Logicism

Logicismul este un program din filozofia matematicii, cuprinzând una sau mai multe dintre tezele că – pentru un anumit sens coerent al „logicii” – matematica este o extensie a logicii, o parte sau toată matematica poate fi redusă la logică sau unele sau toate matematicile pot fi modelate în logică. Bertrand Russell și Alfred North Whitehead au susținut acest program, inițiat de Gottlob Frege și dezvoltat ulterior de Richard Dedekind și Giuseppe Peano.

Prezentare generală

Calea lui Dedekind către logică a cunoscut un moment de cotitură când a fost capabil să construiască un model care să satisfacă axiomele care caracterizează numerele reale folosind anumite seturi de numere raționale. Aceasta și ideile conexe l-au convins că aritmetica, algebra și analiza pot fi reduse la numerele naturale, plus o „logică” a claselor. În plus, până în 1872, a ajuns la concluzia că numerele naturale în sine pot fi reduse la seturi și cartografieri. Este probabil ca alți logicieni, cel mai important fiind Frege, au fost de asemenea ghidați de noile teorii ale numerelor reale publicate în anul 1872.

Impulsul filosofic din spatele programului logistic al lui Frege, din Grundlagen der Arithmetik, a ținut în parte de nemulțumirea sa față de angajamentele epistemologice și ontologice ale relatărilor pe atunci existente ale numerelor naturale și convingerea lui că utilizarea de Kant a adevărurilor despre numerele naturale ca exemple de adevăr a priori sintetic a fost incorect.

Astfel a început o perioadă de expansiune pentru logism, cu Dedekind și Frege ca exponenți principali. Cu toate acestea, această fază inițială a programului logistic a ajuns în criză odată cu descoperirea paradoxurilor clasice ale teoriei seturilor (Cantor 1896, Zermelo și Russell 1900–1901). Frege a renunțat la proiect după ce Russell a recunoscut și și-a comunicat paradoxul identificând o inconsecvență în sistemul lui Frege prevăzut în Grundgesetze der Arithmetik. De reținut că teoria naivă a seturilor suferă și de această dificultate.

Pe de altă parte, Russell a scris Principiile matematicii în 1903 folosind paradoxul și evoluțiile școlii de geometrie a lui Giuseppe Peano. Întrucât a tratat subiectul noțiunilor primitive în geometrie și teoria seturilor, acest text a fost o sursă în dezvoltarea logismului. Evidența afirmării logismului a fost expusă de Russell și Whitehead în Principia Mathematica.

Astăzi, cea mai mare parte din matematica existentă se crede că poate fi derivată logic dintr-un număr mic de axiome extralogice, cum ar fi axiomele teoriei seturilor a lui Zermelo – Fraenkel (sau extensia sa ZFC), din care nu s-au derivat încă neconcordanțe. Astfel, elemente ale programelor logistice s-au dovedit viabile, însă în teoriile procesului de clase, seturi și mapări și logici de ordin superior, altele decât cele de la Henkin, au ajuns să fie considerate ca fiind de natură extralogică, în parte sub influența gândirii de mai târziu a lui Quine.

Teoremele de incompletitudine ale lui Kurt Gödel arată că niciun sistem formal din care pot fi derivate axiomele Peano pentru numerele naturale – cum ar fi sistemele lui Russell din PM – nu poate decide toate propozițiile bine formate ale acestui sistem. Acest rezultat a deteriorat programul lui Hilbert pentru fundamentele matematicii prin care teoriile „infinitare” – cum ar fi cea a PM – trebuiau să fie dovedite consecvente din teoriile finitare, cu scopul ca cei neliniștiți de „metodele infinitare” să poată fi siguri că utilizarea lor ar trebui să nu rezulte din derivarea unei contradicții. Rezultatul lui Gödel sugerează că, pentru a menține o poziție logistică, păstrând totodată cât mai mult din matematica clasică, trebuie să acceptăm o anumită axiomă a infinitului ca parte a logicii. În această privință, acest lucru dăunează programului logistic, deși doar pentru cei deja îndoielnici cu privire la „metodele infinitare”. Cu toate acestea, pozițiile derivate atât din logică, cât și din finitismul hibertbertian, au continuat să fie promulgate de la publicarea rezultatului lui Gödel.

Un argument potrivit căruia programele derivate din logism rămân valabile ar putea fi că teoremele incompletitudinii sunt „demonstrate prin logică la fel ca oricare alte teoreme”. Totuși, acest argument pare să nu recunoască distincția dintre teoreme ale logicii de prim ordin și teoreme ale logicii de ordin superior. Primele pot fi demonstrate folosind metode finistice, în timp ce cele din urmă – în general – nu pot. Teorema indefinibilității lui Tarski arată că numerotarea lui Gödel poate fi folosită pentru a demonstra constructe sintactice, dar nu și afirmații semantice. Prin urmare, afirmația conform căreia logismul rămâne un program valid poate să se angajeze să afirme că un sistem de probă bazat pe existența și proprietățile numerelor naturale este mai puțin convingător decât unul bazat pe un sistem formal special.

Logicismul – mai ales prin influența lui Frege asupra lui Russell și Wittgenstein și mai târziu a lui Dummett – a contribuit semnificativ la dezvoltarea filozofiei analitice în secolul XX.

Originea numelui „logicism”

Ivor Grattan-Guinness afirmă că cuvântul francez „Logistique” a fost „introdus de Couturat și alții la Congresul Internațional de Filozofie din 1904 și a fost folosit de Russell și alții de atunci, în versiuni potrivite pentru diverse limbi”.

Aparent, prima (și singura) utilizare de către Russell a apărut în 1919: „Russell s-a referit de mai multe ori [sic] la Frege, afirmând despre el ca fiind unul „care a reușit pentru prima dată să „logiceze” matematica”. În afară de prezentarea greșită (pe care Russell a rectificat-o parțial explicând propria opinie asupra rolului aritmeticii în matematică), pasajul este notabil pentru cuvântul pe care l-a pus în ghilimele, dar prezența lor sugerează nervozitate, iar el nu a mai folosit niciodată cuvântul, astfel încât ”logicismul” nu a apărut decât în ​​anii ’20 mai târziu.”

Cam în același timp cu Carnap (1929), dar aparent independent, Fraenkel (1928) a folosit cuvântul: „Fără comentarii, el a folosit numele de „logicism” pentru a caracteriza poziția Whitehead / Russell.” Carnap a folosit un cuvânt ușor diferit, „Logistik”; Behmann s-a plâns de utilizarea sa în manuscrisul lui Carnap, astfel încât Carnap a propus cuvântul „Logizism”, dar în cele din urmă s-a preferat alegerea sa, „Logistik”. În cele din urmă, „răspândirea s-a datorat în principal Carnap, din 1930 încoace”.

Intenția sau obiectivul logismului

Logica simbolică: Intenția excesivă a logicismului este de a deriva toată matematica din logica simbolică (Frege, Dedekind, Peano, Russell.) În contrast cu logica algebrică (logica booleană) care folosește concepte aritmetice, logica simbolică începe cu un set foarte redus de mărci (simboluri non-aritmetice), câteva axiome „logice” care întruchipează „legile gândirii” și reguli de inferență care dictează modul în care mărcile trebuie asamblate și manipulate – de exemplu substituirea și modus ponens (adică de la [1] A implică material B și [2] A, se poate deriva B). Logicismul adoptă, de asemenea, din fundamentul lui Frege, reducerea declarațiilor limbajului natural din „subiect | predicat” în „atomi” propoziționali sau în „argumentul | funcția” „generalizării” – noțiunile „toate”, „unele”, „clase” (colectare, agregat) și „relație”.

Într-o derivare logistică a numerelor naturale și a proprietăților lor, nicio „intuiție” a numărului nu ar trebui „să se strecoare” nici ca axiomă, nici din greșeală. Scopul este de a deduce toată matematica, începând cu numerele de numărare și apoi numerele reale, din unele „legi ale gândirii” alese singure, fără presupuneri tacite de „înainte” și „după” sau „mai puțin” și „mai mult” sau la obiect: „succesor” și „predecesor”. Gödel în 1944 a rezumat „construcțiile” logistice ale lui Russell, în comparație cu „construcțiile” din sistemele fundamentale ale Intuționismului și Formalismului („Școala Hilbert”) după cum urmează: „Ambele școli își bazează construcțiile pe o intuiție matematică a cărei evitare este exact una a principalelor scopuri ale constructivismului lui Russell,”

Istorie: Gödel a rezumat istoricul fundal din Caracteristica universalis a lui Leibniz, prin Frege și Peano până la Russell: „Frege a fost interesat în principal de analiza gândirii și a folosit calculul său în primul rând pentru a deriva aritmetica din logica pură”, în timp ce Peano ”era mai interesat de aplicațiile sale în cadrul matematicii „. Dar „doar Principia Mathematica a lui Russell a folosit pe deplin noua metodă pentru a deriva de fapt părți mari ale matematicii din foarte puține concepte și axiome logice. În plus, tânăra știință a fost îmbogățită de un nou instrument, teoria abstractă a relațiilor”.

