Probleme de limită, de spectru și de evoluție în fizica matematică

O clasificare rapidă a diverselor probleme de fizică matematică întâlnite în modelarea fenomenelor fizice. Mai exact, problemele luate în considerare sunt cele care pot fi reduse la găsirea soluției unei ecuații cu diferențiale parțiale (partial differential equation, PDE). Într-adevăr, pentru mulți fizicieni, a oferi un model al unui fenomen înseamnă a oferi o PDE care descrie acest fenomen. Pot fi probleme de limită, probleme spectrale, probleme de evoluție.

În cărțile clasice despre PDE, ecuațiile sunt de obicei clasificate în trei categorii: ecuații hiperbolice, parabolice și eliptice. Această clasificare este legată mai degrabă de dovada existenței și unicității soluțiilor decât de modul real de obținere a soluției. Prezentăm aici o altă clasificare legată de modul în care se obțin soluțiile: distingem în principal problemele limită și problemele de evoluție.

Să introducem problemele de limită:

Problemă: (Problema de limită) Găsiți u astfel încât:

Lu = f , u∈E , x∈Ω
u satisface condițiile de limită.

Această clasă de probleme poate fi rezolvată prin metode integrale și prin metode variaționale. Să introducem o a doua clasă de probleme: problemele de evoluție. Condițiile inițiale sunt de obicei implicate de variabile de timp. Se cunoaște la momentul t₀ funcția u(x, y, t₀ ) și se încearcă să obțină valorile lui u(x, y, t) pentru t mai mare decât t₀ . Aceasta este a doua noastră clasă de probleme:

Problemă: (Problema de evoluție) Găsiți u∈V astfel încât:

∂u/∂t = Lu + f , u∈E , x∈Ω
u satisface condițiile de limită.
u satisface condițiile inițiale.

Desigur, în unele probleme timpul poate acționa „ca” o variabilă spațială. Acesta este cazul când se rezolvă probleme în care u ar trebui să satisfacă o condiție la t = t₀ și o altă condiție la t = t₁.

A treia clasă de probleme (problemele de spectru) apare adesea din rezolvarea problemelor de evoluție liniară (probleme de evoluție în care operatorul L este liniar):

Problemă: (Problema de spectru) Găsiți u și λ astfel încât:

Lu − λu = f , u∈E , x∈Ω
u satisface condițiile de limită.

Diferența dintre problemele de limită și problemele de evoluție se bazează pe rolul diferit jucat de diferitele variabile independente de care depind funcția necunoscută. Variabilele de spațiu implică de obicei condiții la limită. De exemplu, elevația u(x, y) a unei membrane care este definită pentru fiecare poziție x, y într-un domeniu Ω delimitat de o limită ∂Ω ar trebui să fie zero pe graniță. Dacă ecuația îndeplinită de u la echilibru și la poziția (x, y) în Ω este:

Lu = f ,

atunci L ar trebui să fie un operator diferențial care acționează asupra variabilelor spațiale care este cel puțin de ordinul doi.

Să dezvoltăm acum câteva idei despre condițiile la limită. În cazul ecuațiilor diferențiale ordinare (ordinary differential equations, ODE), unicitatea soluției este legată de condițiile inițiale prin teorema Cauchy. De exemplu, pentru a determina o soluție completă a unei ecuații:

d²u/dt² = f(t)

trebuie să cunoaștem atât u(0) cât și du/dt(0). Condițiile limită sunt mai subtile, deoarece spațiul poate avea o dimensiune mai mare decât una. Să luăm în considerare o problemă de limită 1-D. Ecuația este atunci o EDO care poate fi scrisă:

Lu = f

Condițiile la limită sunt impuse pentru două (cel puțin) valori diferite ale variabilelor de spațiu x. Astfel, operatorul ar trebui să fie cel puțin de ordinul doi. Să luăm L = d²/dx². Ecuația se numește atunci ecuația Laplace. Elevația unei corzi se supune unei astfel de ecuații, unde f este distribuția greutății pe coardă. O coardă prinsă (vezi figura) corespunde cazului în care condițiile la limită sunt:

u(0) = 0 , u(L) = 0 ;

Aceste condiții se numesc condiții Dirichlet. O coardă care glisează (vezi figura) corespunde cazului în care condițiile la limită sunt:

du/dx(0) = 0 , du/dx(L) = 0 ;

Aceste condiții se numesc condiții Neumann. Să ne amintim aici definiția operatorului adjunct:

Definiție: Operatorul adjunct într-un spațiu Hilbert ℌ al unui operator L este operatorul L* astfel încât pentru toate u și h din ℌ, avem <Lu, h> = <u, L*h >.

Coardă prinsă — Credit: Alexmadon/Wikipedia, licența CC BY-SA 3.0

(Elevația unei corzi prinsă verifică o ecuație Laplace cu condițiile la limită Dirichlet.)

Se poate arăta că ℌ, spațiul funcțiilor zero în 0 și L, este un spațiu Hilbert pentru produsul scalar <u, v> = ∫₀^Lu(x)v(x)dx . (Se vorbește despre spațiul Sobolev). Mai mult, se poate arăta că adjunctul lui L este L* = ∂²/∂x²:

<Lu, v> = ∫₀^ld²u/dx² vdx = ∫₀^l u d²v/dx² dx + [v du/dx − u dv/dx]₀^l

Deoarece L* = L , L se numește autoadjunct.

Coardă glisantă — Credit: Alexmadon/Wikipedia, licența CC BY-SA 3.0

(Elevația unei corzi de glisare verifică o ecuație Laplace cu condiții la limită Neumann.)

Se mai poate arăta că spațiul ℌ₂ al funcției cu derivată zero la x = 0 și la x = L este un spațiu Hilbert pentru produsul scalar: <u, v> = ∫₀^Lu(x)v(x)dx . Folosind ecuația de mai sus, se arată că L este, de asemenea, autoadjunct.

Forma (definită)

<Lu, u> = ∫₀^ld²u/dx² udx = [u du/dx]₀^l − ∫₀^l(df/dx)²dx = − ∫₀^l(df/dx)²dx

este negativă definită în cazul corzii prinse și negativă (nedefinită) în cazul corzii care glisează. Într-adevăr, în acest ultim caz, funcția u = constant face ca <Lu, u> să fie zero.

Să încheiem acele observații despre condițiile la limită prin compatibilitatea dintre soluția u a unei probleme la limită

Lu = f

În cazul șirului de alunecare, funcția v 0 = 1 peste [ 0 , L ] este soluția problemei adiacente omogene. Ecuația anterioară de compatibilitate este atunci: f ar trebui să fie de medie zero:
< v 0 , f >= ∫ 0 l f d x .
Pentru sfoara prinsă problema adiacentului omogen nu are o soluție diferită de zero.
Cititorul trebuie să aibă o bună cunoaștere a rezolvării ecuațiilor diferențiale obișnuite. O referință bună pe acest subiect este ([ma:equad:Arnold83]).

Teoremă:

Dacă există o soluție v₀ pentru problema adjunctă omogenă:

L*v₀ = 0

atunci o condiție necesară ca problema Lu = f să aibă o soluție este ca f să fie ortogonală cu v₀.

Demonstrație:

Să presupunem că u₁ este soluția pentru:

Lu = f

Atunci

∀v , <v, Lu₁> = <v, f>

prin urmare

∀v , <L*v, u₁> = <v, f>

Dacă există o funcție v₀ astfel încât L*v₀ = 0 , atunci ecuația anterioară implică:

<v₀ , f> = 0

Exemplu:

În cazul corzii care alunecă, funcția v₀ = 1 peste [0, L] este soluția problemei adiacente omogene. Ecuația anterioară de compatibilitate este atunci: f ar trebui să fie de medie zero:

<v₀, f> = ∫₀^lfdx .

For the clamped string the homogeneous adjoint problem has no non zero solution.

(Include texte din Wikibooks, traduse și adaptate de Nicolae Sfetcu)