Forța centripetă

În Mișcare în două și trei dimensiuni, am examinat conceptele de bază ale mișcării circulare. Un obiect aflat în mișcare circulară, precum una dintre mașinile de curse prezentate la începutul acestui capitol, trebuie să accelereze deoarece își schimbă direcția vitezei. Am demonstrat că această accelerație direcționată central, numită accelerație centripetă, este dată de formula

a_c = v²/r

unde v este viteza obiectului, îndreptată de-a lungul unei linii tangente la curbă în orice moment. Dacă știm viteza unghiulară ω, atunci putem folosi

a_c = rω².

Viteza unghiulară oferă viteza cu care obiectul se rotește prin curbă, în unități de rad/s. Această accelerație acționează de-a lungul razei traseului curbat și, prin urmare, este denumită și accelerație radială.

O accelerație trebuie să fie produsă de o forță. Orice forță sau combinație de forțe poate provoca o accelerație centripetă sau radială. Doar câteva exemple sunt tensiunea din frânghie pe o minge legată, forța gravitației Pământului pe Lună, frecarea dintre patine cu rotile și podeaua unui patinoar, forța unui drum înclinat asupra unei mașini și forțele asupra tubului unei centrifuge care se învârtește. Orice forță netă care provoacă mișcare circulară uniformă se numește forță centripetă. Direcția unei forțe centripete este spre centrul de curbură, aceeași cu direcția accelerației centripete. Conform celei de-a doua legi a mișcării a lui Newton, forța netă este masa înmulțită cu accelerația: F_net = ma. Pentru mișcarea circulara uniforma, accelerația este accelerația centripetă: a = a_c. Astfel, mărimea forței centripete F_c este

F_c = ma_c.

Prin înlocuirea expresiilor pentru accelerația centripetă a_c(a_c = v²/r; a_c = rω²), obținem două expresii pentru forța centripetă F_c în termeni de masă, viteză, viteză unghiulară și rază de curbură:

(6.3) F_c = m v²/r; F_c = mrω².

Puteți folosi oricare expresie pentru forța centripetă este mai convenabilă. Forța centripetă F⃗_c este întotdeauna perpendiculară pe traiectorie și indică spre centrul de curbură, deoarece a⃗_c este perpendiculară pe viteză și indică spre centrul de curbură. Rețineți că dacă rezolvați prima expresie pentru r, obțineți

r = mv²/F_c.

Aceasta implică faptul că pentru o masă și o viteză date, o forță centripetă mare determină o rază mică de curbură, adică o curbă plată, ca în Figura 6.20.

Figura 6.20 Forța de frecare furnizează forța centripetă și este numeric egală cu aceasta. Forța centripetă este perpendiculară pe viteza și provoacă o mișcare circulară uniformă. Cu cât F_c este mai mare, cu atât raza de curbură r este mai mică și curba este mai strânsă. A doua curbă are același v, dar un F_c mai mare produce un r′ mai mic.

EXEMPLUL 6.15

De ce coeficient de frecare au nevoie mașinile pe o curbă plată?

(a) Calculați forța centripetă exercitată asupra unei mașini de 900,0 kg care face o curbă cu o rază de 500,0 m la 25,00 m/s. (b) Presupunând o curbă neînclinată, găsiți coeficientul static minim de frecare între anvelope și drum, frecarea statică fiind motivul care împiedică mașina să alunece (Figura 6.21).

Figura 6.21 Această mașină pe teren plan se îndepărtează și virează la stânga. Forța centripetă care face ca mașina să se rotească într-o traiectorie circulară se datorează frecării dintre anvelope și drum. Este necesar un coeficient minim de frecare, altfel mașina se va deplasa într-o curbă cu rază mai mare și va părăsi carosabilul.

Strategie

a. Știm că F_c = mv²/r. Astfel,

F_c = mv²/r = (900,0 kg)(25,00 m/s)²/(500,0 m) = 1125 N.

b. Figura 6.21 prezintă forțele care acționează asupra mașinii pe o curbă neînclinată (la nivelul solului). Frecarea este la stânga, împiedicând mașina să alunece și, deoarece este singura forță orizontală care acționează asupra mașinii, frecarea este forța centripetă în acest caz. Știm că frecarea statică maximă (la care anvelopele rulează, dar nu alunecă) este μ_sN, unde μ_s este coeficientul static de frecare și N este forța normală. Forța normală este egală cu greutatea mașinii pe teren plan, deci N = mg. Astfel forța centripetă în această situație este

F_c ≡ f = μ_sN = μ_smg.

Acum avem o relație între forța centripetă și coeficientul de frecare. Folosind ecuația

F_c = mv²/r,

obținem

mv²r = μ_smg.

Rezolvăm acest lucru pentru μ_s, observând că masa se anulează și obținem

μ_s = v2/rg.

Înlocuind cunoscutele,

μ_s = (25,00 m/s)²/(500,0 m)(9,80 m/s²) = 0,13.

(Deoarece coeficienții de frecare sunt aproximativi, răspunsul este dat doar la două cifre.)

Semnificație

Coeficientul de frecare găsit în figura 6.21(b) este mult mai mic decât se găsește de obicei între anvelope și drumuri. Mașina încă urmează curba dacă coeficientul este mai mare de 0,13, deoarece frecarea statică este o forță de răspuns, capabilă să-și asume o valoare mai mică, dar nu mai mare de μ_sN. Un coeficient mai mare ar permite mașinii să urmeze curba la o viteză mai mare, dar dacă coeficientul de frecare este mai mic, viteza sigură ar fi mai mică de 25 m/s. Rețineți că masa se anulează, ceea ce implică faptul că, în acest exemplu, nu contează cât de grea este mașina pentru a lua virajul. Masa se anulează deoarece frecarea se presupune proporțională cu forța normală, care la rândul ei este proporțională cu masa. Dacă suprafața drumului ar fi înclinată, forța normală ar fi mai mare, așa cum se discută în continuare.

EXERCIȚIUL 6.9

O mașină care se deplasează cu 96,8 km/h face o curbă circulară cu raza de 182,9 m pe un drum de țară plat. Care trebuie să fie coeficientul minim de frecare statică pentru a împiedica alunecarea mașinii?

Răspuns

R: 0,40