Imre Lakatos: Proofs and Refutations

Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery este o carte din 1976 a filozofului Imre Lakatos care expune viziunea sa asupra evoluției matematicii. Cartea este scrisă ca o serie de dialoguri socratice care implică un grup de elevi care dezbat demonstrația caracteristicilor Euler definite pentru poliedre. O temă centrală este că definițiile nu sunt sculptate în piatră, dar de multe ori trebuie să fie peticiri în lumina unor cunoștințe ulterioare, în special demonstrații eșuate. Acest lucru oferă matematicii o aromă oarecum experimentală. La sfârșitul introducerii, Lakatos explică faptul că scopul său este de a contesta formalismul în matematică și de a arăta că matematica informală crește printr-o logică a „dovezilor și refutărilor”.

În carte sunt explicate multe idei logice importante. De exemplu, este discutată diferența dintre un contraexemplu la o lemă (așa-numitul „counterexemplu local”) și un contraexemplu la conjectura specifică atacată (un „contraexemplu global” la caracteristica Euler, în acest caz).

Cartea include două anexe. În primul, Lakatos dă exemple ale procesului euristic în descoperirea matematică. În al doilea rând, el contrastează abordările deductiviste și euristice și oferă analize euristice ale unor concepte de „dovezi generate” în matematică.

Elevii din carte sunt numiți după literele alfabetului grecesc.

Metoda

Deși cartea este scrisă ca o narațiune, se dezvoltă o metodă reală de investigare, cea a „dovezilor și refutărilor”. În Anexa I, Lakatos rezumă această metodă prin următoarea listă de etape:â

1. Conjectura primitivă.
2. Dovada (un experiment sau argument brut, descompunând conjectura primitivă în subconjecturi).
3. Apar contraexemple „globale” (contraexemple la conjectura primitivă).
4. Re-examinarea dovezii:  este reperată „lema vinovată” la care contraexemplul global este un contraexemplu local. Această lemă vinovată a rămas până atunci „ascunsă” sau poate a fost identificată greșit. Acum este explicită și încorporată în conjectura primitivă ca o condiție. Teorema – conjectura îmbunătățită – înlocuiește conjectura primitivă cu noul concept generat de dovezi ca o caracteristică a sa de primă importanță.
5. Dovezile altor teoreme sunt examinate pentru a vedea dacă lema nou descoperită sau noul concept generat de dovezi au loc în ele: acest concept poate fi găsit la intersecțiile diferitelor dovezi și, astfel, se dovedește a fi de importanță fundamentală.
6. Consecințele acceptate până în prezent ale conjecturii originale și refutate sunt verificate.
7. Contraexemplele sunt transformate în noi exemple – se deschid noi domenii de cercetare.

Traducere și adaptare din Wikipedia