Tensorul metric în relativitatea generală

Tensorul metric al spațiu-timpului în relativitatea generală scris ca o matrice

În relativitatea generală, tensorul metric (în acest context adesea abreviat pur și simplu metrică) este obiectul fundamental de studiu. Metrica surprinde toată structura geometrică și cauzală a spațiu-timpului, fiind utilizată pentru a defini noțiuni precum timpul, distanța, volumul, curbura, unghiul și separarea dintre viitor și trecut.

În relativitatea generală, tensorul metric joacă rolul potențialului gravitațional în teoria clasică a gravitației, deși conținutul fizic al ecuațiilor asociate este complet diferit.[1] Gutfreund și Renn spun „că în relativitatea generală potențialul gravitațional este reprezentat de tensorul metric”.[2]

Notație și convenții

Acest articol lucrează cu o semnătură metrică care este în mare parte pozitivă (− + + +); vezi convenția semnelor. Constanta gravitațională G va fi menținută explicită. Acest articol folosește convenția de însumare Einstein, unde indicii repetați sunt însumați automat.

Definiție

Matematic, spațiu-timpul este reprezentat de o varietate diferențiabilă cvadridimensională M iar tensorul metric este dat ca un tensor simetric covariant, de gradul doi, pe M, notat convențional cu g. Mai mult, metrica trebuie să fie nedegenerată cu semnătură (− + + +). O varietate M echipată cu o astfel de metrică este un tip de varietate lorentziană.

În mod explicit, tensorul metric este o formă biliniară simetrică pe fiecare spațiu tangent al lui M care variază într-o manieră lină (sau diferențiabilă) de la punct la punct. Având în vedere doi vectori tangenți u și v într-un punct x în M, metrica poate fi evaluată pe u și v pentru a da un număr real:

g_x(u,v) = g_x(v,u) ∈ R .

Aceasta este o generalizare a produsului scalar al spațiului euclidian obișnuit. Spre deosebire de spațiul euclidian – unde produsul scalar este pozitiv definit – metrica este nedefinită și conferă fiecărui spațiu tangent structura spațiului Minkowski.

(Include texte traduse și adaptate din Wikipedia de Nicolae Sfetcu)