Serii Fourier (1)

61. Presupunem că ni se dă o curbă y = f(x). Atunci în ecuația

y = a₀ + a₁cosx + b₁sinx.

a₀, a₁ și b₁ pot fi determinate astfel încât graficul ecuației să taie curba în oricare trei puncte între x = 0 și x = 2π. Pentru că este necesar doar să notăm condiția ca ordonatele să fie egale în aceste trei puncte și avem trei ecuații liniare pentru determinarea lui a₀, a₁ și b₁. În mod similar, în ecuația

y = a₀ + a₁cosx + a₂cos2x + a₃cos3x + … + a_ncosnx

+ b₁sinx + b₂sin2x + b₃sin3x + … + b_nsinnx.

a₀, a₁, a₂, a₃, … a_n, b₁, b₂, b₃,… b_n pot fi determinate astfel încât cele două curbe taie în (2n + l) puncte. Dacă n devine infinit de mare, cele două curbe se vor tăia într-un număr infinit de puncte. Acest lucru ridică întrebarea dacă curbele nu se vor atinge în întreg intervalul de la x = 0 la x = 2π, dacă nu este posibil să se reprezinte cel puțin o funcție în întreg intervalul printr-o serie infinită de tipul de mai sus.

62. Să presupunem posibilitatea extinderii lui f(x) în intervalul de la 0 la 2π într-o serie de tipul de mai sus, adică într-o serie Fourier, și să presupunem că seria poate fi integrată termen cu termen. Atunci

(1) f(x) = a₀ + a₁cosx + a₂cos2x … + b₁sinx + b₂sin2x.

Integrați ambele părți ale ecuației în raport cu x de la 0 la 2π. În partea stângă avem ∫f(x)dx. În partea dreaptă, fiecare termen dispare cu excepția primului, care dă 2πa₀. Prin urmare

(2) a₀ = 1/2π ∫₀^2πf(x)dx.

Înmulțiți ambele părți ale lui (1) cu cosnx, unde n este orice număr întreg, și integrați cu privire la x de la 0 la 2π. Atunci, în partea dreaptă, avem termeni de următorul tip:

a₀∫cos nx dx,

a_n∫cos²nx dx = a_n/2 ∫(1 + cos2nx) dx,

a_m∫cos mx cos nx dx = a_m/2 ∫(cos(m + n)x + cos(m – n)x) dx,

b_n∫sin nx cos nx dx = b_n/2 ∫sin 2nx dx,

b_m∫sin mx cos nx dx = b_m/2 ∫(sin(m + n)x + sin (m – n)x) dx,

m fiind orice număr întreg, cu excepția lui n. Este clar că la integrarea și înlocuirea limitelor 0 și 2π, fiecare dintre acești termeni va dispărea cu excepția celui de-al doilea. Dă a_nπ. Partea stângă dă

∫₀^2πf(x) cos nx dx.

Rezultă

(3) a_n = 1/π ∫₀^2πf(x) cos nx dx.

În mod similar, înmulțind ambele părți ale lui (1) cu sin nx și integrând între aceleași limite, se poate demonstra că

b_n = 1/π ∫₀^2πf(x) sin nx dx

Cele două formule (2) și (3) pot fi combinate într-una singură scriind termenul absolut în seria a₀/2- în loc de a₀. Aici însă se va scrie întotdeauna a₀.

Dacă intervalul este luat de la -π la +π în loc de de la 0 la 2π, singura diferență a formulelor pentru coeficienți este că limitele integrarii sunt de la -π la +π.