Generalizarea lui Riemann a geometriei intrinseci a lui Gauss a curbelor și a suprafețelor, și conceptul său rezultat al unui distribuitor patru-dimensional dotat cu o metrică non-eEuclidiană (sau lorentziană), precum și o structură diferențiabilă, a fost primul pas fundamental spre geometrizarea fizicii. Într-adevăr, geometria riemanniană oferă cadrul matematic pentru a formula relativitatea generală, precum și alte teorii modemice ale gravitației. Al doilea pas a fost constrângerea de către Minkowski a unei noi geometrii – „geometria minkowskiană” – care a cuprins pentru prima oară spațiul și timpul în conceptul unic de spațiu-timp. Până în prezent, cele două concepte despre spațiu și timp au rămas separate. Viziunea spațiu-timpului ca formând un continuum ar însemna că o natură continuă ar persista, indiferent cât de mult este amplificat un sistem. Dar nu este deloc clar că descrierile continue sunt într-adevăr adecvate într-o scară suficient de mică unde fenomenele cuantice devin importante. Chiar dacă este semnificativ să vorbim despre natura spațiului și a timpului la o astfel de dimensiune, cu siguranță nu putem să ne referim la spațiu-timp constituind cu exactitate o varietate netedă. Se poate argumenta că imaginea netedă a varietății (prin urmare, geometria diferențială) este adecvată pentru înțelegerea tuturor proceselor fizice relevante, cel puțin a proprietăților pe scară largă ale spațiu-timpului, din care proprietățile clasice (macroscopice) ale lumii fizice (care implică caracterul „local euclidian” al legilor fizice) pot fi obținute prin aproximare. Pe de altă parte, geometria lui Minkowski este necesară pentru a reformula în mod corespunzător structurile geometrice care stau la baza teoriei speciale a relativității, precum și teoriile câmpului cuantic, de exemplu supergravitația, care poate fi văzută ca teoria gauge a grupului Poincaré augmentată de anticomutarea relațiiloe pentru sarcinile spinoriale.
Geometria lui Minkowski (denumită și lumea din Minkowski) constituie caracterizarea geometrică a noii cinematici descoperite de Einstein în lucrarea sa faimoasă din 1905 privind electrodinamica corpurilor în mișcare, în care a adoptat un principiu de relativitate pentru mecanică și procesele electromagnetice (timpul nu este un lucru universal în teoria newtoniană) și a asumat independența vitezei luminii de viteza sursei. Potrivit lui Minkowski, spațiu-timpul este un spațiu pseudo-euclidian, patru-dimensional.
O curbă în spațiu-timp este numită temporală, nulă sau cauzală, dacă vectorul vitezei sale are întotdeauna caracterul corespunzător; două puncte sunt numite cauzale (respectiv, legate în mod cronologic) dacă există o curbă cauzală (respectiv temporală) care le leagă. O orientare temporală este o alegere globală a unei componente a vectorilor temporali în fiecare spațiu tangent ca fiind cele orientate spre viitor; acest lucru ne permite să vorbim despre un punct cauzal (sau cronologic) care precede altul. Cu alte cuvinte, M este orientat temporal dacă și numai dacă atribuirea unui con nul trecut și viitor în fiecare punct al lui M poate fi efectuată într-o manieră continuă pe M.
Presupunerea fizică fundamentală este că toate evenimentele din viitor, prezent și trecut ale universului nostru pot fi reprezentat ca un spațiu-timp patrudimensional cu istoria lumii a fiecărei particule (adică, setul evenimentelor sale de-a lungul timpului) fiind reprezentată ca o curbă de cauzalitate; o curbă nulă pentru o particulă cu o masă zero de repaus (cum ar fi un foton), un timp pentru o particulă masivă. Deoarece toate influențele cauzale sunt presupuse mediate de particule de un fel sau altul, aceasta implică faptul că un eveniment poate provoca o influență asupra unui al doilea eveniment doar dacă primul precede cauzal pe al doilea. Aspectele spațiu-timpului care depind doar de noțiunile de curbe temporale, nule și spațiale (geodezice), sunt colectiv numite structura cauzală (spațiu-timp); această structură depinde numai de clasa conformă a metricei. Geometria reală intră în imagine presupunând că istoria mondială a fiecărei particule este geodezică (dacă particula nu este supusă unor forțe străine, cum ar fi un motor cu rachetă) și că curbura Ricci a metricei reflectă structura materiei și a energiei prezentă în fiecare punct – exprimată de ecuațiile câmpului lui Einstein.
La fel ca în cazul Riemannian, o varietate lorentziană are o conexiune unică Levi-Civita. Prin urmare, geodezica în spațiu-timp este definită în mod obișnuit. Teoria geodeziei temporale în geometria lorentziană este, în multe privințe, analogă teoriei geodezice în geometria riemanniană. Cu toate acestea, există unele diferențe. Pentru un singur lucru, geodezica la scară locală maximizează lungimea arcului. În al doilea rând, analogul teoremei Hopf-Rinow nu există în cazul lorentzian. De exemplu, completitudinea geodezică nu garantează faptul că punctele legate de timp pot fi unite printr-un maxim geodezic în timp. Condiția standard în geometria lorentziană care garantează acest lucru este hiperbolicitatea globală. Un spațiu-timp M este global hiperbolic dacă și numai dacă este puternic cauzal (adică nu există curbe de închidere sau aproape închise în M) și intervalele de cauzalitate sunt compacte. Deoarece asigură o convexitate geodezică cauzală a spațiu-timpului, hiperbolicitatea globală joacă frecvent rolul de completitudine geodezică în geometria lorentziană.
Sursa: Luciano Boi, Theories of Space-Time in Modern Physics
Lasă un răspuns