Vectori

Când sunt utilizați fără o semnificație anume, vectorul se referă de obicei fie la:

• În general; un element al unui spațiu vectorial, sau
• În fizică și geometrie: un vector euclidian sau un vector de direcție, folosit pentru a reprezenta cantități fizice care au atât magnitudine cât și direcție

Vectorul poate o varietate de semnificații diferite, în funcție de context.

Spațiu vectorial

(Adunarea vectorilor și multiplicarea scalară: un vector v (albastru) este adăugat unui alt vector w (roșu, ilustrația de sus). Mai jos, w este multiplicat cu un factor de 2, rezultând suma v + 2w.)

Un spațiu vectorial (numit și un spațiu liniar) este o colecție de obiecte numite vectori, care pot fi adăugate împreună și multiplicate („scalate”) de numere, numite scalari. Scalarii sunt adesea numere reale, dar există și spații vectoriale cu înmulțire scalară prin numere complexe, numere raționale sau, în general, orice domeniu. Operațiile de adunare vectorială și de multiplicare scalară trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite axiome.

Vectorii euclidean sunt un exemplu de spațiu vectorial. Ei reprezintă cantități fizice, cum ar fi forțele: orice două forțe (de același tip) pot fi adăugate pentru a obține o a treia forță, iar multiplicarea unui vector de forță cu un multiplicator real este un alt vector de forță. În același sens, dar într-un sens mai geometric, vectorii reprezentând deplasări în plan sau în spațiu tridimensional formează și spații vectoriale. Vectorii în spațiile vectoriale nu trebuie neapărat să fie obiecte asemănătoare săgeților așa cum apar în exemplele menționate: vectorii sunt considerați obiecte matematice abstracte cu proprietăți particulare, care în unele cazuri pot fi vizualizate ca săgeți.

Spațiile vectoriale fac obiectul algebrei liniare și sunt bine caracterizate prin dimensiunea lor, care, aproximativ vorbind, specifică numărul de direcții independente din spațiu. Spațiile vectoriale dimensionale infinite apar în mod natural în analiza matematică, ca spații funcționale, ale căror vectori sunt funcții. Aceste spații vectoriale sunt în general dotate cu o structură suplimentară, care poate fi o topologie, care să permită luarea în considerare a problemelor de proximitate și continuitate. Dintre aceste topologii, cele care sunt definite printr-o normă sau un produs interior sunt utilizate mai frecvent, având o noțiune de distanță între doi vectori. Acesta este în special cazul spațiilor Banach și al spațiilor Hilbert, care sunt fundamentale în analiza matematică.

Din punct de vedere istoric, primele idei care conduc la spații vectoriale pot fi trasate înapoi până la geometria analitică a secolului al XVII-lea, matrice, sisteme de ecuații liniare și vectori euclidieni. Tratamentul modern, mai abstract, formulat pentru prima dată de Giuseppe Peano în 1888, cuprinde obiecte mai generale decât spațiul euclidian, însă o mare parte a teoriei poate fi văzută ca o extensie a ideilor geometrice clasice, cum ar fi linii, planuri și analogiile lor de dimensiuni superioare.

Astăzi, spațiile vectoriale se aplică peste tot în matematică, știință și inginerie. Ele sunt noțiunea liniară-algebrică adecvată pentru a trata sistemele de ecuații liniare. Acestea oferă un cadru pentru expansiunea Fourier, care este folosită în rutinele de compresie a imaginii și oferă un mediu care poate fi folosit pentru tehnici de soluție pentru ecuații diferențiale parțiale. Mai mult, spațiile vectoriale furnizează un mod abstract, fără coordonate, de a trata obiecte geometrice și fizice, cum ar fi tensorii. Aceasta, la rândul său, permite examinarea proprietăților locale ale varietăților geometrice prin tehnici de linearizare. Spațiile vectoriale pot fi generalizate în mai multe moduri, ducând la noțiuni mai avansate în geometrie și algebră abstractă.

Istorie

Spațiile vectoriale provin din geometria afinelor prin introducerea de coordonate în plan sau spațiul tridimensional. În jurul anului 1636, Descartes și Fermat au fondat geometria analitică prin egalizarea soluțiilor la o ecuație de două variabile cu puncte pe o curbă plană. În 1804, pentru a realiza soluții geometrice fără a utiliza coordonate, Bolzano a introdus anumite operații pe puncte, linii și planuri, care sunt predecesoare ale vectorilor. Lucrarea sa a fost folosită apoi în concepția coordonatelor barycentrice de către Möbius în 1827. În 1828, C. V. Mourey a sugerat existența unei algebre care să depășească nu numai algebra obișnuită, ci și algebra bidimensională creată de el căutând o interpretare geometrică a numerelor complexe.

Definiția vectorilor a fost fondată pe noțiunea lui Bellavitis a bipunctului, un segment orientat, al cărui scop este originea, iar celălalt o țintă, apoi elaborat în continuare cu prezentarea de numere complexe de Argand și Hamilton și introducerea cuaternionilor și bicuaternionilor de către acesta din urmă. Ele sunt elemente în spațiile R2, R4 și R8; tratarea lor ca fiindcombinații liniare apare la Laguerre în 1867, care a definit de asemenea sistemele de ecuații liniare.

În 1857, Cayley a introdus notația matriceală, care permite o armonizare și simplificare a hărților liniare. În același timp, Grassmann a studiat calculul barycentric inițiat de Möbius. El a prevăzut seturi de obiecte abstracte dotate cu operațiuni. În lucrarea sa sunt prezente conceptele de independență și dimensiune liniară, precum și de produse scalare. De fapt, lucrarea lui Grassmann din 1844 depășește cadrul spațiilor vectoriale, deoarece considerarea lui de multiplicare l-a condus la ceea ce astăzi numim algebre. Peano a fost primul care a dat definiția modernă a spațiilor vectoriale și a hărților liniare în 1888.

O dezvoltare importantă a spațiilor vectoriale se datorează construirii spațiilor funcționale de către Lebesgue. Aceasta a fost mai târziu formalizată de Banach și Hilbert, în jurul anului 1920. La acea vreme, algebra și noul câmp de analiză funcțională au început să interacționeze, în special cu concepte cheie, cum ar fi spațiile funcțiilor integrabile p și spațiile Hilbert. Spațiile vectoriale, inclusiv cele infinit dimensionale, au devenit apoi o noțiune ferm stabilită și multe ramuri matematice au început să folosească acest concept.

Vectori euclidieni

În matematică, fizică și inginerie, un vector euclidian (uneori numit un vector geometric sau spațial sau, ca aici, pur și simplu un vector) este un obiect geometric cu magnitudine (sau lungime) și direcție. Vectorii pot fi adăugați la alți vectori în funcție de algebra vectorială. Un vector euclidian este reprezentat frecvent de un segment de linie cu o direcție definită sau grafic ca o săgeată, care conectează un punct inițial A cu un punct terminal B și este notat

Un vector evidențiază „transportul” punctului A în punctul B; cuvântul latin vector înseamnă „purtător”. A fost folosită pentru prima oară de astronomii din secolul al XVIII-lea care investigau rotația planetelor în jurul Soarelui. Mărimea vectorului este distanța dintre cele două puncte și direcția se referă la direcția de deplasare de la A la B. Multe operații algebrice pe numere reale cum ar fi adunarea, scăderea, înmulțirea și anularea au analogi apropiați pentru vectori, operații care se supun legilor familiare algebrice ale comutativității, asociativității și distributivității. Aceste operații și legile asociate califică vectorii Euclidani drept un exemplu al conceptului mai generalizat de vectori definit simplu ca elemente ale unui spațiu vectorial.