Kleene în 1952 afirmă astfel: „Leibniz (1666) a conceput mai întâi logica precum o știință care conține ideile și principiile care stau la baza tuturor celorlalte științe. Dedekind (1888) și Frege (1884, 1893, 1903) s-au angajat în definirea noțiunilor matematice în termeni din logică, și Peano (1889, 1894–190) în exprimarea teoremelor matematice într-un simbolism logic”; în paragraful anterior el include pe Russell și Whitehead ca exemplare ale „școlii logistice”, celelalte două școli „fundamentale” fiind intuiționistică și „școala formalistă sau axiomatică”.

Frege în 1879 descrie intenția sa din Prefața la Begriffsschrift din 1879: a început cu o considerație a aritmeticii, a rezultat ea din „logică” sau din „fapte de experiență”?

„Mai întâi a trebuit să mă asigur cât de departe s-ar putea proceda în aritmetică doar prin inferențe, cu unicul sprijin al acelor legi ale gândirii care transcend toate elementele. Etapa mea inițială a fost încercarea de a reduce conceptul de ordonare într-o secvență la cea de consecință logică, ca să trec de acolo la conceptul de număr. Pentru a împiedica orice intuitiv să pătrundă aici neobservat, a trebuit să depun toate eforturile pentru a păstra lanțul inferențelor libere de goluri … Am găsit inadecvarea limbajului ca fiind un obstacol; oricât de nepăsătoare sunt expresiile pe care eram gata să le accept, am fost din ce în ce mai puțin capabil, pe măsură ce relațiile deveneau din ce în ce mai complexe, să ating precizia pe care mi-o impunea scopul meu. Această deficiență m-a dus la ideea ideografiei prezente. Prin urmare, primul său scop este să ne ofere cea mai fiabilă probă a validității unui lanț de inferențe și să evidențiem fiecare presupunere care încearcă să se strecoare neobservată „(Frege, 1879, în van Heijenoort 1967: 5).

Dedekind în 1887 descrie intenția sa în Prefața din 1887 a primei ediții a Naturii și semnificației numerelor. El a considerat că în „fundamentele celei mai simple științe, de ​​exemplu, acea parte a logicii care se ocupă de teoria numerelor” nu a fost argumentată în mod corespunzător – „nimic capabil de dovadă nu trebuie acceptat fără dovadă”:

”Vorbind despre aritmetică (algebră, analiză) ca parte a logicii, vreau să spun că consider conceptul de număr complet independent de noțiunile de intuiții ale spațiului și timpului, că îl consider un rezultat imediat din legile gândirii. . . numerele sunt creații gratuite ale minții umane. . . [și] numai prin procesul pur logic de construire a științei numerelor. . . suntem pregătiți cu exactitate să investigăm noțiunile noastre despre spațiu și timp, aducându-le în relație cu acest domeniu numeric creat în mintea noastră ”(Dedekind, 1887, republicare Dover 1963: 31).

Peano în 1889 își arată intenția în Prefața sa la Principiile aritmeticii:

”Întrebările care se referă la fundamentele matematicii, deși tratate de mulți în vremurile recente, încă nu au o soluție satisfăcătoare. Dificultatea își are principala sursă în ambiguitatea limbajului. De aceea este extrem de important să examinăm cu atenție chiar cuvintele pe care le folosim. Scopul meu a fost să fac această examinare”. (Peano, 1889, în van Heijenoort, 1967: 85).

Russell în 1903 descrie intenția sa în Prefața la Principiile matematicii:

„Lucrarea de față are două obiecte principale. Unul dintre acestea, dovada că toată matematica pură se ocupă exclusiv de concepte definibile în termeni de un număr foarte mic de concepte logice fundamentale și că toate propozițiile sale sunt deductibile dintr-un număr foarte mic de principii logice fundamentale”. (Prefața 1903: vi).

„Câteva cuvinte cu privire la originea lucrării prezente pot servi pentru a arăta importanța întrebărilor discutate. Acum aproximativ șase ani, am început o investigație asupra filozofiei dinamicii … [Din două întrebări – accelerație și mișcare absolută într-o „teorie relațională a spațiului”] am fost condus la o reexaminare a principiilor Geometriei, de acolo la filozofia continuității și infinitului, și apoi, în vederea descoperirii sensului cuvântului oricare, la Logica simbolică”. (Prefață 1903: vi-vii).