.15. Observați că metoda analitică produce rezultate exacte și acuratețea ei nu este limitată de rezoluția unei rigle sau a unui raportor, așa cum a fost cu metoda grafică folosită în Exemplul 2.2 pentru găsirea aceleiași rezultate.

VectoriFigura 2.24 Ilustrarea grafică a soluțiilor obținute analitic în Exemplul 2.9.

 

Exercițiul 2.8

Trei vectori de deplasare A⃗ , B⃗ și F⃗ (Figura 2.13) sunt specificați prin mărimile lor A = 10,00, B = 7,00 și, respectiv, F = 20,00 și prin unghiurile lor de direcție cu direcția orizontală α = 35°, β = −110° și φ = 110°. Unitățile fizice ale mărimilor sunt centimetri. Folosiți metoda analitică pentru a găsi vectorul G⃗ = A⃗ + 2B⃗ − F⃗ . Verificați că G = 28,15 cm și că θG = −68,65°.

 

EXEMPLUL 2.10

Jocul lupta cu odgonul

Patru câini pe nume Astro, Balto, Clifford și Dug joacă un joc de luptă cu odgonul cu o jucărie (Figura 2.25). Astro trage de jucărie în direcția α = 55° sud – est, Balto trage în direcția β = 60° nord – est, iar Clifford trage în direcția γ = 55° nord – vest. Astro trage puternic cu 160,0 unități de forță (N), pe care le prescurtăm ca A = 160,0 N. Balto trage și mai puternic decât Astro cu o forță de magnitudine B = 200,0 N, iar Clifford trage cu o forță de magnitudine C = 140,0 N. Când Dug trage de jucărie în așa fel încât forța sa echilibrează rezultanta celorlalte trei forțe, jucăria nu se mișcă în nicio direcție. Cu câtă forță și în ce direcție trebuie să tragă Dug de jucărie pentru ca acest lucru să se întâmple?

Figura 2.25 Patru câini joacă un joc de remorcher cu o jucărie.

Strategie

Presupunem că estul este direcția axei x pozitive și nordul este direcția axei y pozitive. Ca și în Exemplul 2.9, trebuie să rezolvăm cele trei forțe date — A⃗ (tragerea de la Astro), B⃗ (tragerea de la Balto) și C⃗ (tragerea de la Clifford) — în componentele lor scalare și apoi să găsim componentele scalare ale vectorul rezultant R⃗ = A⃗ + B⃗ + C⃗ . Când forța de tragere D⃗ de la Dug echilibrează această rezultantă, suma D⃗ și R⃗ trebuie să dea vectorul nul D⃗ + R⃗ = 0⃗ . Aceasta înseamnă că D⃗ = −R⃗ , deci tragerea de la Dug trebuie să fie antiparalelă cu R⃗ .

Soluție

Unghiurile de direcție sunt θA = −α = −55°, θB = 90° − β = 30° și θC = 90° + γ = 145°, iar înlocuirea lor în ecuația 2.17 dă componentele scalare ale celor trei forțe date:

Ax = AcosθA = (160,0 N)cos(−55°) = +91,8 N

Ay = AsinθA = (160,0 N)sin(−55°) = −131,1 N

Bx = BcosθB = (200,0 N)cos30° = +173,2 N

By = BsinθB = (200,0 N)sin30° = +100,0 N

Cx = CcosθC = (140,0 N)cos145° = −114,7 N

Cy = CsinθC = (140,0 N)sin145° = +80,3 N.

Acum calculăm componentele scalare ale vectorului rezultat R⃗ = A⃗ + B⃗ + C⃗ :

Rx = Ax + Bx + Cx = +91,8 N + 173,2 N − 114,7 N = +150,3 N

Ry = Ay + By + Cy = −131,1 N + 100,0 N + 80,3 N = +49,2 N.

Vectorul antiparalel cu rezultanta R⃗ este

D⃗ = −R⃗ = −Rxiˆ−Ryjˆ=(−150,3iˆ− 49,2jˆ) N.

Mărimea forței de tragere a lui Dug este

D = √(D2x+D2y) = √ ((−150,3) 2+(−49,2) 2) N = 158,1 N.

Direcția forței de tragere a lui Dug este

θ = tan−1(Dy/Dx) = tan−1 (−49,2 N/−150,3 N) = tan−1 (49,2/150,3) = 18,1°.

Dug trage în direcția 18,1° sud – vest, deoarece ambele componente sunt negative, ceea ce înseamnă că vectorul de tracțiune se află în al treilea cadran (Figura 2.19).

 

Exercițiul 2.9

Să presupunem că Balto din Exemplul 2.10 părăsește jocul pentru a se ocupa de chestiuni mai importante, dar Astro, Clifford și Dug continuă să joace. Tracțiunea lui Astro și Clifford asupra jucăriei nu se schimbă, dar Dug aleargă și mușcă jucăria într-un alt loc. Cu câtă forță și în ce direcție trebuie să tragă Dug de jucărie acum pentru a echilibra tragerile combinate de la Clifford și Astro? Ilustrați această situație desenând o diagramă vectorială care indică toate forțele implicate.

 

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2024 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$35.00 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$35.00 Selectează opțiunile
Știința - Filosofia științei
Știința – Filosofia științei

Cartea explorează principalele teme și teorii ale științei și filozofiei contemporane a științei, evidențiind întrebările fascinante și provocatoare actuale din știință în generală și filosofia științei, cu accent pe metodele științifice. O mare parte din înțelegerea noastră provine din cercetarea … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4.99$15.55 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *