Notația bra-ket în mecanica cuantică

(Componentele vectorilor complecși desenate relativ la numărul de indice; k discret si x continuu. Două componente particulare dintr-o infinitate sunt evidentiate:

Componentele discrete A_k ale unui vector complex |A› = Σ_kA_k|e_k›, care aparține unui spațiu Hilbert numărabil infinit-dimensional; există o infinitate de valori k și vectori de bază |e_k›.

Componentele continue ψ(x) ale unui vector complex |ψ› = ∫dxψ(x)|x›, care aparține unui spațiu Hilbert ne-numărabil infinit-dimensional; există o infinitate de valori x și vectori de bază |x›.)

În mecanica cuantică, notația bra-ket este o notație standard pentru descrierea stărilor cuantice. De asemenea, poate fi folosită pentru a denumi vectori abstracți și funcții lineare în matematică. Notația folosește paranteze unghiulare (simbolurile ‹ și ›) și o bară verticală (simbolul |), pentru a desemna produsul scalar al vectorilor sau acțiunea unei funcții liniare pe un vector într-un spațiu vectorial complex. Produsul sau acțiunea scalară este scrisă ca

‹Φ|ψ›.

Partea din dreapta se numește ket; este un vector, reprezentat de obicei ca vector de coloană și scris

|ψ›.

Partea din stânga se numește bra; este conjugatul hermitian al lui ket cu aceeași etichetă, reprezentat în mod tipic ca vector de rând și scris

‹Φ|.

O combinație de bra, ket și operatori este interpretată folosind multiplicarea matriceală. Un bra și un ket cu aceeași etichetă sunt conjugați hermitici unul cu celălalt.

Notația bra-ket a fost introdusă în 1939 de Paul Dirac și este cunoscută și sub numele de notația Dirac.

Notația bra-ket are un precursor în folosirea de către Hermann Grassmann a notatiei [φ|ψ] pentru produsele sale interioare, cu aproape 100 de ani în urmă.

Introducere

Notația bra-ket este o notație pentru algebra liniară, concentrată în special asupra vectorilor, produselor interioare, operatorilor liniari, conjugării hermitiene și spațiului dual, atât pentru spațiile vectoriale complexe dimensionale finite cât și pentru cele infinit dimensionale. Este special concepută pentru a ușura tipurile de calcule care apar frecvent în mecanica cuantică.

Utilizarea sa în mecanica cuantică este destul de răspândită. Multe fenomene explicate folosind mecanica cuantică folosesc de obicei folosind notația bra-ket.

În cazuri simple, un ket |m› poate fi descris ca un vector de coloană, un bra cu aceeași etichetă ‹m| este transpusul conjugat (care este un vector de linie), și scrierile bra, ket și operatorii liniari unul lângă celălalt implică multiplicarea matriceală. Cu toate acestea, ket poate exista, de asemenea, în spații vectoriale ne-numărabile infinit dimensionale, astfel încât acestea nu pot fi literalmente scrise ca un vector de coloană. De asemenea, scrierea unui vector de coloană ca o listă de numere necesită alegerea unei baze, în timp ce se poate scrie „|m›” fără a se angaja o anumită bază. Acest lucru este util, deoarece calculele din mecanica cuantică implică frecvent comutarea între diferitele baze (de exemplu, baza poziției, baza impulsului, energia, baza proprie, etc.), astfel încât este mai bine să avem vectorii de bază (dacă există) scrise explicit. În unele situații care implică doi vectori de bază importanți, aceștia vor fi pur și simplu numiți „|-›” și „|+›„.

Notația matematică standard pentru produsul interior, preferată și de unii fizicieni, exprimă exact același lucru ca notația bra-ket,

(φ, ψ) = ‹φ|ψ› = (‹φ|) (|ψ›),

Seturile de ket și bra pot fi configurate și în alte moduri, cum ar fi produsul exterior

|ψ›‹φ|

care poate fi, de asemenea, reprezentat ca o multiplicare matriceală (adică un vector de coloană ori un vector de linie este egal cu o matrice).

În cazul în care ket este un element al unui spațiu vectorial, bra este din punct de vedere tehnic un element al spațiului său dual.

Utilizarea în mecanica cuantică

Structura matematică a mecanicii cuantice se bazează în mare parte pe algebra liniară:

Funcțiile de undă și alte stări cuantice pot fi reprezentate ca vectori într-un spațiu complex Hilbert. (Structura exactă a acestui spațiu Hilbert depinde de situație.) În notația bra-ket, de exemplu, un electron ar putea fi în „stare” |ψ›. (Tehnic, stările cuantice sunt raze de vectori în spațiul Hilbert, deoarece c|ψ› corespunde aceleiași stări pentru orice număr complex c).
Suprapunerile cuantice pot fi descrise ca sume vectoriale ale stărilor constitutive. De exemplu, un electron în starea |1› + i|2› este într-o suprapunere cuantică a stărilor |1› și |2›.
Măsurătorile sunt asociate cu operatori liniari (numiți observabile) pe spațiul Hilbert al stărilor cuantice.
Dinamica este, de asemenea, descrisă de operatori liniari pe spațiul Hilbert. De exemplu, în interpretarea lui Schrödinger există un operator liniar de evoluție a timpului U cu proprietatea că dacă un electron este în stare |ψ› chiar acum, la un moment dat acesta va fi în stare U|ψ›, același U pentru fiecare posibil |ψ›.
Normalizarea funcției de undă este scalarea unei funcții de undă astfel încât norma ei să fie 1.