Semantica logicii modale

Semantica logicii modale este de obicei dată după cum urmează: Mai întâi definim un cadru, care constă dintr-un set non-gol, G, ai cărui membri sunt în general numiți lumi posibile, și o relație binară, R, care se ocupă (sau nu) de lumile posibile ale lui G. Această relație binară se numește relație de accesibilitate. De exemplu, w R u înseamnă că lumea u este accesibilă din lumea w. Adică, starea de lucruri cunoscută sub numele de u este o posibilitate live pentru w. Aceasta dă o pereche, ‹G, R›. Unele formulări ale logicii modale includ, de asemenea, un termen constant în G, numit convențional „lumea reală”, care este adesea simbolizat ca w*.

În continuare, cadrul este extins la un model, specificând valorile de adevăr ale tuturor propozițiilor de la fiecare dintre lumile din G. Facem acest lucru prin definirea unei relații v între lumile posibile și literal pozitive. Dacă există o lume astfel încât v(w,P), atunci P este adevărat la w. Un model este astfel un triplu ordonat, ‹G,R,v›.

Apoi definim recursiv adevărul unei formule la o lume într-un model:

dacă v(w,P) atunci w |= P
w |= ¬ P dacă și numai dacă w |≠ P
w |= (P ∧ Q) dacă și numai dacă w |= P și w |= Q
w |= ◻ P dacă și numai dacă pentru fiecare element u din G, dacă w R u atunci u |= P
w |= ◊ P dacă și numai dacă pentru un element u din G, avem w R u și u |= P
|= P dacă și numai dacă w* |= P

Conform acestor semantice, un adevăr este necesar în ceea ce privește o lume posibilă w dacă este adevărat la fiecare lume care este accesibilă la w și posibil dacă este adevărat la o lume care este accesibilă la w. Posibilitatea depinde prin urmare de relația de accesibilitate R, care ne permite să exprimăm natura relativă a posibilității. De exemplu, am putea spune că, având în vedere legile noastre fizice, nu este posibil ca oamenii să călătorească mai repede decât viteza luminii, dar că, având în vedere alte circumstanțe, ar fi fost posibil să facă acest lucru. Folosind relația de accesibilitate, putem traduce acest scenariu astfel: În toate lumile accesibile lumii noastre, nu este cazul ca oamenii să poată călători mai repede decât viteza luminii, dar la una dintre aceste lumi accesibile există o altă lume accesibilă din acele lumi, dar nu este accesibilă de la noi, la care oamenii pot călători mai repede decât viteza luminii.

De asemenea, trebuie menționat că definiția lui □ face adevărate vacuos anumite propoziții, deoarece atunci când se vorbește despre „fiecare lume care este accesibilă la w”, este considerată de obicei interpretarea matematică a cuvântului „fiecare”. Prin urmare, dacă o lume w nu are nicio lume accesibilă, orice propoziție care începe cu □ este adevărată.

Diferitele sisteme ale logicii modale se disting prin proprietățile relațiilor lor de accesibilitate. Există mai multe sisteme care au fost expuse (adesea numite condiții de cadru). O relație de accesibilitate este:

reflexă iff w R w, pentru fiecare w în G
simetrică iff w R u implică u R w, pentru toți w și u în G
tranzitivă iff w R u și u R q împreună implică w R q, pentru toți w, u, q în G.
serială iff, pentru fiecare w în G există unele u în G astfel încât w R u.
euclidiană iff, pentru fiecare u, t și w, w R u și w R t implică u R t (rețineți că implică și: t R u)

Logicile care decurg din aceste condiții cadru sunt:

K: = fără condiții
D: = serială
T: = reflexivă
B: = reflexivă și simetrică
S4: = reflexivă și tranzitivă
S5: = reflexivă și euclidiană

Proprietatea euclidiană împreună cu reflexivitatea produc simetrie și tranzitivitate. (Proprietatea euclidiană poate fi obținută, de asemenea, din simetrie și tranzitivitate.) Prin urmare, dacă relația de accesibilitate R este reflexivă și euclidiană, R este probabil și simetrică și tranzitivă. Prin urmare pentru modelele de S5, R este o relație de echivalență, deoarece R este reflexivă, simetrică și tranzitivă.

Putem dovedi că aceste cadre produc același set de propoziții valide ca și cadrele în care toate lumile pot vedea toate celelalte lumi ale lui W (adică, unde R este o relație „totală”). Acest lucru oferă graficul modal corespunzător, care este complet total (adică, nu mai pot fi adăugate margini (relații)). De exemplu, în orice logică modală bazată pe condiții de cadru:

w |= ◊ P dacă și numai dacă pentru un element u din G, avem u |= P și w R u.

Dacă luăm în considerare cadre bazate pe relația totală, putem spune doar asta

w |= ◊ P dacă și numai dacă pentru un element u din G, avem u |= P.

Putem renunța la clauza de accesibilitate din această ultimă prevedere, deoarece în astfel de cadre totale este banal adevărat pentru toate w și u că w R u. Rețineți însă că acest lucru nu trebuie să fie cazul în toate cadrele S5, care pot fi formate în continuare de mai multe părți care sunt complet conectate între ele, dar care sunt încă deconectate unele de altele.

Toate aceste sisteme logice pot fi definite și axiomatic. De exemplu, în S5, axiomele P ⇒ ◻ ◊ P, ◻ P ⇒ ◻ ◻ P și ◻ P ⇒ P (corespunzător simetriei, tranzitivității și respectiv reflexivității) sunt valabile, în timp ce cel puțin una dintre aceste axiome nu este valabilă în fiecare dintre celelalte logici mai slabe.

Sisteme axiomatice

Primele formalizări ale logicii modale au fost axiomatice. Au fost propuse numeroase variații cu proprietăți foarte diferite de când C. I. Lewis a început să lucreze în domeniu în 1910. Hughes și Cresswell (1996), de exemplu, descriu 42 de logici modale normale și 25 de logici modale non-normale. Zeman (1973) descrie unele sisteme pe care Hughes și Cresswell le omit.

Tratamentele moderne ale logicii modale încep prin mărirea calculului propozițional cu două operații unice, una indicând „necesitatea” și cealaltă „posibilitatea”. Notarea lui C. I. Lewis, mult folosită de atunci, denumește „necesar p” printr-o „casetă” prefixată (□ p) al cărei scop este stabilit prin paranteze. De asemenea, un „diamant” (◇ p) prefixat semnifică „posibil p”. Indiferent de notare, fiecare dintre acești operatori este definit în termenii celuilalt în logica modală clasică:

□ p (necesar p) este echivalent cu ¬ ◇ ¬p („nu este posibil ca nu-p”)
◇ p (posibil p) este echivalent cu ¬ □ ¬p („nu este necesar nu-p”)

Prin urmare, □ și ◇ formează o pereche duală de operatori.

În multe logici modale, necesitatea și posibilitatea operatorilor satisfac următoarele analogii ale legilor lui Morgan din algebra booleană:

„Nu este necesar ca X” să fie logic echivalent cu „Este posibil ca nu X”.
„Nu este posibil ca X” să fie echivalent logic cu „Este necesar ca nu X”.

Exact ce axiome și reguli trebuie adăugate la calculul propozițional pentru a crea un sistem utilizabil de logică modală este o chestiune de opinie filozofică, adesea condusă de teoremele pe care dorește să le dovedească; sau, în informatică, este vorba despre ce fel de sistem de calcul sau deductiv doriți să modeleze. Multe logici modale, cunoscute colectiv ca logici modale normale, includ următoarea regulă și axiomă:

N, Regula necesității: Dacă p este o teoremă (a oricărui sistem care invocă N), atunci □ p este de asemenea o teoremă.
K, Axioma de distribuție: □ (p → q) → (□ p → □ q).

Cea mai slabă logică modală normală, numită K în onoarea lui Saul Kripke, este pur și simplu calculul propozițional augmentat de □, regula N, și axioma K. K este slabă prin faptul că nu reușește să determine dacă o propoziție poate fi necesară, ci doar în mod contingent necesar. Adică, nu este o teoremă a lui K faptul că dacă □ p este adevărat atunci □□ p este adevărat, adică faptul că adevărurile necesare sunt „neapărat necesare”. Dacă aceste perplexități sunt considerate forțate și artificiale, acest defect al lui K nu este unul mare. În orice caz, răspunsuri diferite la astfel de întrebări dau diferite sisteme de logică modală.

Adăugarea axiomelor la K dă naștere altor sisteme modale cunoscute. Nu se poate dovedi în K că dacă „p este necesar” atunci p este adevărat. Axioma T remediază acest defect:

T, Axioma de reflexie: □ p → p (Dacă p este necesar, atunci p este cazul.)

T este valid în majoritatea logicilor modale, dar nu în toate. Zeman (1973) descrie câteva excepții, precum S1⁰.

Alte cunoscute axiome elementare sunt:

4: ◻ p → ◻ ◻ p
B: p → ◻ ◊ p
D: ◻ p → ◊ p
5: ◊ p → ◻ ◊ p

Acestea dau sistemele (axiome cu litere aldine, sisteme cu caractere italice):

K: = K + N
T: = K + T
S4: = T + 4
S5: = T + 5
D: = K + D.

K prin S5 formează o ierarhie cuantificată a sistemelor, alcătuind nucleul logicii modale normale. Dar anumite reguli sau seturi de reguli pot fi potrivite pentru sisteme specifice. De exemplu, în logica deontică, ◻ p → ◊ p (Dacă ar trebui să fie că p, atunci este permis că p) pare adecvat, dar probabil că nu ar trebui să includem că p → ◻ ◊ p. De fapt, a face acest lucru înseamnă a comite o eroare naturalistă (adică a afirma că ceea ce este natural este de asemenea bun, spunând că dacă p este cazul, p ar trebui să fie permis).

Sistemul S5 obișnuit face pur și simplu toate adevărurile modale necesare. De exemplu, dacă p este posibil, atunci „este necesar” că p este posibil. De asemenea, dacă p este necesar, atunci este necesar ca p să fie necesar. Au fost formulate alte sisteme de logică modală, în parte deoarece S5 nu descrie orice tip de modalitate de interes.

Teoria dovezilor structurale

Au fost dezvoltate calcule și sisteme de deducție naturală pentru mai multe logici modale, dar s-a dovedit greu de combinat generalitatea cu alte caracteristici așteptate de teorii bune ale structurii dovezilor, cum ar fi puritatea (teoria dovezilor nu introduce noțiuni extra-logice, cum ar fi etichetele ) și analiticitate (regulile logice susțin o noțiune curată de dovadă analitică). Calcule mai complexe au fost aplicate logicii modale pentru a obține generalitatea.