Tipuri de logică

Logica silogistică

(O ilustrare din secolul al XV-lea al pătratului opoziției, care exprimă dualitățile fundamentale ale silogisticii.)

Organon a fost setul de lucrări ale lui Aristotel despre logică, Analiticile primare constituind prima lucrare explicită în logica formală, introducând silogistica. Părțile logicii silogistice, cunoscută și prin denumirea logica termenilor sau tradițională, sunt analiza judecăților în propoziții constând din doi termeni care sunt legați de una dintre un număr fix de relații, și expresia inferențelor prin silogisme care constau din două propoziții care împărtășesc un termen comun ca premisă, și o concluzie care este o propoziție care implică cei doi termeni fără legătură din premisă.

Opera lui Aristotel a fost privită în epoca clasică și epoca medievală din Europa și Orientul Mijlociu ca fiind chiar imaginea unui sistem complet elaborat. Cu toate acestea, nu a fost singur: stoicii au propus un sistem de logică propozițională care a fost studiat de logicieni medievali. De asemenea, problema generalității multiple a fost recunoscută în epoca medievală. Cu toate acestea, problemele cu logica silogistică nu au fost considerate ca având nevoie de soluții revoluționare.

Astăzi, unii scolastici susțin că sistemul lui Aristotel este în general văzut ca având mai degrabă o valoare istorică (deși există un anumit interes actual pentru extinderea logicii termenilor), considerat ca învechit prin apariția logicii propoziționale și a calculului predicat. Alții folosesc pe Aristotel în teoria argumentării pentru a ajuta la dezvoltarea și chestionarea critică a schemelor de argumentare care sunt utilizate în inteligența artificială și în argumentele legale.

Logica propozițională

Un calcul sau logică propozițională (de asemenea, un calcul sentențial) este un sistem formal în care formele reprezentând propoziții pot fi formate prin combinarea propozițiilor atomice folosind conectori logici și în care un sistem de reguli de dovezi formale stabilește anumite formule ca „teoreme”. Un exemplu de teoremă a logicii propoziționale este A → B → A, care spune că dacă A este valid, atunci B implică A.

Logica predicatelor

(Begriffschrift de Gottlob Frege a introdus noțiunea de cuantificator într-o notație grafică, care aici reprezintă judecata că ∀x.F(x) este adevărat.)

Logica predicatelor este termenul generic pentru sistemele formale simbolice, cum ar fi logica de primul ordin, logica de ordinul doi, logica de mai multe sortări și logica infinitară. Aceasta oferă un raport al cuantificatorilor suficient de general pentru a exprima un set larg de argumente care apar în limbajul natural. De exemplu, faimosul paradox al bărbierului al lui Bertrand Russell, „există un bărbat care bărbierește doar oe bărbații care nu se bărbieresc singuri” poate fi formalizat prin propoziția (∃x) (bărbat(x) ∧ (∀y) (bărbat(y ) → (bărbierește(x,y) ↔ ¬ bărbierește(y,y)))), folosind predicatul non-logic bărbat(x) pentru a indica faptul că x este un bărbat, și relația non-logică bărbierește(x,y) pentru a indica că x bărbierește pe y; toate celelalte simboluri ale formulelor sunt logice, exprimând cuantificatorii universali și existențiali, conjuncția, implicația, negația și bicondiționarea.

În timp ce logica silogistică aristotelică specifică un număr redus de forme pe care le poate lua partea relevantă a judecăților implicate, logica predicatelor permite analizarea propozițiilor în subiect și argument în mai multe moduri suplimentare – permițând logicii predicatelor să rezolve problema generalității multiple care încurcase logicienii medievali.

Dezvoltarea logicii predicatelor este de obicei atribuită lui Gottlob Frege, care este, de asemenea, creditat ca unul dintre fondatorii filosofiei analitice, dar formularea logicii predicatelor cel mai des folosită astăzi este logica de prim ordin prezentată în Principiile logicii matematice de David Hilbert și Wilhelm Ackermann în 1928. Generalitatea analitică a logicii predicatelor a permis formalizarea matematicii, a condus la investigarea teoriei seturilor și a permis dezvoltarea abordării lui Alfred Tarski în teoria modelelor. Ea oferă fundamentul logicii matematice moderne.

Sistemul inițial de logica predicatelor al lui Frege era de ordinul doi, mai degrabă decât de ordinul întâi. Logica de ordinul doi este cea mai proeminent apărată (împotriva criticii lui Willard Van Orman Quine și a altora) de către George Boolos și Stewart Shapiro.

Logica modală

În limbaje, modalitatea abordează fenomenul potrivit căruia sub-părțile unei propoziții pot avea semantica lor modificată de verbe speciale sau particule modale. De exemplu, „Mergem la jocuri” poate fi modificat pentru a da „Ar trebui să mergem la jocuri” și „Putem merge la jocuri” și poate „Vom merge la jocuri”. Mai abstract, am putea spune că modalitatea afectează circumstanțele în care luăm o afirmație pentru a fi satisfăcuți. Modalitatea confuză este cunoscută sub numele de falimentul modal.

Logica lui Aristotel este în mare parte preocupată de teoria logicii nemodalizate. Cu toate că, în lucrarea sa, există pasaje, cum ar fi celebrul argument al luptei pe mare din De Interpretatione § 9, care sunt văzute acum ca anticipări ale logicii modale și conexiunea acesteia cu potențialitatea și timpul, cel mai vechi sistem formal de logică modală a fost dezvoltat de Avicena, care a dezvoltat în cele din urmă o teorie silogistică „modlizată temporal”.

În timp ce studiul necesității și posibilității a rămas important pentru filozofi, puține inovații logice s-au întâmplat până la investigațiile de referință ale lui Clarence Irving Lewis în 1918, care a formulat o familie de axiomatizări rivale ale modalităților aletice. Lucrarea sa a dezlănțuit un torent de lucrări noi pe această temă, extinzând tipurile de modalități tratate pentru a include logica deontică și logica epistemică. Opera seminală a lui Arthur Prior a aplicat același limbaj formal pentru a trata logica temporală și a deschis calea unirii celor două subiecte. Saul Kripke a descoperit (concomitent cu rivalii) teoria sa despre semantica cadrelor, care a revoluționat tehnologia formală disponibilă logicienilor modali și a oferit un nou mod grafic-teoretic de a privi modalitatea care a condus multe aplicații în lingvistică computațională și informatică, precum logica dinamică.

Raționament informal și dialectică

Motivația pentru studiul logicii din cele mai vechi timpuri a fost clară: este astfel încât cineva să învețe să distingă argumentele bune de argumentele proaste și astfel să devină mai eficient în argumente și oratorii, și poate să devină și o persoană mai bună. Jumătate din lucrările Organonului lui Aristotel tratează inferența așa cum se întâmplă într-un cadru informal, paralel cu dezvoltarea silogisticii, iar în școala aristotelică, aceste lucrări informale despre logică erau considerate complementare tratamentului retoricii de către Aristotel.

Această motivație antică este încă vie, deși nu mai are loc în centrul imaginii logicii; logica dialectică formează, ăn mod normal, inima unui curs de gândire critică, un curs obligatoriu la multe universități. Dialectica a fost legată de logică încă din cele mai vechi timpuri, dar abia în ultimele decenii logicienii europeni și americani au încercat să pună bazele matematice pentru logică și dialectică, formalizând logica dialectică. Logica dialectică este și numele dat tratamentului special al dialecticii în gândirea hegeliană și marxistă. Au existat tratate pre-formale despre argument și dialectică, de la autori precum Stephen Toulmin (The Uses of Argument), Nicholas Rescher (Dialectics), și van Eemeren și Grootendorst (Pragma-dialectics). Teoriile raționamentului revizuibil pot constitui un fundament pentru formalizarea logicii dialectice și dialectica însăși poate fi formalizată ca mișcări într-un joc, în care argumentează un avocat al adevărului unei propoziții și un adversar. Astfel de jocuri pot oferi o semantică de joc formală pentru multe logici.

Teoria argumentației este studiul și cercetarea logicii informale, a erorilor și a întrebărilor critice, deoarece acestea se raportează la situații zilnice și practice. Tipuri specifice de dialog pot fi analizate și puse la îndoială pentru a dezvălui premise, concluzii și falimente. Teoria argumentației este acum aplicată în inteligența artificială și în drept.

Logica matematică

Logica matematică cuprinde două domenii distincte de cercetare: prima este aplicarea tehnicilor logicii formale la matematică și raționamentul matematic, iar a doua, în cealaltă direcție, aplicarea tehnicilor matematice la reprezentarea și analiza logicii formale.

Cea mai timpurie utilizare a matematicii și geometriei în raport cu logica și filosofia e găsește la grecii antici, cum ar fi Euclid, Platon și Aristotel. Mulți alți filozofi antici și medievali au aplicat idei și metode matematice la revendicările lor filozofice.

Una dintre cele mai îndrăznețe încercări de aplicare a logicii la matematică a fost logismul pionierat de filosofii-logici precum Gottlob Frege și Bertrand Russell. Teoriile matematice trebuiau să fie tautologii logice, iar programul urma să arate acest lucru prin reducerea matematicii la logică. Diferitele încercări de realizare s-au confruntat cu un eșec, de la paralizia proiectului lui Frege din Grundgesetze-ul său prin paradoxul lui Russell, până la înfrângerea programului lui Hilbert de către teoremele incompletitudinii lui Gödel.

Atât afirmațiile programului lui Hilbert, cât și refutarea lui de către Gödel a depins de munca lor care stabilea a doua zonă a logicii matematice, aplicarea matematicii la logică sub forma teoriei demonstrației. În ciuda naturii negative a teoremelor incompletitudinii, teorema completitudinii lui Gödel, un rezultat al teoriei modelelor și al unei alte aplicații a matematicii la logică, poate fi înțeles că arată cât de apropiat de adevăr a devenit logismul: fiecare teorie matematică riguros definită poate fi capturată exact de o teorie logică de prim ordin; sistemul de demonstrație al lui Frege este suficient pentru a descrie ansamblul matematicii, deși nu este echivalent cu acesta.

Dacă teoria demonstrației și teoria modelelor au fost fundamentul logicii matematice, acestea nu au fost decât doi dintre cei patru piloni ai subiectului. Teoria seturilor își are originea în studiul infinitului de Georg Cantor și a fost sursa multora dintre cele mai provocatoare și importante probleme din logica matematică, din teorema lui Cantor, prin statutul Axiomului Alegerii și chestionarea independenței ipotezei continuului, până la dezbaterea modernă asupra axiomelor cardinalului mare.

Teoria recursiunii surprinde ideea de calcul în termeni logici și aritmetici; realizările sale cele mai clasice sunt nedecidabilitatea lui Entscheidungsproblem de Alan Turing și prezentarea sa a tezei Bisericii. Astăzi teoria recursiunii este în cea mai mare parte preocupată de problema mai rafinată a claselor de complexitate – când este rezolvată eficient o problemă? – și de clasificarea gradelor de insolvabilitate.

Logica filozofică

Logica filozofică se ocupă de descrieri formale ale limbajului obișnuit, nespecializat („natural”), adică strict doar despre argumentele din celelalte ramuri ale filozofiei. Majoritatea filosofilor presupun că cea mai mare parte a raționamentului cotidian poate fi surprins în logică dacă se poate găsi o metodă sau metode de traducere a limbajului obișnuit în acea logică. Logica filozofică este, în esență, o continuare a disciplinei tradiționale numită „logică” înainte de inventarea logicii matematice. Logica filozofică are o preocupare mult mai mare cu legătura dintre limbajul natural și logica. Drept urmare, logicienii filosofici au contribuit foarte mult la dezvoltarea logicii non-standard (de exemplu, logica liberă, logica temporală), precum și diverse extensii ale logicii clasice (de exemplu, logici modale) și semantice non-standard pentru astfel de logici (de ex. supravaluaționismul lui Kripke în semantica logicii).

Logica și filosofia limbajului sunt strâns legate. Filosofia limbajului are legătură cu studiul modului în care limbajul nostru se implică și interacționează cu gândirea noastră. Logica are un impact imediat asupra altor domenii de studiu. Studierea logicii și relația dintre logică și vorbirea obișnuită poate ajuta o persoană să își structureze mai bine propriile argumente și să critice argumentele celorlalți. Multe argumente populare sunt pline de erori, deoarece atât de mulți oameni nu sunt instruiți în logică și nu știu cum să formuleze corect un argument.

Logica computațională

(Un simplu circuit de comutare este exprimat folosind o poartă logică și un registru sincron.)

Logica a ajuns în centrul informaticii, apărând ca o disciplină: lucrarea lui Alan Turing, Entscheidungsproblem, a urmat lucrării lui Kurt Gödel asupra teoremelor incompletitudinii. Noțiunea de computer cu scop general care a provenit din această lucrare a avut o importanță fundamentală pentru proiectanții mașinilor informatice din anii 40.

În anii 1950 și 1960, cercetătorii au prezis că atunci când cunoașterea umană poate fi exprimată folosind logica cu notație matematică, ar fi posibilă crearea unei mașini care să imite abilitățile de rezolvare a problemelor unei ființe umane. Acest lucru a fost mai dificil decât se aștepta din cauza complexității raționamentului uman. În vara anului 1956, John McCarthy, Marvin Minsky, Claude Shannon și Nathan Rochester au organizat o conferință pe tema ceea ce ei numeau „inteligență artificială” (termen creat de McCarthy cu acea ocazie). Newell și Simon au prezentat cu mândrie programul Logic Theorist și au fost oarecum surprinși când programul a primit o primire caldă.

În programarea logică, un program constă dintr-un set de axiome și reguli. Sistemele de programare logică precum Prolog calculează consecințele axiomelor și regulilor pentru a răspunde la o întrebare.

Astăzi, logica este aplicată pe larg în domeniul inteligenței artificiale, iar acest câmp oferă o sursă bogată de probleme în logica formală și informală. Teoria argumentației este un bun exemplu al modului în care logica este aplicată inteligenței artificiale. Sistemul de clasificare a calculatoarelor ACM se referă în special la:

• Secțiunea F.3 privind logica și semnificațiile programelor și F.4 despre logica matematică și limbajele formale, ca parte a teoriei informaticii: această lucrare acoperă semantica formală a limbajelor de programare, precum și lucrarea metodelor formale precum logica Hoare;
• Logica booleană ca fundamentală pentru hardware-ul computerului: în special, secțiunea B.2 a sistemului privind structurile aritmetice și logice, referitoare la operativele ȘI, NU și SAU;
• Multe formalisme logice fundamentale sunt esențiale pentru secțiunea I.2 despre inteligența artificială, de exemplu logica modală și logica implicită în formalismele și metodele de reprezentare a cunoștințelor, clauzele Horn în programarea logicii și descrierea logicii.

Mai mult, calculatoarele pot fi folosite ca instrumente pentru logicieni. De exemplu, în logica simbolică și logica matematică, demonstrațiile omului pot fi asistate de computer. Folosind o demonstrație automată a teoremelor, mașinile pot găsi și verifica demonstrațiile , precum și pot lucra cu demonstrațiil prea lungi pentru a se scrie cu mâna.

Logica non-clasică

Logicile discutate mai sus sunt „bivalente” sau „cu două valori”; adică sunt înțelese cel mai natural ca fiind propoziții împărțite în propoziții adevărate și false. Logica non-clasică sunt acele sisteme care resping diverse reguli ale logicii clasice.

Hegel și-a dezvoltat propria logică dialectică, care a extins logica transcendentală a lui Kant, dar a readus-o cu picioarele pe pământ asigurându-ne că „nici în cer, nici pe pământ, nici în lumea minții și nici a naturii, nu există nicăieri un asemenea abstract ”sau-sau„ cum susține înțelegerea. Orice există este concret, cu diferență și opoziție în sine”.

În 1910, Nicolai A. Vasiliev a extins legea terțului exclus și legea contradicției și a propus legea excluderii celui de-al patrulea și toleranța logică la contradicție. La începutul secolului XX, Jan Łukasiewicz a investigat extinderea valorilor tradiționale adevărat / fals pentru a include o a treia valoare, „posibil”, inventând astfel logica ternară, prima logică cu valori multiple în tradiția occidentală.

Logicile precum logica fuzzy au fost concepute de atunci cu un număr infinit de „grade de adevăr”, reprezentate de un număr real între 0 și 1.

Logica intuiționalistă a fost propusă de L.E.J. Brouwer ca logică corectă a raționamentului despre matematică, bazată pe respingerea sa a legii terțului exclus ca parte a intuiționismului său. Brouwer a respins formalizarea matematicii, dar elevul său Arend Heyting a studiat formal logica intuiționistică, la fel ca și Gerhard Gentzen. Logica intuiționistică este de mare interes pentru informaticieni, deoarece este o logică constructivă și are multe aplicații, cum ar fi extragerea programelor verificate din demonstrații și influențarea designului limbajelor de programare prin corespondența formulelor-ca-tipuri.

Logica modală nu este adevăr condițională și, de aceea, a fost adesea propusă ca o logică non-clasică. Cu toate acestea, logica modală este în mod normal formalizată cu principiul terțului exclus, iar semantica relațională este bivalentă, astfel încât această includere este contestabilă.