Tabele de adevăr în logica propozițională

Aceasta este o modalitate de evaluare a propozițiilor și argumentelor logicii propoziționale (LP). Deși poate fi laborioasă, metoda tabelului de adevăr este o procedură pur mecanică, care nu necesită intuiție sau perspectivă specială.

I. Conectori funcționali de adevăr

Orice propoziție non-atomică a LP este compusă din propoziții atomice cu conectori propoziționali. Valoarea de adevăr a propoziției compuse depinde numai de valoarea de adevăr a propozițiilor atomice care o compun. Pentru a cunoaște valoarea de adevăr a lui (D ↔ E), de exemplu, trebuie doar să cunoașteți valoarea de adevăr a lui D și valoarea de adevăr a lui E. Conectorii care lucrează în acest fel se numesc FUNCȚIONALI DE ADEVĂR.

Aici vom folosi faptul că toți operatorii logici din LP sunt funcționali de adevăr – fac posibilă construirea tabelelor de adevăr pentru a determina caracteristicile logice ale propozițiilor. Ar trebui să realizați, totuși, că acest lucru nu este posibil pentru toate limbile. În engleză, este posibil să se formeze o nouă propoziție din orice propoziție mai simplă X spunând „Este posibil ca X.” Valoarea de adevăr a acestei noi propoziții nu depinde direct de valoarea de adevăr a lui X . Chiar dacă X este fals, poate într-un anumit sens X ar fi putut fi adevărat — atunci noua propoziție ar fi adevărată. Unele limbaje formale, numite logici modale, au un operator pentru posibilitate. Într-o logică modală, am putea traduce „Este posibil ca X” ca ◊X . Cu toate acestea, capacitatea de a traduce propoziții ca acestea are un cost: operatorul ◊ nu este funcțional de adevăr și, prin urmare, logicele modale nu sunt adaptabile la tabelele de adevăr.

		A	B	A & B	A ˅ B	A → B	A ↔ B
A	B	1	1	1	1	1	1
1	0	1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	0	1	1	0
		0	0	0	0	1	1

Tabelul 5.1: Caracteristicile tabelei de adevăr pentru conectorii LP

II. Tabele de adevăr complete

Valoarea de adevăr a propozițiilor care conțin un singur conjunctor este dată de tabelul de adevăr caracteristic pentru acel conjunctor. În capitolul anterior, am scris tabelele de adevăr caracteristice cu „T” pentru adevărat și „F” pentru fals. Este important să rețineți, totuși, că nu este vorba despre adevăr în niciun sens profund sau cosmic. Poeții și filozofii pot argumenta pe larg despre natura și semnificația adevărului, dar funcțiile adevărului din LP sunt doar reguli care transformă valorile de intrare în valori de ieșire. Pentru a sublinia acest lucru, în acest capitol vom scrie „1” și „0” în loc de „T” și „F”. Chiar dacă interpretăm „1” ca însemnând „adevărat” și „0” ca însemnând „fals”, computerele pot fi programate să completeze tabelele de adevăr într-un mod pur mecanic. Într-o mașină, „1” poate însemna că un registru este pornit și „0” că registrul este oprit. Din punct de vedere matematic, ele sunt doar cele două valori posibile pe care le poate avea o propoziție de LP. Tabelele de adevăr pentru conectorii LP, scrise în termeni de 1 și 0, sunt date în tabelul 5.1.

Tabelul de adevăr caracteristic pentru conjuncție, de exemplu, oferă condițiile de adevăr pentru orice propoziție de formă (A & B). Chiar dacă conjuncțiile A și B sunt propoziții lungi și complicate, conjuncția este adevărată dacă și numai dacă atât A cât și B sunt adevărate. Luați în considerare propoziția (H & I) → H. Luăm în considerare toate combinațiile posibile de adevărat și fals pentru H și I, ceea ce ne oferă patru rânduri. Copiem apoi valorile de adevăr pentru literele propoziției și le scriem sub literele din propoziție.

H	I	(H	&	I)	→	H
1	1	1		1		1
1	0	1		0		1
0	1	0		1		0
0	0	0		0		0

Acum luați în considerare subpropoziția H & I. Aceasta este o conjuncție A & B cu H ca A și cu I ca B. H și I sunt ambele adevărate pe primul rând. Deoarece o conjuncție este adevărată atunci când ambele conjuncții sunt adevărate, scriem un 1 sub simbolul conjuncției. Continuăm pentru celelalte trei rânduri și obținem asta:

H	I	(H	&	I)	→	H
		A	&	B
1	1	1	1	1		1
1	0	1	0	0		1
0	1	0	0	1		0
0	0	0	0	0		0

Întreaga propoziție este un condițional A → B cu (H & I) ca A și cu H ca B. Pe al doilea rând, de exemplu, (H & I) este fals și H este adevărat. Deoarece o condițională este adevărată atunci când antecedentul este fals, scriem un 1 în al doilea rând sub simbolul condiționat. Continuăm pentru celelalte trei rânduri și obținem asta:

H	I	(H	&	I)	→	H
			A		→	B
1	1		1		1	1
1	0		0		1	1
0	1		0		1	0
0	0		0		1	0

Coloana cu 1 de sub condițional ne spune că propoziția (H & I) → I este adevărată, indiferent de valorile de adevăr ale lui H și I. Ele pot fi adevărate sau false în orice combinație, iar propoziția compusă iese totuși adevărată. Este esențial să luăm în considerare toate combinațiile posibile. Dacă am avea doar un tabel de adevăr cu două linii, nu am putea fi siguri că propoziția nu este falsă pentru o altă combinație de valori de adevăr.

În acest exemplu, nu am repetat toate intrările din fiecare tabel succesiv. Cu toate acestea, atunci când scrieți tabele de adevăr pe hârtie, este imposibil să ștergeți coloane întregi sau să rescrieți întregul tabel pentru fiecare pas. Deși este mai aglomerat, tabelul de adevăr poate fi scris în felul următor:

H	I	(H	&	I)	→	H
1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	0	0	1	1
0	1	0	0	1	1	0
0	0	0	0	0	1	0

Majoritatea coloanelor de sub propoziție sunt acolo doar în scopuri contabile. Când devii mai priceput cu tabelele de adevăr, probabil că nu va mai fi nevoie să copiați coloanele pentru fiecare dintre literele propoziției. În orice caz, valoarea de adevăr a propoziției de pe fiecare rând este doar coloana de sub operatorul logic principal al propoziției; în acest caz, coloana de sub condițional.

UN TABEL DE ADEVĂR COMPLET are un rând pentru toate combinațiile posibile de 1 și 0 pentru toate literele propoziției. Mărimea tabelului de adevăr complet depinde de numărul de litere de propoziție diferite din tabel. O propoziție care conține o singură literă de propoziție necesită doar două rânduri, ca în tabelul de adevăr caracteristic pentru negație. Acest lucru este adevărat chiar dacă aceeași literă se repetă de mai multe ori, ca în propoziția [(C ↔ C) → C] & ¬ (C → C). Tabelul complet de adevăr necesită doar două linii, deoarece există doar două posibilități: C poate fi adevărat sau poate fi fals. O singură literă de propoziție nu poate fi niciodată marcată atât cu 1, cât și cu 0 pe același rând. Tabelul de adevăr pentru această propoziție arată astfel:

C	[(C	↔	C)	→	C]	&	¬	(C	→	C)
1	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1
0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	1

Privind coloana de sub conectorul principal, vedem că propoziția este falsă pe ambele rânduri ale tabelului; adică este falsă indiferent dacă C este adevărat sau fals.

O propoziție care conține două litere de propoziție necesită patru rânduri pentru un tabel de adevăr complet, ca în tabelele de adevăr caracteristice și tabelul pentru (H & I) → I.

O propoziție care conține trei litere de propoziție necesită opt rânduri. De exemplu:

M	N	P	M	&	(N	˅	P)
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	0	1	1	1
0	1	0	0	0	1	1	0
0	0	1	0	0	0	1	1
0	0	0	0	0	0	0	0

Din acest tabel, știm că propoziția M & (N ∨ P) poate fi adevărată sau falsă, în funcție de valorile de adevăr ale lui M, N și P.

Un tabel complet de adevăr pentru o propoziție care conține patru litere de propoziție diferite necesită 16 rânduri. Cinci litere, 32 de rânduri. Șase litere, 64 de rânduri. Si asa mai departe. Pentru a fi perfect general: dacă un tabel complet de adevăr are n litere de propoziție diferite, atunci trebuie să aibă 2n rânduri.

Pentru a completa coloanele unui tabel de adevăr complet, începeți cu litera propoziției din dreapta și alternați 1-urile și 0-urile. În coloana următoare din stânga, scrieți două 1-uri, scrieți două 0-uri și repetați. Pentru a treia scrisoare de propoziție, scrieți patru 1-uri urmate de patru 0-uri. Astfel rezultă un tabel de adevăr cu opt rânduri ca cel de mai sus.

Pentru un tabel de adevăr cu 16 rânduri, următoarea coloană de litere de propoziție ar trebui să aibă opt de 1 urmate de opt de 0. Pentru un tabel cu 32 de linii, următoarea coloană ar avea 16 de 1 urmate de 16 de 0. Si asa mai departe.