Vectorii joacă un rol important în fizică: viteza și accelerarea unui obiect în mișcare și forțele care acționează asupra acestuia pot fi descrise cu vectori. Multe alte cantități fizice pot fi abordate util ca vectori. Deși majoritatea nu reprezintă distanțe (cu excepția, de exemplu, a poziției sau deplasării), magnitudinea și direcția lor poate fi reprezentată în continuare de lungimea și direcția unei săgeți. Reprezentarea matematică a unui vector fizic depinde de sistemul de coordonate utilizat pentru descrierea acestuia. Alte obiecte asemănătoare vectorilor care descriu cantitățile fizice și se transformă într-un mod similar sub schimbări ale sistemului de coordonate includ pseudovectori și tensori.

Istorie

Conceptul de vector, așa cum îl știm astăzi, a evoluat treptat pe o perioadă de peste 200 de ani.

Giusto Bellavitis a abstractizat ideea de bază în 1835, când a stabilit conceptul de echipolență. Lucrând într-un plan euclidian, el a considerat echipolentă orice pereche de segmente de linie de aceleași lungime și orientare. În esență, el a realizat o relație de echivalență pe perechi de puncte (bipuncte) în plan și astfel a construit primul spațiu de vectori în plan.

Termenul vector a fost introdus de William Rowan Hamilton ca parte a unui cuaternion, care este suma unui număr real și a unui vector tridimensional. La fel ca Bellavitis, Hamilton a văzut vectorii ca reprezentând clase de segmente direcționate echipolente. Deoarece numerele complexe folosesc o unitate imaginară pentru a completa linia reală, Hamilton a considerat vectorul ca fiind partea imaginară a unui cuaternion:

Partea imaginară algebrică, construită geometric printr-o linie dreaptă sau vector de rază, care are, în general, pentru fiecare cuaternion determinat, o lungime determinată și o direcție determinată în spațiu, poate fi numită partea vectorială sau pur și simplu vectorul cuaternion.

Mai mulți matematicieni au dezvoltat sisteme de tip vectorial la mijlocul secolului al XIX-lea, printre care Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant și Matthew O’Brien. Lucrarea lui Grassmann din 1840 Theorie der Ebbe und Flut, a fost primul sistem de analiză spațială similar cu sistemul de astăzi și a avut idei corespunzătoare produsului încrucișat, a produsului scalar și a diferențierii vectoriale. Activitatea lui Grassmann a fost neglijată până în anii 1870.

Peter Guthrie Tait a dezvoltat standardul cuaternion după Hamilton. Tratatul elementar al cuaternionilor din 1867 a inclus tratamentul extensiv al operatorului nabla sau del ∇.

În 1878 a fost publicată Elementele dinamicii de William Kingdon Clifford. Clifford a simplificat studiul cuaternionilor prin izolarea produsului punctat și a produsului încrucișat al doi vectori din produsul cuaternionilor complet. Această abordare a făcut calcule vectoriale disponibile pentru ingineri și pentru alții care lucrează în trei dimensiuni.

Josiah Willard Gibbs a separat partea vectorială de tratamentul independent. Prima jumătate a elementelor lui Gibbs de analiză vectorială, publicată în 1881, prezintă ceea ce este, în esență, sistemul modern de analiză vectorială. În 1901, Edwin Bidwell Wilson a publicat Analiza vectorilor, adaptată din prelegerile lui Gibb, care a interzis orice mențiune despre cuaternioni în dezvoltarea calculului vectorial.

Vectorul de direcție

În matematică, un vector de direcție descrie un segment de linie D este orice vector

unde A și B sunt două puncte distincte pe o linie. Dacă v este un vector de direcție pentru linie, la fel este kv pentru orice scalar k diferit de zero; și aceștia sunt, de fapt, toți vectorii de direcție pentru linie. Din anumite definiții, vectorul de direcție este necesar să fie un vector unic, caz în care fiecare linie are exact doi vectori de direcție, care sunt negativi între ei (egali în magnitudine, opuși în direcție).

Un vector de direcție indică o cantitate de direcție.