Teorema lucru mecanic - energie

Am discutat cum să găsim lucrul mecanic efectuat asupra unei particule de forțele care acționează asupra ei, dar cum se manifestă acel lucru mecanic în mișcarea particulei? Conform celei de-a doua legi a mișcării a lui Newton, suma tuturor forțelor care acționează asupra unei particule sau forța netă determină viteza de schimbare a impulsului particulei sau mișcarea acesteia. Prin urmare, ar trebui să luăm în considerare lucrul mecanic efectuată de toate forțele care acționează asupra unei particule, sau lucrul mecanic net, pentru a vedea ce efect are asupra mișcării particulei.

Să începem prin a privi lucrul mecanic net efectuat asupra unei particule în timp ce aceasta se deplasează pe o distan’[ infinitezimală, care este produsul scalar al forței nete și deplasării: dW_net = F⃗_net⋅dr⃗ . A doua lege a lui Newton ne spune că F⃗net = m(dv⃗/dt), deci dW_net = m(dv⃗/dt)⋅dr⃗ . Pentru funcțiile matematice care descriu mișcarea unei particule fizice, putem rearanja diferențialele dt etc., ca mărimi algebrice în această expresie, adică

dW_net = m(dv⃗/dt)⋅dr⃗ = mdv⃗(dr⃗/dt) = mv⃗⋅dv⃗ ,

unde am înlocuit viteza cu derivata în timp a deplasării și am folosit proprietatea comutativă a produsului scalar [Ecuația 2.30]. Deoarece derivatele și integralele scalarilor vă sunt probabil mai familiare în acest moment, exprimăm produsul punctual în termeni de coordonate carteziene înainte de a integra între oricare două puncte A și B de pe traiectoria particulei. Aceasta ne oferă lucrul mecanic net efectuată asupra particulei:

(7.8) W_net,AB = ∫^B_A(mv_xdv_x + mv_ydv_y + mv_zdv_z) = ½ m∣v²_x + v²_y + v²_z∣^B_A = ∣½ mv²∣^B_A = K_B − K_A.

În pasul din mijloc, am folosit faptul că pătratul vitezei este suma pătratelor componentelor sale carteziene, iar în ultimul pas, am folosit definiția energiei cinetice a particulei. Acest rezultat important se numește teorema lucru mecanic-energie (Figura 7.11).

TEOREMA LUCRU MECANIC-ENERGIE

Lucrul mecanic net efectuat asupra unei particule este egal cu modificarea energiei cinetice a particulei:

(7.9) W_net = K_B − K_A.

Figura 7.11 Tragerile de cai sunt evenimente obișnuite la târgurile de la sate. Lucrul mecanic efectuat de cai care trag de sarcină are ca rezultat o modificare a energiei cinetice a încărcăturii, ajungând în cele din urmă să meargă mai rapid.

Conform acestei teoreme, atunci când un obiect încetinește, energia sa cinetică finală este mai mică decât energia sa cinetică inițială, modificarea energiei sale cinetice este negativă, la fel și lucrul mecanic net efectuat asupra lui. Dacă un obiect accelerează, lucrul mecanic net efectuat asupra lui este pozitiv. La calcularea lucrului mecanic net, trebuie să includeți toate forțele care acționează asupra unui obiect. Dacă omiteți orice forță care acționează asupra unui obiect sau dacă includeți forțe care nu acționează asupra acestuia, veți obține un rezultat greșit.

Importanța teoremei lucru mecanic-energie-și a generalizărilor ulterioare la care conduce este că face unele tipuri de calcule mult mai simplu de realizat decât ar fi încercând să se rezolve a doua lege a lui Newton. De exemplu, în legile mișcării lui Newton, am găsit viteza unui obiect care alunecă într-un plan fără frecare rezolvând a doua lege a lui Newton pentru accelerație și folosind ecuații cinematice pentru accelerație constantă, obținând

v²_f = v²_i + 2g(s_f − s_i)sinθ,

unde s este deplasarea în jos în plan.

Putem obține acest rezultat și din teorema lucru mecanic-energie din ecuația 7.1. Deoarece doar două forțe acționează asupra obiectului – gravitația și forța normală – și forța normală nu creează lucru mecanic, lucrul mecanic net este doar lucrul mecanic făcut de gravitație. Lucrul mecanic dW este produsul scalar al forței gravitaționale sau F^→ = −mgjˆ și deplasarea dr^→ = dxiˆ + dyjˆ. După ce luăm produsul scalar și integrăm dintr-o poziție inițială y_i într-o poziție finală y_f, se găsește lucrul mecanic net ca

W_net = W_grav = −mg(y_f − y_i),

unde y este pozitiv sus. Teorema lucru mecanic- energie spune că aceasta este egală cu modificarea energiei cinetice:

−mg(y_f − y_i) = ½ m(v²_f − v²_i).

Folosind un triunghi dreptunghic, putem vedea că (y_f − y_i) = (s_f − s_i)sinθ, deci rezultatul pentru viteza finală este același.

Ce se obține prin folosirea teoremei lucru mecanic-energie? Răspunsul este că pentru o suprafață plană fără frecare, nu prea mult. Cu toate acestea, a doua lege a lui Newton este ușor de rezolvat doar pentru acest caz particular, în timp ce teorema lucru mecanic-energie oferă viteza finală pentru orice suprafață fără frecare. Pentru o suprafață curbă arbitrară, forța normală nu este constantă, iar a doua lege a lui Newton poate fi dificil sau imposibil de rezolvat analitic. Constant sau nu, pentru mișcarea de-a lungul unei suprafețe, forța normală nu produce lucru mecanic niciodată, deoarece este perpendiculară pe deplasare. Un calcul folosind teorema lucru mecanic-energie evită această dificultate și se aplică unor situații mai generale.

STRATEGIA DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Teorema lucru mecanic-energie

1. Desenați o diagramă a corpului liber pentru fiecare forță asupra obiectului.

2. Determinați dacă fiecare forță produce sau nu lucru mecanic peste deplasarea din diagramă. Asigurați-vă că păstrați orice semne pozitive sau negative în lucrul mecanic efectuat.

3. Adunați cantitatea totală de lucru mecanic efectuat de fiecare forță.

4. Setați acest lucru mecanic total egal cu modificarea energiei cinetice și rezolvați pentru orice parametru necunoscut.

5. Verifică-ți răspunsurile. Dacă obiectul se deplasează cu o viteză constantă sau cu accelerație zero, lucrul mecanic total efectuat ar trebui să fie zero și să se potrivească cu modificarea energiei cinetice. Dacă lucrul mecanic total este pozitiv, obiectul trebuie să fi accelerat sau să fi crescut energia cinetică. Dacă lucrul mecanic total este negativ, obiectul trebuie să fi încetinit sau să fi scăzut energia cinetică.

EXEMPLUL 7.9

Bucla morții

Pista fără frecare pentru o mașină de jucărie include o buclă cu raza R. Cât de sus, măsurat de la partea de jos a buclei, trebuie să fie plasată mașina pentru a porni din repaus pe secțiunea care se apropie de șină și a traversa tot drumul buclei?

Figura 7.12 O cale fără frecare pentru o mașină de jucărie are o buclă a morții. Cât de sus trebuie să pornească mașina pentru a putea traversa bucla fără să cadă?

Strategie

Diagrama cu corp liber la poziția finală a obiectului este desenată în Figura 7.12. Lucrul mecanic gravitațional este singurul lucru mecanic efectuat peste deplasare care nu este zero. Deoarece greutatea indică în aceeași direcție cu deplasarea verticală netă, lucrul mecanic total efectuat de forța gravitațională este pozitiv. Din teorema lucru mecanic-energie, înălțimea de pornire determină viteza mașinii în partea de sus a buclei,

–mg(y₂ − y₁) = ½ mv₂²,

unde notația este prezentată în figura alăturată. În partea de sus a buclei, forța normală și gravitația sunt ambele în jos, iar accelerația este centripetă, deci

a_top = F/m = (N+mg)/m = v₂²/R.

Condiția pentru menținerea contactului cu pista este că trebuie să existe o anumită forță normală, oricât de mică; adică N > 0. Înlocuind v₂² și N, putem găsi condiția pentru y₁.

Soluție

Implementați pașii din strategie pentru a ajunge la rezultatul dorit:

N = −mg + mv₂²/R = (−mgR+2mg(y₁ − R))/R > 0 sau y₁ > 5R/2.

Semnificație

Pe suprafața buclei, componenta normală a gravitației și forța normală de contact trebuie să asigure accelerația centripetă a mașinii care circulă în jurul buclei. Componenta tangențială a gravitației încetinește sau accelerează mașina. Un copil ar afla cât de sus să pornească mașina prin încercare și eroare, dar acum că cunoașteți teorema lucru mecanic-energie, puteți prezice înălțimea minimă (precum și alte rezultate mai utile) din principii fizice. Folosind teorema lucru mecanic-energie, nu a trebuit să rezolvați o ecuație diferențială pentru a determina înălțimea.

EXERCIȚIUL 7.7

Să presupunem că raza buclei morții din exemplul 7.9 este de 15 cm și mașina de jucărie pornește din repaus la o înălțime de 45 cm deasupra fundului. Care este viteza sa în partea de sus a buclei?

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS

În situațiile în care mișcarea unui obiect este cunoscută, dar valorile uneia sau mai multor forțe care acționează asupra acestuia nu sunt cunoscute, este posibil să puteți utiliza teorema lucru mecanic-energie pentru a obține informații despre forțe. Lucrul mecanic depinde de forța și de distanța pe care acționează, astfel încât informațiile sunt furnizate prin intermediul produsului lor.

EXEMPLUL 7.10

Determinarea unei forțe de oprire

Un glonț are o masă de 2,60 g și o viteză de 335 m/s. Poate pătrunde în opt plăci de pin de 1 inch, fiecare cu grosimea de 0,75 inci. Care este forța medie de oprire exercitată de lemn, așa cum se arată în Figura 7.13?

Figura 7.13 Plăcile exercită o forță pentru a opri glonțul. Ca urmare, plăcile produc lucru mecanic și glonțul pierde energie cinetică.

Strategie

Putem presupune că în condițiile generale enunțate, glonțul își pierde toată energia cinetică pătrunzând în plăci, așa că teorema lucru mecanic-energie spune că energia sa cinetică inițială este egală cu forța medie de oprire înmulțită cu distanța străbătută. Modificarea energiei cinetice a glonțului și lucrul mecanic net efectuat pentru oprirea acestuia sunt ambele negative, așa că atunci când scrieți teorema lucru mecanic-energie, cu lucrul mecanic net egal cu forța medie înmulțită cu distanța de oprire, asta este ceea ce obțineți. Grosimea totală a opt plăci de pin de 1 inch pe care glonțul le pătrunde este de 8 × ¾ in. = 6 in. = 15,2 cm.

Soluție

Aplicând teorema lucru mecanic-energie, obținem

W_net = −F_ave Δs_stop = −K_initial,

deci

F_ave = ½ mv²/Δs_stop = ½ (2,6 × 10⁻³ kg)(335 m/s)2/0,152 m = 960 N.

Semnificație

Am fi putut folosi a doua lege a lui Newton și cinematica în acest exemplu, dar teorema lucru mecanic-energie oferă, de asemenea, un răspuns la situații mai puțin simple. Pătrunderea unui glonț, tras vertical în sus într-un bloc de lemn, este discutată într-o secțiune a articolului recent al lui Asif Shakur [„Bullet-Block Science Video Puzzle”. The Physics Teacher (ianuarie 2015) 53(1): 15-16]. Dacă glonțul este tras chiar în centru în bloc, acesta își pierde toată energia cinetică și pătrunde puțin mai departe decât dacă este tras în afara centrului. Motivul este că, dacă glonțul lovește descentrat, are puțină energie cinetică după ce nu mai pătrunde, deoarece blocul se rotește. Teorema lucru mecanic-energie implică faptul că o modificare mai mică a energiei cinetice are ca rezultat o penetrare mai mică. Veți înțelege mai multe despre fizică în acest articol interesant după ce veți termina de citit Momentul unghiular.