Calcularea probabilității

Regula #1 pentru calcularea unei probabilități este probabilitatea empirică. Probabilitatea se bazează pe rezultatele reale observate pentru un anumit număr de încercări ale unui experiment. Aceasta este similară cu frecvența relativă. Formula pentru probabilitatea empirică a evenimentului A este P(A) = f/n, unde f este numărul de ori ]n care a avut loc evenimentul (ca frecvența) și n este numărul total de încercări ale experimentului.

Exemplu: Dacă o femeie reușește 14 din 20 de aruncări libere în proba de baschet WNBA, care este probabilitatea ei empirică de a face o aruncare liberă?

Soluție: Aici n = 20 și numărul de lovituri pe care le-a reușit a fost f = 14. Fie F eveniment de efectuare a unei aruncări libere. Atunci P(F) = 14/20 – 0,7 = 70%. Presupunând că asta este ceea ce ea obține în mod normal, atunci, pentru viitorul apropiat, probabilitatea ei de a efectua o aruncare liberă reușită poate fi estimată la 70%. Dacă joacă în echipă și exersează, probabilitatea va crește.

Regula #2 pentru calcularea unei probabilități este probabilitatea teoretică. Aceasta este o abordare logică, dar se aplică numai rezultatelor la fel de probabile. Formula pentru probabilitatea teoretică a evenimentului A este P(A) = e/N, unde e este numărul de rezultate posibile care se încadrează în eveniment și N este numărul total de rezultate posibile în spațiul eșantion.

Exemplu: Un tată cumpără două bilete de tombolă pentru tombola echipei de baseball a fiului său. Au fost vândute 80 de bilete, iar unul va fi ales câștigător dintr-o pălărie. Care este probabilitatea teoretică să câștige tatăl la tombolă?

Soluție: Aici numărul de bilete posibile care ar putea fi alese este N = 80 și numărul de bilete pe care le are tatăl este e = 2. Fie W evenimentul câștigător al tatălui. Atunci P(W) = 2/80 = 0,025 = 2,5%. Observați că această probabilitate a fost calculată ÎNAINTE de a fi ales biletul. Probabilitatea teoretică poate fi argumentată pe baza logicii, dar numai atunci când rezultatele sunt la fel de probabile, cum ar fi alegerea unui bilet dintr-o pălărie.

Probabilitatea empirică a aruncărilor libere din exemplul anterior nu a putut fi motivată înainte de a avea datele încercărilor femeii. De asemenea, reușita sau ratarea aruncării libere nu sunt la fel de probabile pentru majoritatea oamenilor, așa că probabilitatea empirică a fost făcută în această idee și nu teoretic.

Regula #3 pentru calcularea unei probabilități este probabilitatea subiectivă. Probabilitatea subiectivă este estimată folosind cunoștințele sau experiența personală. Nu este științifică sau matematică, și rareori logică. De exemplu, dacă un tânăr adolescent iese pe furiș din casa lui de două ori, tarziu în noapte, fără să fie prins, ar putea presupune că șansele sale de a fi prins sunt foarte scăzute. Un alt exemplu în acest sens este parierea pe echipa ta preferată (sau împotriva echipei adverse). Majoritatea oamenilor pariază cu emoție și nu pe bază de logică.

**Exerciții: în fiecare situație de mai jos, calculați probabilitatea, hotărând dacă folosiți probabilitatea empirică sau teoretică.

1. 200 de persoane sunt la un banchet și 8 persoane sunt la masa ta, numărându-te ți pe tine. Care este probabilitatea ca cineva de la masa ta să fie ales la întâmplare pentru a câștiga un premiu din întregul banchet?
2. Danny a jucat 20 de meciuri de tenis în acest sezon și a câștigat 17 dintre ele. Care este probabilitatea ca el să câștige următorul meci?

Uneori regula #1 și #2 dau aproximativ aceeași valoare, mai ales pe termen lung. Aceasta este cunoscută sub numele de Legea numerelor mari, care afirmă că, pe măsură ce un experiment este repetat din nou și din nou, probabilitatea empirică (frecvența relativă) a unui eveniment TINDE să se apropie de probabilitatea teoretică. De exemplu, probabilitatea teoretică de a arunca o monedă și de a obține rezultatul „cap” este de 1/2 sau 50% (este unul din două rezultate egale). Dacă aruncați o monedă o dată, rezultatul va fi fie 100% cap, fie 100% stemă, niciodată 50%, dar pe măsură ce aruncați o monedă de multe ori, cel mai probabil va fi aproape egal pentru numărul de cap și stemă.

Iată un experiment pe care să-l încercați, care va demonstra Legea numerelor mari. Găsiți orice monedă pe care o puteți distinge pe o parte ca fiind cap și pe cealaltă ca stemă. Faceți un tabel pe hârtie cu 5 coloane: Rotiri , cap, P(C), stemă, P(S). Pentru fiecare pas, completați valorile din fiecare coloană, de-a lungul unui rând, apoi treceți la următorul pas/rând.

În pasul unu, rotiți moneda de cinci ori și în primul rând, puneți 5 sub rotiri. Sub cap, notați de cât de multe ori a apărut cap, și același lucru pentru stemă. Calculați P(C) = nr.cap/5 și P(S) = nr.stemă/5, înmulțindu-le cu 100 și rotunjind la cel mai apropiat procent întreg. De exemplu, dacă obțineți 3 cap și 2 stemă, atunci P(C) = 3/5 x 100 = 60% etc. Cu cinci rotiri, va fi imposibil să obțineți 50% și puteți obține cu ușurință valori departe de aceasta.

În pasul doi, rotiți moneda de 25 de ori și, în al doilea rând, puneți 25 sub rotiri. Sub cap, notați de cât de multe ori a apărut cap, și același lucru pentru stemă. Calculați P(c) = nr.cap/25 și P(S) = nr.stemă/25, înmulțindu-le cu 100 și rotunjind la cel mai apropiat procent întreg. De exemplu, dacă obțineți 11 cap și 14 stemă, atunci P(C) = 11/25 x 100 = 44% etc. Cu douăzeci și cinci de rotiri, va fi imposibil să obțineți exact 50%, dar valorile sunt cel mai probabil cumva apropiate. Deoarece acest lucru este aleatoriu, ar putea fi mai departe de 50% decât în primul pas, dar este puțin probabil.

În pasul trei, rotiți moneda de 150 de ori și în al doilea rând, puneți 150 sub rotiri. Sub cap, notați de cât de multe ori a apărut capși același lucru pentru stemă. Calculați P(C) = nr.cap/150 și P(S) = nr.stemă/150, înmulțindu-le cu 100 și rotunjind la cel mai apropiat procent întreg. De exemplu, dacă obțineți 68 de cap și 82 de stemă, atunci P(C) = 68/150 x 100 = 45% etc. Cu 150 de rotiri, este posibil să obțineți exact 50%, dar este mai probabil ca valorile să fie oarecum apropiate și probabil mai aproape decât în pașii anteriori.

În cazuri rare, este posibil ca valorile tale să se fi îndepărtat mai mult în loc să se apropie de 50%. De aceea legea prevede că valorile TIND să se apropie, dar se poate întâmpla orice. Dacă multe persoane ar face acest experiment, cei mai mulți dintre ei ar vedea că valorile se apropie de 50%. Este posibil să fi văzut sau nu acest lucru. Dacă nu, încercați din nou și sunt destul de sigur că va funcționa de data aceasta.

1. Teoretică, P_(câștig) = 8/200 = 0,04 = 4 %
2. Empirică, P_(câștig) = 17/20 = 0,85 = 85 %

Sursa: Quantitative Skills & Reasoning, For MATH 1001 at The University of West Georgia, 2021. Licența CC BY-SA 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu. © 2023 MultiMedia Publishing