Scalari și vectori

(Un indicator spune informații despre distanțele și direcțiile către orașe sau către alte locații în raport cu locația indicatorului. Distanța este o cantitate scalară. Cunoașterea doar a distanței nu este suficientă pentru a ajunge la oraș; trebuie să cunoaștem și direcția de la indicator către oraș. Direcția, împreună cu distanța, este o mărime vectorială numită în mod obișnuit vectorul de deplasare. Prin urmare, un indicator spune informații despre vectorii de deplasare de la indicator către orașe.)

Vectorii sunt esențiali pentru fizică și inginerie. Multe mărimi fizice fundamentale sunt vectori, inclusiv deplasarea, viteza, forța și câmpurile vectoriale electrice și magnetice. Produsele scalare ale vectorilor definesc alte mărimi fizice scalare fundamentale, cum ar fi energia. Produsele vectoriale ale vectorilor definesc alte mărimi fizice fundamentale ale vectorilor, cum ar fi cuplul și impulsul unghiular. Cu alte cuvinte, vectorii sunt o componentă a fizicii în același mod în care propozițiile sunt o parte componentă a literaturii.

În fizica introductivă, vectorii sunt mărimi euclidiene care au reprezentări geometrice ca săgeți într-o dimensiune (într-o linie), în două dimensiuni (într-un plan) sau în trei dimensiuni (în spațiu). Ele pot fi adăugate, scăzute sau multiplicate. În acest capitol, explorăm elemente ale algebrei vectoriale pentru aplicații în mecanică și în electricitate și magnetism. Operațiile vectoriale au, de asemenea, numeroase generalizări în alte ramuri ale fizicii.

Multe cantități fizice familiare pot fi specificate complet prin desemnarea unui singur număr și a unității corespunzătoare. De exemplu, „o oră de clasă durează 50 de minute” sau „rezervorul de benzină din mașina mea are 65 L” sau „distanța dintre două posturi este de 100 m”. O mărime fizică care poate fi specificată complet în acest mod se numește mărime scalară. Scalar este un sinonim al „numărului”. Timpul, masa, distanța, lungimea, volumul, temperatura și energia sunt exemple de mărimi scalare.

Cantitățile scalare care au aceleași unități fizice pot fi adăugate sau scăzute conform regulilor obișnuite ale algebrei pentru numere. De exemplu, o oră de clasă care se termină cu 10 minute mai devreme de 50 de minute durează 50 min – 10 min = 40 min. În mod similar, o porție de porumb de 60 de cal, urmată de o porție de gogoși de 200 de cal, dă o energie totală de 60 cal + 200 cal = 260 cal. Când înmulțim o cantitate scalară cu un număr, obținem aceeași cantitate scalară, dar cu o valoare mai mare (sau mai mică). De exemplu, dacă micul dejun de ieri avea 200 cal de energie, iar micul dejun de azi are de patru ori mai multă energie decât ieri, atunci micul dejun de azi are o energie de 4(200 cal) = 800 cal. Două mărimi scalare pot fi, de asemenea, multiplicate sau împărțite între ele pentru a forma o cantitate scalară derivată. De exemplu, dacă un tren acoperă o distanță de 100 km în 1,0 h, viteza sa este de 100,0 km/1,0 h = 27,8 m/s, unde viteza este o cantitate scalară derivată obținută prin împărțirea distanței la timp.

Multe cantități fizice, totuși, nu pot fi descrise complet doar printr-un singur număr de unități fizice. De exemplu, atunci când Garda de Coastă a SUA expediază o navă sau un elicopter pentru o misiune de salvare, echipa de salvare trebuie să cunoască nu numai distanța până la semnalul de primejdie, ci și direcția din care vine semnalul, astfel încât să poată ajunge la originea sa cât mai repede posibil. Mărimile fizice specificate complet dând un număr de unități (magnitudine) și o direcție se numesc mărimi vectoriale. Exemple de mărimi vectoriale includ deplasarea, viteza, poziția, forța și cuplul. În limbajul matematicii, mărimile fizice ale vectorilor sunt reprezentate de obiecte matematice numite vectori (Figura 2.2). Putem adăuga sau scădea doi vectori și putem înmulți un vector cu un scalar sau cu alt vector, dar nu putem împărți cu un vector. Operația de împărțire cu un vector nu este definită.

(Desenăm un vector de la punctul sau originea inițială (numită „coada” unui vector) până la punctul final sau terminal (numit „capul” unui vector), marcat cu un vârf de săgeată. Magnitudinea este lungimea unui vector și este întotdeauna o cantitate scalară pozitivă.)

Să examinăm algebra vectorială folosind o metodă grafică pentru a fi conștienți de termenii de bază și pentru a dezvolta o înțelegere calitativă. Cu toate acestea, în practică, atunci când vine vorba de rezolvarea problemelor de fizică, folosim metode analitice, pe care le vom vedea în secțiunea următoare. Metodele analitice sunt mai simple din punct de vedere computațional și mai precise decât metodele grafice. De acum înainte, pentru a distinge între un vector și o cantitate scalară, adoptăm convenția comună conform căreia o literă cu caractere aldine cu o săgeată deasupra acestuia denotă un vector, iar o literă fără săgeată denotă un scalar. De exemplu, o distanță de 2,0 km, care este o mărime scalară, este notată cu d = 2,0 km, în timp ce o deplasare de 2,0 km într-o anumită direcție, care este o mărime vectorială, este notată cu d.

Să presupunem că îi spui unui prieten într-o excursie de camping că ai descoperit o zonă grozavă de pescuit la 6 km de cortul tău. Este puțin probabil ca prietenul tău să poată găsi cu ușurință zona, cu excepția cazului în care comunici și direcția în care poate fi găsită față de campingul tău. Poți spune, de exemplu, „Mergi la aproximativ 6 km nord-est de cortul meu”. Conceptul cheie aici este că trebuie să oferiți nu una, ci două informații – și anume, distanța sau magnitudinea (6 km) și direcția (nord-est).

Deplasarea este un termen general folosit pentru a descrie o schimbare de poziție, cum ar fi în timpul unei călătorii de la cort la zona de pescuit. Deplasarea este un exemplu de mărime vectorială. Dacă mergeți de la cort (locația A) până la zonă (locația B), așa cum se arată în Figura 2.3, vectorul D, reprezentând deplasarea ta, este desenat ca săgeata care are originea în punctul A și se termină în punctul B. Vârful săgeții marchează sfârșitul vectorului. Direcția vectorului de deplasare D este direcția săgeții. Lungimea săgeții reprezintă magnitudinea D a vectorului D. Aici, D = 6 km. Deoarece magnitudinea unui vector este lungimea acestuia, care este un număr pozitiv, magnitudinea este indicată și prin plasarea notării valorii absolute în jurul simbolului care denotă vectorul; deci, putem scrie echivalent că D ≡ |D|. Pentru a rezolva grafic o problemă vectorială, trebuie să desenăm vectorul D la scară. De exemplu, dacă presupunem că o unitate de distanță (1 km) este reprezentată în desen printr-un segment de linie de lungime u = 2 cm, atunci deplasarea totală din acest exemplu este reprezentată de un vector de lungime d = 6u = 6(2 cm) = 12 cm, așa cum se arată în Figura 2.4 . Observați că aici, pentru a evita confuzia, am folosit D = 6 km pentru a denota magnitudinea deplasării reale și d = 12 cm pentru a indica lungimea reprezentării sale în desen.

(Vectorul de deplasare de la punctul A (poziția inițială la camping) la punctul B (poziția finală la zona de pescuit) este indicat de o săgeată cu originea în punctul A și sfârșitul în punctul B. Deplasarea este aceeași pentru oricare dintre căile reale (curbe întrerupte) care pot fi parcurse între punctele A și B.)

(O deplasare de magnitudine 6 km este trasată la scară ca un vector de lungime 12 cm atunci când lungimea de 2 cm reprezintă 1 unitate de deplasare (care în acest caz este de 1 km).)

Să presupunem că prietenul tău merge de la campingul A la zona de pescuit B și apoi se întoarce înapoi: de la zona de pescuit B la campingul de la A. Mărimea vectorului de deplasare D_AB de la A la B este aceeași cu magnitudinea vectorului de deplasare D_BA de la B la A (este egal cu 6 km în ambele cazuri), deci putem scrie D_AB = D_BA. Cu toate acestea, vectorul D_AB nu este egal cu vectorul D_BA deoarece acești doi vectori au direcții diferite: D_AB≠ D_BA. În figura 2.3, vectorul D_BA ar fi reprezentat de un vector cu o origine în punctul B și un capăt în punctul A, indicând că vectorul D_BA arată către sud-vest, care este exact opus direcției vectorului D_AB. Spunem că vectorul D_BA este antiparalel față de vectorul D_AB și scriem: D_AB= − D_BA, unde semnul minus indică direcția antiparalelă.

Se spune că doi vectori care au direcții identice sunt vectori paraleli – adică sunt paraleli între ei. Doi vectori paraleli A și B sunt egali, notați cu A = B, dacă și numai dacă au magnitudini egale |A| = |B|. Se spune că doi vectori cu direcții perpendiculare unul pe altul sunt vectori ortogonali. Aceste relații între vectori sunt ilustrate în Figura 2.5.

(Relații diverse între doi vectori A și B. (a) A ≠ B deoarece A ≠ B. (b) A ≠ B deoarece nu sunt paraleli și A ≠ B. (c) A ≠ − A deoarece au direcții diferite (chiar dacă ∣A∣ = ∣− A∣ = A). (d) A = B deoarece sunt paraleli și au magnitudini identice A = B. (e) A ≠ B deoarece au direcții diferite (nu sunt paralele); aici, direcțiile lor diferă cu 90° – adică sunt ortogonale.)

Problema 2.1

Două bărci cu motor pe nume Alice și Bob se deplasează pe un lac. Având în vedere informațiile despre vectorii lor de viteză în fiecare dintre următoarele situații, indicați dacă vectorii lor de viteză sunt egali sau nu. (a) Alice se deplasează spre nord cu 6 noduri, iar Bob se deplasează spre vest cu 6 noduri. (b) Alice se deplasează spre vest cu 6 noduri, iar Bob se deplasează spre vest cu 3 noduri. (c) Alice se deplasează spre nord-est cu 6 noduri, iar Bob se deplasează spre sud cu 3 noduri. (d) Alice se deplasează spre nord-est cu 6 noduri, iar Bob se deplasează spre sud-vest cu 6 noduri. (e) Alice se deplasează spre nord-est cu 2 noduri, iar Bob se apropie de țărm spre nord-est cu 2 noduri.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS