Home » Articole » Articole » Știință » Fizica » Electromagnetism » Surse de câmpuri magnetice – Legea Biot-Savart

Surse de câmpuri magnetice – Legea Biot-Savart

Figura 12.1 Un hard disk extern atașat la un computer funcționează prin codificarea magnetică a informațiilor care pot fi stocate sau recuperate rapid. O idee cheie în dezvoltarea dispozitivelor digitale este capacitatea de a produce și utiliza câmpuri magnetice în acest fel. (Credit: Pixabay)

În capitolul precedent, am văzut că o particulă încărcată în mișcare produce un câmp magnetic. Această conexiune între electricitate și magnetism este exploatată în dispozitivele electromagnetice, cum ar fi un hard disk de computer. De fapt, acesta este principiul de bază din spatele majorității tehnologiei din societatea modernă, inclusiv telefoanele, televiziunea, computerele și internetul.

În acest capitol, examinăm modul în care câmpurile magnetice sunt create de distribuțiile arbitrare ale curentului electric, folosind legea Biot-Savart. Apoi ne uităm la modul în care firele purtătoare de curent creează câmpuri magnetice și deducem forțele care apar între două fire purtătoare de curent datorită acestor câmpuri magnetice. De asemenea, studiem cuplurile produse de câmpurile magnetice ale buclelor de curent. Apoi generalizăm aceste rezultate la o lege importantă a electromagnetismului, numită legea lui Ampère.

Examinăm câteva dispozitive care produc câmpuri magnetice din curenți în geometrii bazate pe bucle, cunoscute sub numele de solenoizi și toroizi. În cele din urmă, ne uităm la modul în care materialele se comportă în câmpurile magnetice și clasificam materialele în funcție de răspunsurile lor la câmpurile magnetice.

12.1 Legea Biot-Savart

Am văzut că masa produce un câmp gravitațional și, de asemenea, interacționează cu acel câmp. Sarcina produce un câmp electric și, de asemenea, interacționează cu acel câmp. Deoarece sarcina în mișcare (curentul) interacționează cu un câmp magnetic, ne-am putea aștepta ca acesta să creeze și acel câmp – și o face.

Ecuația folosită pentru a calcula câmpul magnetic produs de un curent este cunoscută sub numele de legea Biot-Savart. Este o lege empirică numită în onoarea a doi oameni de știință care au investigat interacțiunea dintre un fir drept, purtător de curent și un magnet permanent. Această lege ne permite să calculăm mărimea și direcția câmpului magnetic produs de un curent dintr-un fir. Legea Biot-Savart afirmă că în orice punct P (Figura 12.2), câmpul magnetic dB⃗ datorat unui element dl⃗ al unui fir purtător de curent este dat de

(12.1)   dB = μ0/4π·Idl×rˆ/r2.

 

Figura 12.2 Un element de curent Idl⃗ produce un câmp magnetic în punctul P dat de legea Biot-Savart.

Constanta μ0 este cunoscută ca permeabilitatea spațiului liber și este exact

(12.2)   μ0 = 4π×10−7 T⋅m/A

 

în sistemul SI. Segmentul infinitezimal de sârmă dl este în aceeași direcție cu curentul I (presupus pozitiv), r este distanța de la dl la P și rˆ este un vector unitar care indică de la dl la P, așa cum se arată în figură.

Direcția dB se determină prin aplicarea regulii din dreapta produsului vectorial dl×rˆ. Mărimea dB este

(12.3)   dB=μ0/4π·Idlsinθ/r2

 

unde θ este unghiul dintre dl și rˆ. Observați că dacă θ = 0, atunci dB = 0 . Câmpul produs de un element curent Idl nu are nicio componentă paralelă cu dl .

Câmpul magnetic datorat unei lungimi finite a firului purtător de curent este găsit prin integrarea ecuației 12.3 de-a lungul firului, dându-ne forma obișnuită a legii Biot-Savart.

LEGEA BIOT-SAVART

Câmpul magnetic B⃗ datorat unui element dl⃗ al unui fir purtător de curent este dat de

(12.4)   B = μ0/4π·∫firIdl×rˆ/r2.

 

Deoarece aceasta este o integrală vectorială, este posibil ca diferitele contribuții de la diferite elemente curente să nu arate în aceeași direcție. În consecință, integrala este adesea dificil de evaluat, chiar și pentru geometrii destul de simple. Următoarea strategie poate fi de ajutor.

STRATEGIA DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Rezolvarea problemelor Biot-Savart

Pentru a rezolva problemele legate de legea Biot-Savart, următorii pași sunt de ajutor:

1. Identificați că legea Biot-Savart este metoda aleasă pentru rezolvarea problemei date. Dacă există simetrie în problema comparând B și dl , legea lui Ampère poate fi metoda preferată pentru a rezolva problema, care va fi discutată în Legea lui Ampère.

2. Desenați lungimea elementului de curent dl și a vectorul unitar rˆ, notând că dl indică în direcția punctelor curente și rˆ de la elementul curent spre punctul în care se dorește câmpul.

3. Calculați produsul vectorial dl×rˆ. Vectorul rezultat dă direcția câmpului magnetic conform legii Biot-Savart.

4. Folosiți ecuația 12.4 și înlocuiți toate mărimile date în expresie pentru a rezolva câmpul magnetic. Rețineți că toate variabilele care rămân constante pe întreaga lungime a firului pot fi luate în considerare din integrare.

5. Folosiți regula mâinii drepte pentru a verifica direcția câmpului magnetic produs din curent sau pentru a nota direcția câmpului magnetic dacă doar magnitudinea a fost rezolvată în partea anterioară.

 

EXEMPLUL 12.1

Calcularea câmpurilor magnetice ale segmentelor scurte de curent

Un fir scurt cu lungimea de 1,0 cm transportă un curent de 2,0 A în direcția verticală (Figura 12.3). Restul firului este ecranat, astfel încât să nu se adauge la câmpul magnetic produs de fir. Calculați câmpul magnetic în punctul P, care este la 1 metru de fir în direcția x.

Figura 12.3 Un segment scurt de fir transportă un curent I pe direcția verticală. Care este câmpul magnetic la distanța x de segment?

Strategie

Putem determina câmpul magnetic în punctul P folosind legea Biot-Savart. Deoarece segmentul de curent este mult mai mic decât distanța x, putem elimina integrala din expresie. Integrarea este convertită înapoi într-o însumare, dar numai pentru dl mic, pe care acum îl scriem ca Δl. Un alt mod de a ne gândi la asta este că fiecare dintre valorile razei este aproape aceeași, indiferent unde se află elementul curent pe segmentul de linie, dacă Δl este mic în comparație cu x. Unghiul θ este calculat folosind o funcție tangentă. Folosind numerele date, putem calcula câmpul magnetic la P.

Soluţie

Unghiul dintre Δl și rˆ se calculează din trigonometrie, cunoscând distanțele l și x de la problemă:

θ = tan−1(1 m/0,01 m) = 89,4°.

Câmpul magnetic în punctul P este calculat prin legea Biot-Savart:

B = μ0/4π·IΔlsinθ/r2 = (1×10−7 T⋅m/A)(2 A(0,01 m)sin(89,4°)/(1 m)2) = 2,0×10−9 T.

Din regula mâinii drepte și legea Biot-Savart, câmpul este direcționat în pagină.

Semnificaţie

Această aproximare este bună numai dacă lungimea segmentului de linie este foarte mică în comparație cu distanța de la elementul curent la punct. Dacă nu, forma integrală a legii Biot-Savart trebuie utilizată pe întregul segment de linie pentru a calcula câmpul magnetic.

 

EXERCIȚIUL 12.1

Verificați-vă înțelegerea Folosind exemplul 12.1, la ce distanță ar trebui să fie P pentru a măsura un câmp magnetic jumătate din răspunsul dat?

 

EXEMPLUL 12.2

Calcularea câmpului magnetic al unui arc circular de sârmă

Un fir transportă un curent I într-un arc circular cu raza R măturată printr-un unghi arbitrar θ (Figura 12.4). Calculați câmpul magnetic în centrul acestui arc în punctul P.

Figura 12.4 Un segment de sârmă care transportă un curent I. Sunt indicate calea dl și direcția radială rˆ.

Strategie

Putem determina câmpul magnetic în punctul P folosind legea Biot-Savart. Direcțiile radială și lungimea traseului sunt întotdeauna în unghi drept, astfel încât produsul încrucișat se transformă în multiplicare. De asemenea, știm că distanța de-a lungul traseului dl este legată de raza multiplicată cu unghiul θ (în radiani). Atunci putem scoate toate constantele din integrare și putem rezolva câmpul magnetic.

Soluţie

Legea Biot-Savart începe cu următoarea ecuație:

B = μ0/4π·∫firIdl×rˆ/r2.

Pe măsură ce integrăm de-a lungul arcului, toate contribuțiile la câmpul magnetic sunt în aceeași direcție (în afara paginii), astfel încât să putem lucra cu mărimea câmpului. Produsul vectorial se transformă în multiplicare deoarece calea dl și direcția radială sunt perpendiculare. De asemenea, putem înlocui formula lungimii arcului, dl = rdθ:

B = μ0/4π·∫firIrdθ/r2.

Curentul și raza pot fi scoase din integrală deoarece sunt aceleași, indiferent de locul în care ne aflăm pe cale. Aceasta lasă doar integrala peste unghi,

B = μ0I/4πr·∫firdθ.

Unghiul variază pe fir de la 0 la θ; prin urmare, rezultatul este

B = μ0Iθ/4πr.

Semnificaţie

Direcția câmpului magnetic în punctul P este determinată de regula mâinii drepte, așa cum se arată în capitolul anterior. Dacă în diagramă există și alte fire împreună cu arcul și vi se cere să găsiți câmpul magnetic net, găsiți fiecare contribuție dintr-un fir sau arc și adunați rezultatele prin suprapunerea vectorilor. Asigurați-vă că acordați atenție direcției fiecărei contribuții. De asemenea, rețineți că într-o situație simetrică, cum ar fi un fir drept sau circular, contribuțiile din laturile opuse ale punctului P se anulează reciproc.

 

EXERCIȚIUL 12.2

Verificați-vă înțelegerea Bucla de sârmă formează un cerc complet de rază R și curent I. Care este mărimea câmpului magnetic din centru?

Răspunsuri:

Sursa: University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere de Nicolae Sfetcu. © 2023 MultiMedia Publishing, Fizica, Vol. 1-3

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$34.55 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$34.55 Selectează opțiunile
Electricitate și magnetism - Electromagnetism fenomenologic
Electricitate și magnetism – Electromagnetism fenomenologic

O introducere în lumea electricității și a magnetismului, explicată în principal fenomenologic, cu ajutorul unui aparat matematic minimal, și cu exemple și aplicații din viața reală. O prezentare compactă, clară și precisă a unui domeniu care reprezintă o parte importantă … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4.99$8.81 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *