Viscozitate și legea lui Stokes

© 2025 Nicolae Sfetcu

 

Sfetcu, Nicolae (2025). ”Planul înclinat și coeficientul de frecare μ”, în Index Academic, I 2025, DOI

 

PDF: https://www.indexacademic.ro/pdf/viscozitate-si-legea-lui-stokes/

HTML: https://www.telework.ro/ro/viscozitate-si-legea-lui-stokes/

 

Concepte: regim laminar, forțe.
Ce faci: lași bile metalice mici să cadă într-un borcan cu glicerină/ulei; cronometrezi viteza terminală.
Măsori: η = 2r²(ρ_s − ρ_l)g/9v_t.
Extinde: dependența cu temperatura (apa caldă vs. rece).

 

Cuprins

Viscozitate și legea lui Stokes. 1

Cuprins. 1

Rezumat 2

Introducere. 2

Concepte teoretice: legea lui Stokes și viteza terminală. 3

Determinarea viscozității din viteza terminală. 5

Descrierea experimentului (metodologie) 5

Scopul experimentului 5

Aparatură și materiale necesare. 6

Principiul experimentului 6

Procedura de lucru. 6

Schema experimentală. 7

Observații în timpul experimentului 8

Prelucrarea datelor 9

Exemplu de calcul 9

Sugestii avansate (nivel universitar și discuție) 9

Fișă de laborator 11

Scopul lucrării 11

Teorie rezumată. 11

Materiale necesare. 11

Procedură. 11

Date și rezultate. 12

Analiza și prelucrarea datelor 12

Concluzii 12

Întrebări pentru discuție: 12

Precauții și erori posibile. 13

Bibliografie. 13

 

Rezumat

Lucrarea prezintă determinarea experimentală a viscozității dinamice a unui lichid prin metoda „bilei în cădere”, în regim Stokes, pentru o sferă mică ce atinge viteză terminală într-un fluid. Sunt expuse fundamentul teoretic (legea lui Stokes, echilibrul greutate–flotabilitate–frecare) și relația operațională pentru η, valabilă la curgere laminară (număr Reynolds mic).  Protocolul experimental include măsurarea razei bilei, a distanței dintre repere și a timpilor de trecere pentru calculul vitezei terminale, precum și determinarea densităților și a temperaturii.  Se discută principalele surse de incertitudine (cronometraj, diametru, efecte de perete) și criterii de validare, precum verificarea proporționalității dintre v_t și r².  Un exemplu numeric pentru glicerină indică o concordanță bună cu valorile tabulate și evidențiază dependența puternică de temperatură a viscozității.  Sunt propuse extensii: studiul η(T), corecții de perete, achiziție video pentru dinamica v(t) și comparația cu viscozimetria capilară/rotativă, pentru a plasa metoda într-un context metrologic mai larg.

Cuvinte cheie: experiment, viscozitate, viscozitatea dinamică, legea lui Stokes, flotabilitate, curgere laminară, număr Reynolds, criterii de validare, viscozimetria

Introducere

Viscozitatea este proprietatea fluidelor de a opune rezistență la curgere – un fel de „frecare internă” din fluid. De exemplu, mierea sau glicerina curg mult mai lent decât apa deoarece au o viscozitate mai mare (rezistență internă mai mare la curgere) (Elmesery 2023). Viscozitatea poate fi definită cantitativ ca fiind raportul dintre tensiunea de forfecare și gradientul de viteză din fluid (în SI are unitatea Pa·s) (Elmesery 2023). Aceasta depinde de factori precum natura fluidului, temperatura, presiunea, iar pentru fluidele Newtoniene (ex: apa, aerul, uleiuri simple) viscozitatea este independentă de rata de deformare (adică de viteza de curgere) (Elmesery 2023). Un aspect important este regimul de curgere: regim laminar vs. regim turbulent. În regim laminar, fluidul curge în straturi paralele, liniile de curgere sunt netede, iar forțele de frecare internă (viscozitatea) respectă o lege liniară. În regim turbulent, la viteze mari sau obiecte mari, apar vorticități și curgerea devine haotică, formula simplă a viscozității nu mai este suficientă. Legea lui Stokes (care leagă forța de frecare vâscoasă de viteză) este valabilă doar în regim laminar, adică pentru Reynolds foarte mic (de obicei $Re \lesssim 1$) (Singh 2019). În continuare vom descrie un experiment clasic prin care se poate măsura coeficientul de viscozitate al unui lichid folosind legea lui Stokes, lăsând o bilă să cadă prin fluid și măsurând viteza ei terminală.

Concepte teoretice: legea lui Stokes și viteza terminală

Când un obiect (de exemplu o bilă) se mișcă printr-un fluid vâscos cu viteză mică (regim laminar), acesta simte o forță de rezistență vâscoasă (forță de frecare fluidă) opusă mișcării. Legea lui Stokes afirmă că pentru un obiect sferic mic, această forță de frecare este direct proporțională cu viteza obiectului $v$, cu viscozitatea fluidului η și cu raza sferei r (Elmesery 2023). Matematic, forța de frecare (numită și forță de drag vâscos) este:

F_v = 6π η r v

unde η este coeficientul dinamic de viscozitate al fluidului (Pas·s în SI) (Elmesery 2023), r raza sferei, iar v viteza sferei relativă la fluid. Această relație – dedusă de George Stokes în 1851 – este valabilă la viteze mici (Reynolds mic), când curgerea în jurul sferei este laminară.

Când o bilă cade vertical printr-un lichid, acționează trei forțe principale (Figura 1): greutatea bilei (în jos), forța Arhimede (de flotabilitate) dată de volumul dislocat de bilă (în sus) și forța de frecare vâscoasă (drag-ul Stokes) (în sus, opus mișcării) (Singh 2019). Greutatea este G = mb g = 4/3 πr³ρ_sg, unde ρ_s este densitatea materialului bilei. Forța Arhimede (forța de împingere în sus a fluidului) este F_A = 4/3 πr3ρ_lg, unde ρ_l este densitatea lichidului. Forța de frecare vâscoasă este F_v = 6π η r v (formula Stokes de mai sus). Imediat după ce bila este eliberată în fluid, aceasta va accelera deoarece greutatea (în jos) este inițial mai mare decât suma celorlalte forțe în sus. Pe măsură ce viteza crește, forța de frecare vâscoasă crește proporțional cu viteza, opunându-se mișcării (Elmesery 2023). În curând, bila atinge o viteză la care forța vâscoasă plus forța Arhimede echilibrează exact greutatea. În acel moment, forța rezultantă devine zero, deci bila nu mai accelerează și continuă să cadă cu viteză constantă, numită viteza terminală v_t (Elmesery 2023). Practic, bila parcurge o porțiune a vasului cu viteză uniformă (constantă) atunci când cele trei forțe sunt în echilibru.

Figura 1. Regim de curgere laminară în jurul unei sfere (bile) care cade printr-un fluid vâscos: liniile de curgere (linii de stream) sunt paralele și netede, iar forțele sunt echilibrate la viteza terminală (greutatea F_g în jos este balansată de forța de flotabilitate F_b și forța de rezistență vâscoasă F_d în sus). Sfera roșie cade vertical prin fluid, liniile violet indică curgerea laminară în jurul ei (soluția Stokes pentru Re ≪ 1). La viteza terminală, F_g = F_b + F_d și accelerația devine zero.

Din condiția de echilibru a forțelor la viteză terminală (adică G = F_A + F_v) se poate deduce expresia vitezei terminale v_t. Astfel, egalând:

4/3 πr³ρ_sg = 4/3 πr³ ρ_lg + 6πηrv_t,

și simplificând, obținem formula pentru viteza terminală a sferei în fluid:

v_t = 2r²(ρ_s – ρ_l)g/(9 η).

Această formulă, derivată inițial de Stokes, arată că viteza terminală este direct proporțională cu pătratul razei r² a bilei și cu diferența de densitate ρ_s – ρ_l, și invers proporțională cu viscozitatea fluidului (Singh 2019). Dacă bila are densitatea mai mare decât fluidul ρ_s > ρ_l), v_t este în jos; dacă bila e mai puțin densă decât fluidul (de exemplu o bilă de plastic într-un lichid foarte dens), ea ar urca în sus cu aceeași viteză terminală dată de formula (semn schimbat) (Wikipedia 2025). În cazul obișnuit (bilă metalică în lichid mai ușor), bila coboară cu v_t conform relației de mai sus.

Determinarea viscozității din viteza terminală

Formula de mai sus se poate rearanja pentru a calcula coeficientul de viscozitate necunoscut al unui fluid, măsurând viteza terminală a unei sfere cunoscute. Izolând $\eta$ din ecuație, rezultă:

η = (2r²(ρ_s – ρ_l)g/(9v_t) .

Așadar, dacă cunoaștem raza r a bilei (și deci volumul ei), densitatea materialului bilei ρ_s și a fluidului ρ_l, precum și dacă putem măsura viteza terminală v_t a bilei în fluid, putem determina η, coeficientul de viscozitate al fluidului (Byjus 2025).

Notă: Formula Stokes este valabilă strict în regim laminar. În practică, pentru a asigura acest regim, se folosesc bile de dimensiuni mici și fluide destul de vâscoase (astfel viteza v_t este mică, iar numărul Reynolds rămâne sub pragul de turbulență). De asemenea, se preferă un recipient larg, astfel încât bilele să nu fie prea aproape de pereții vasului – pereții pot afecta curgerea și pot mări aparent forța de rezistență. Dacă vasul este îngust comparativ cu bila, există formule de corecție (de exemplu relația lui Faxén) ce reduc eroarea – de obicei corecția depinde de raportul r/R (rază bilă vs. rază interioară a cilindrului) (Elmesery 2023). În experimentul de față, vom presupune că diametrul vasului este suficient de mare față de bilă, astfel încât efectele pereților sunt neglijabile.

Descrierea experimentului (metodologie)

Scopul experimentului

Determinarea coeficientului de viscozitate η al unui lichid (de exemplu glicerină, ulei etc.) folosind metoda căderii libere a unei bile și legea lui Stokes (metoda bilă-cădere). Pe scurt, se va măsura viteza terminală cu care mici bile metalice cad printr-un fluid vâscos, apoi din formula de mai sus se calculează η (Elmesery 2023).

Aparatură și materiale necesare

• Vas cilindric transparent (înalt de ~0,5–1 m și relativ îngust, ex. un cilindru gradat sau un borcan de sticlă înalt) umplut cu fluidul de studiat (exemplu: glicerină, ulei, sirop gros, apă cu zahăr etc.). Vasul ar trebui să aibă marcaje gradate pe înălțime (sau se pot lipi benzi/markere la anumite înălțimi) (Byjus 2025). Fluidul trebuie să fie transparent, pentru a observa bila în cădere.
• Bile mici (sfere) de densitate cunoscută, preferabil metalice (oțel, plumb) sau sticlă. Raza tipică ~1–5 mm. Ideal, mai multe bile de raze diferite pentru a face și investigații suplimentare. Bilele trebuie să fie suficient de mici pentru a se asigura regim laminar și să nu atingă pereții vasului în cădere. (Se pot folosi bile de rulment de diferite diametre.)
• Clemă și suport pentru susținerea cilindrului (dacă e necesar, de exemplu dacă se folosește un tub cilindric lung care trebuie fixat vertical).
• Cronometru (sau stopwatch). Precizia cu care măsurăm timpul este importantă – un cronometru digital cu precizie de $0,01\,$s este recomandat. Alternativ, se poate folosi și filmarea video a căderii și analiza cadru-cu-cadru pentru o determinare mai precisă a timpului și poziției bilei (vezi mai jos sugestii de nivel universitar).
• Instrumente de măsură: riglă sau metru (pentru a măsura distanțele parcurse de bilă între două repere), șubler sau micrometru (screw gauge) pentru a măsura diametrul bilelor cu precizie (Byjus 2025). De asemenea, un termometru este util pentru a măsura temperatura lichidului (viscozitatea depinde de temperatură).
• Opțional: cântar și cilindru gradat (pentru determinarea densității lichidului, dacă nu este cunoscută), sau un densimetru. Densitatea bilelor se poate calcula din masă și volum (determinând volumul din diametru).

Principiul experimentului

Bila metalică, având densitatea ρ_s mai mare decât a lichidului ρ_l, va cădea prin lichid. Inițial accelerează sub acțiunea gravitației, dar după o scurtă distanță atinge viteza terminală v_t când forțele se echilibrează. În porțiunea centrală a vasului (departe de suprafața liberă și de fund), bila se mișcă cu viteză constantă v_t (Elmesery 2023). Vom măsura experimental această viteză: se înregistrează timpul t în care bila parcurge o distanță verticală s cunoscută (între două repere marcate pe cilindru) atunci când se află în mișcare uniformă. Apoi v_t = s/t. Repetând și pentru alte bile (raze r diferite) sau alte lichide, putem verifica relația teoretică. În final, se calculează η din formula dată.

Procedura de lucru

1. Pregătirea vasului și a lichidului: Se umple cilindrul de sticlă cu lichidul ales (de exemplu glicerină). Asigurați-vă că nu există bule de aer sau impurități în lichid, deoarece acestea pot afecta căderea bilei. Dacă lichidul este foarte vâscos (ex: miere), se poate încălzi ușor pentru a o face mai fluidă – dar atenție, temperatura influențează viscozitatea, deci trebuie măsurată. Marcați pe exteriorul cilindrului două repere orizontale A și B la o distanță s convenabilă (de exemplu, A la 10 cm sub suprafața lichidului, B la 30 cm sub A, deci s = 30 cm) (Elmesery 2023). Această distanță trebuie aleasă astfel încât bila să fi atins viteza terminală înainte de A și să nu atingă fundul înainte de B. (Din experiență, bila atinge v_t după ce parcurge ~ 8–10 cm, deci alegeți reperele la ceva mai mult de atât de la suprafață (Byjus 2025).) Notați exact distanța s între repere.
2. Pregătirea bilei: Măsurați diametrul bilei cu ajutorul șublerului sau micrometrului (ideal, în mai multe direcții, și faceți media) (Byjus 2025). Calculați raza r și volumul V = 4/3 πr³. Determinați densitatea bilei ρ_s: dacă știți materialul, puteți folosi o valoare din tabele (ex: oțel ~ 7800 kg/m³), dar pentru acuratețe mai bine cântăriți bila (masa m) și folosiți ρ_s = m/V. Notați aceste valori. De asemenea, determinați densitatea fluidului ρ_l – fie din datele producătorului, fie măsurând masa unui volum cunoscut de lichid (umpleți un cilindru gradat cu, să zicem, 100 ml de lichid și cântăriți-l, apoi ρ_l = Δm/ΔV) (teachengineering 2016).
3. Măsurarea vitezei terminale: Introduceți cu grijă termometrul în lichid și notați temperatura inițială (T). Apoi, luați bila cu ajutorul unui magnet sau pensă (pentru a nu se murdări lichidul) și lăsați bila să cadă central pe deasupra fluidului. Ideal, bila se lasă ușor pe suprafață pentru a evita turbulența inițială; dacă e necesar, se poate folosi un ghidaj (de exemplu o pâlnie) pentru a o centra. Imediat ce bila începe să cadă, observați mișcarea ei: inițial va accelera (primele câteva zeci de milimetri). În momentul în care bila trece de reperul superior A, porniți cronometrul (Elmesery 2023). Urmăriți bila cu atenție; când bila ajunge la reperul inferior B, opriți cronometrul. Notați timpul măsurat t. (Dacă ratați exact momentul, repetați încercarea; acuratețea cronometrajului este esențială.)
4. Sfat: Pentru a minimiza erorile de reacție umană, puteți repeta căderea și înregistra un video cu telefonul. Apoi, ulterior, analizați video-ul (eventual cadru cu cadru sau folosind software) pentru a determina timpul exact între pozițiile A și B. Acest procedeu de înregistrare video este o metodă modernă ce crește precizia măsurătorilor în astfel de experimente. Alternativ, la nivel universitar se poate realiza un sistem cu senzori optici (fotocelule) la nivelul reperelor A și B pentru a măsura timpul de trecere automat.
5. Repetați măsurarea: Ridicați bila (dacă este posibil, cu un magnet sub borcan sau recuperați-o după ce cade la fund) și repetați procedura de cel puțin 3 ori, cronometrați de fiecare dată. Asigurați-vă că lichidul s-a liniștit înainte de fiecare nouă măsurare (dacă lichidul a rămas agitat de la căderea anterioară, așteptați puțin). Notați valorile multiple obținute ale timpului t₁, t₂, t₃, … pentru aceeași bilă și același lichid. Se va folosi media acestora pentru calculul final, iar variația lor oferă o estimare a erorii.
6. Repetați pentru bile diferite și/sau fluide diferite: Dacă dispuneți de bile cu raze diferite, repetați experimentul pentru fiecare bilă (în același fluid, la aceeași temperatură). De asemenea, puteți repeta experimentul cu alt lichid (de exemplu apă, ulei de motor etc.) – asigurându-vă că bilele se scufundă și ating regim terminal (dacă fluidul e prea puțin vâscos și bila prea mică, este posibil ca viteza să fie prea mare și curgerea turbulentă). Scopul acestor repetări este atât verificarea formulei lui Stokes (de ex. dacă v_t ∝ r²), cât și compararea viscozităților diferitelor fluide.
7. Măsurători opționale: Dacă se dorește explorarea influenței temperaturii, se poate încălzi sau răci lichidul (de exemplu, un pahar de glicerină pus în baie de apă caldă vs. rece). Se măsoară temperatura, apoi se repetă experimentul la acea temperatură și se compară η obținut. (Vezi secțiunea de Extensii mai jos pentru interpretare.)

Schema experimentală

În Figura 2 este ilustrat schematic dispozitivul experimental descris. Bila mică (sferă metalică) este eliberată să cadă prin lichidul vâscos dintr-un cilindru de sticlă gradat. Un termometru monitorizează temperatura lichidului, iar pe cilindru sunt marcate segmente de distanță pentru măsurarea vitezei terminale.

Figura 2: Schemă tehnică a experimentului de măsurare a viscozității prin metoda bilei care cade. O bilă metalică de mici dimensiuni este lăsată să cadă prin lichid (exemplu: glicerină, colorată în imagine în albastru) într-un cilindru gradat. Se cronometrează intervalul în care bila parcurge distanța dintre două repere marcate pe cilindru (notate A și B în text, aici ilustrativ). Este inclus un termometru pentru măsurarea temperaturii fluidului. (Byjus 2025)

Observații în timpul experimentului

Veți observa că bila se mișcă inițial mai încet, apoi atinge o viteză constantă. Dacă urmăriți atent, diferența de viteză între început și zona de mijloc poate fi greu de sesizat vizual – de aceea e important să alegeți reperele la o oarecare distanță de începutul căderii, pentru a fi siguri că în acea zonă viteza este constantă. De asemenea, asigurați-vă că bila nu are mișcare de rotație sau traiectorie oblică; aruncați-o drept, fără a o împinge lateral. Dacă bila deviază spre perete, repetați încercarea asigurându-vă că pornește central. În cazul unui lichid foarte vâscos, bilele mici pot cădea foarte încet – aveți răbdare și asigurați-vă că nimeni nu agită masa sau suportul. În cazul unui lichid cu viscozitate mică (ex: apă la temperatura camerei), s-ar putea ca bila să atingă o viteză destul de mare și regimul să devină turbulent (veți observa poate un mic „vârtej” în urma bilei). Dacă se întâmplă asta, rezultatele nu vor urma legea lui Stokes exact. Soluție: fie folosiți o bilă mai mică, fie un lichid mai vâscos, fie reduceți diferența de densitate (ex: o bilă de plastic în loc de metal, dacă tot doriți să măsurați apa).

Prelucrarea datelor

Pentru fiecare probă (o anumită bilă într-un anumit fluid la o anumită temperatură) veți avea măsurate: raza bilei r, densitatea bilei ρ_s, densitatea lichidului ρ_l, distanța s dintre repere și timpii t₁, t₂, … de cădere pe distanța respectivă. Calculați mai întâi timpul mediu t^–, apoi viteza terminală medie v_t = s/t^–. Introduceți aceste valori în formula:

η = (2r²(ρ_s – ρ_l)g)/(9v_t)

pentru a obține viscozitatea η (țineți cont de unități – în SI: r în metri, g = 9,81 m/s², densitățile în kg/m³, v_t în m/s, rezultând η în Pa·s). Dacă ați folosit unități CGS (cm, g, s), η va rezulta în poise (unde 1 Pa·s = 10 poise).

Pentru mai multe bile (raze diferite) în același fluid, puteți verifica relația: conform formulei, la același fluid η și aceleași densități, v_t ar trebui să fie proporțional cu r². O reprezentare grafică a datelor v_t în funcție de r² ar trebui să producă aproximativ o dreaptă trecând prin origine (Elmesery 2023). Panta acestei drepte ar fi 2(ρ_s − ρ_l)g/9η, deci din ea se poate obține alternativ η. În practică, datorită erorilor, punctele experimentale pot devia ușor de la linia ideală – dar dacă deviațiile sunt mari, poate indica ieșirea din regimul laminar la unele puncte (de exemplu bila mare a generat curgere parțial turbulentă).

Exemplu de calcul

Presupunem că am lăsat să cadă o bilă de oțel de r = 2,0 mm prin glicerină la 20°. Densitatea oțelului ρ_s ≈ 7800 kg/m³, a glicerinei ρ_l ≈ 1260 kg/m³ (Singh 2019). Am marcat două repere la distanța s = 0,25 m și am măsurat timpii t: 3,50 s, 3,60 s, 3,55 s (medie t^– =3,55 s). Rezultă v_t = 0,25/3,55 ≈ 0,0704 m/s. Introducem în formulă:

η = (2(0,002)² (7800 – 1260)⋅9,81)/(9⋅0,0704) ≈ 0,93 Pa·s.

Valoarea tabulată a viscozității glicerinei la 20°C este ~1,0 Pa·s, deci rezultatul experimental (0,93) este rezonabil, cu o eroare de ~7%. Erorile pot proveni din imprecizia măsurării timpului, a razei bilei, temperaturii (dacă glicerină nu era chiar la 20°C), eventual curgere perturbată lângă perete etc. Acest exemplu ilustrează modul de calcul și faptul că metoda produce o aproximație bună a viscozității.

Sugestii avansate (nivel universitar și discuție)

Experimentul descris este potrivit pentru nivel de liceu, ilustrând conceptele de forțe într-un fluid, regim laminar și determinarea experimentală a unei mărimi fizice (viscozitatea). La nivel universitar sau pentru o investigare mai aprofundată, se pot adăuga următoarele elemente:

• Măsurare și analiză computerizată: În locul cronometrajului manual, folosiți o cameră video cu înregistrare de înaltă viteză sau un sistem de achiziție cu senzori optici. Astfel se pot obține curbe complete viteză-timp pentru bila în cădere. De exemplu, filmând căderea și analizând poziția bilei în funcție de timp, se poate verifica cum viteza crește inițial (regim accelerat) și se plafonează la v_t. Această curbă experimentală v(t) se poate compara cu soluția teoretică a ecuației de mișcare sub forțe (care arăta că v(t) = v_t(1 − e^−t/τ), cu τ o constantă de timp legată de masa bilei și forțele de frecare). Astfel de analize depășesc programul liceal, dar sunt instructive pentru înțelegerea ecuațiilor diferențiale de mișcare cu forță de rezistență.
• Determinarea precisă a densităților și volumelor: La nevoie, folosiți o micropipetă sau volum gradat mic pentru a măsura volumul exact al lichidului și un cântar de precizie pentru masă, obținând ρ_l cu eroare mică. De asemenea, dacă bilele nu sunt perfect uniforme, măsurați diametrul pe mai multe axe și calculați densitatea medie. Aceste procedee reduc erorile sistematice în calculul η.
• Verificarea validității regimului Stokes (Reynolds mic): Calculați numărul Reynolds pentru fiecare probă: Re = 2rρ_lv_t/η (sau echivalent ρ_lv_td/η, cu d = 2r diametrul). Pentru ca legea lui Stokes să fie aplicabilă, Re ar trebui să fie de ordinul 1 sau subunitar. Dacă obțineți valori Re ≫ 1, rezultatele nu mai urmează legea lui Stokes strict și ar necesita corecții (de exemplu, pentru Re mediu, forța de rezistență se calculează cu coeficient de drag dependent de Re, nu simplu 6πηrv). La nivel universitar, se poate discuta curgerea newtoniană curgere inerțială și tranziția la turbulență.
• Corecția influenței pereților și capetelor vasului: Dacă raportul dintre diametrul bilei și cel al cilindrului nu este neglijabil, viteza terminală măsurată va fi ușor mai mică decât cea într-un mediu infinit (pereții „frânează” curgerea). O relație de corecție (prima aproximație) este: v_t,real = v_t,măsurat/(1+2,4r/R) (Elmesery 2023), unde R este raza interioară a cilindrului. La fel, apropierea de fundul vasului înainte ca bila să atingă v_t complet introduce erori. Asigurați-vă că distanța de la reperul B până la fund este suficientă încât bila să nu înceapă să frâneze (când se apropie de fund, lichidul dislocat nu poate ocoli liber bila și apare un efect de cushioning). În practică, lăsați o margine de cel puțin 5–10 cm până la fund sub reperul B.
• Studiul dependenței de temperatură: Este cunoscut faptul că viscozitatea lichidelor scade cu creșterea temperaturii, în timp ce pentru gaze viscozitatea crește cu temperatura (Elmesery 2023). Puteți investiga acest fenomen măsurând viscozitatea aceluiași lichid la diferite temperaturi. De exemplu, glicerină la 20°C vs. 40°C: încălziți ușor vasul (în baie de apă caldă), măsurați temperatura și repetați experimentul. Veți găsi η mai mică la 40°C. Fizic, acest lucru se întâmplă deoarece la lichide, creșterea temperaturii reduce forțele intermoleculare de coeziune, deci straturile de fluid pot aluneca mai ușor (viscozitate mai mică) (Elmesery 2023). (Pentru gaze, opus: creșterea temperaturii mărește agitația termică și frecarea internă, deci viscozitatea gazelor crește cu T (Elmesery 2023).) Puteți reprezenta grafic η(T) și veți observa o scădere aproximativ exponențială pentru lichide – la nivel avansat, viscozitatea lichidelor urmează adesea o lege de forma η(T) = Aexp(B/T) (ecuație Arrhenius-Eyring).
• Extinderea la alte metode de măsurare a viscozității: Pentru studenți, poate fi instructiv să se compare rezultatul metodei bilei care cade cu alte metode de laborator, cum ar fi viscozimetru capilar (Ostwald) sau viscozimetru rotativ (Höppler sau coaxial). Fiecare metodă are principiul său (curgere printr-un tub subțire, respectiv forța necesară pentru a roti un cilindru în fluid) și se pretează la intervale diferite de viscozitate. Metoda cu bila e excelentă pentru viscozități mari (unde viteza de cădere e măsurabilă ușor), pe când pentru lichide foarte fluide (ex: solvenți aproape ca apa) este mai potrivit un viscozimetru capilar sau chiar tehnici moderne (ex: determinarea amortizării oscilațiilor unui disc în fluid).
• Aplicații și legături interdisciplinare: Legea lui Stokes explică fenomene precum dimensiunea picăturilor de ploaie (picăturile mici ating viteze terminale mai mici, de aceea burnița cade încet, pe când stropii mari cad mai repede și pot durea la impact (Elmesery 2023)), sedimentarea particulelor în mediu fluid (de exemplu purificarea apei prin decantare se bazează pe faptul că particulele cu densitate mai mare decât apa cad lent dar sigur, conform legii lui Stokes, în regim laminar), sau stă la baza unor tehnologii precum experimentul picăturii de ulei al lui Millikan (unde forțele vâscoase controlează viteza picăturilor de ulei încărcate electric) (Elmesery 2023). În industrie, viscozitatea fluidelor e crucială (lubrifianții de motor au viscozități mai mari pentru a forma o peliculă protectoare (Elmesery 2023), sângele are o viscozitate ce influențează circulația etc.). Astfel, experimentul acesta, deși simplu, are legături cu fenomene din natură și tehnologie.

Fișă de laborator

Scopul lucrării

Măsurarea coeficientului de viscozitate dinamică $\eta$ al unui lichid vâscos (ex: glicerină) utilizând viteza terminală a unei bile ce cade prin lichid, în regim laminar (utilizând legea lui Stokes).

Teorie rezumată

O bilă (raza r, densitate ρ_s) care cade cu viteză constantă printr-un fluid (densitate ρ_l) este supusă forței gravitaționale în jos (G = 4/3 πr3ρ_sg și a două forțe în sus: forța Arhimede F_A =4/3 πr³ρ_lg) și forța de frecare vâscoasă dată de legea lui Stokes F_v = 6πηrv). La viteza terminală v_t, aceste forțe se echilibrează (G = F_A + F_v), deci:

6πηrv_t = 4/3 πr³ (ρ_s – ρ_l)g.

De unde se deduce formula pentru viscozitate:

η = (2r² (ρ_s – ρ_l)g)/(9v_t)

Astfel, măsurând v_t experimental, putem calcula η. Legea lui Stokes este valabilă pentru curgere laminară (Re mic); se vor folosi bile mici și lichid suficient de vâscos pentru a asigura acest regim.

Materiale necesare

• cilindru gradat (sau tub) cu lichid (ex. glicerină),
• bile metalice mici (de diferite diametre),
• cronometru,
• riglă,
• șubler/micrometru,
• termometru,
• balanță și cilindru gradat (pentru densitate, opțional),
• suport și

Procedură

1. Se măsoară diametrul bilei cu șublerul; se calculează raza r și volumul. Se determină densitatea materialului bilei ρ_s (din masă și volum, sau din tabele). Se determină densitatea lichidului ρ_l (cântărind un volum cunoscut). Se măsoară temperatura lichidului cu termometrul.
2. Se fixează două repere (A și B) pe cilindru, separate printr-o distanță verticală s (ex: 20–30 cm).
3. Se lasă bila să cadă central în cilindru, de la suprafața lichidului. Se cronometrează timpul t în care bila parcurge distanța dintre repere: se pornește cronometrul când bila trece de reperul A și se oprește când trece de B.
4. Se repetă măsurarea de 3-5 ori pentru aceeași bile, apoi pentru bile (sau lichide) diferite.
5. Pentru fiecare set de date, se calculează timpul mediu t^– și viteza terminală v_t = s/t^–. Se calculează η folosind formula de mai sus.
6. Se compară valorile η obținute pentru diferite condiții (de ex. lichide diferite sau aceeași glicerină la două temperaturi diferite – atenție: dacă se studiază dependența de temperatură, asigurați-vă că măsurați temperatura și folosiți aceeași bilă/aceeași distanță pentru comparație).

Date și rezultate

Exemplu de tabel: (completați pentru fiecare probă)

Bila	r (mm)	ρs (kg/m³)	Lichid (T °C)	Ρl (kg/m³)	s (m)	t1 (s)	t2 (s)	t3 (s)	t– (s)	vt (m/s)	η (Pa·s)
ex. Bilă de oțel	2.0	7800	Glicerină (20°C)	1260	0.25	3.50	3.60	3.55	3.55	0.0704	0.93
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Analiza și prelucrarea datelor

Calculați viscozitatea η pentru fiecare probă. Comparați valoarea obținută cu valoarea de referință (dacă există, ex. viscozitatea cunoscută a fluidului). Calculați procentual abaterea. Dacă ați folosit bile de diferite dimensiuni în același fluid, verificați relația v_t ∝ r² – puteți face un grafic v_t în funcție de r². O abatere sistematică de la linearitate poate indica erori experimentale sau ieșirea din regim laminar la bilele mari.

Concluzii

Formula lui Stokes a permis determinarea cu succes a viscozității fluidului. Experimentul evidențiază existența unei viteze limită (terminală) în căderea prin fluid, datorită echilibrului forțelor de greutate, flotabilitate și frecare vâscoasă. Factorii critici în acuratețea experimentului au fost măsurarea precisă a timpului și asigurarea regimului laminar. S-a observat, de asemenea, influența temperaturii: viscozitatea glicerinei a scăzut semnificativ la temperatură mai ridicată (fluidul a devenit mai ușor de agitat, deci bilele au căzut mai repede) (Elmesery 2023).

Întrebări pentru discuție:

1. De ce este important ca lichidul folosit să fie limpede și transparent? – Pentru a putea observa bila și măsura corect timpii; un lichid opac ar face dificilă determinarea momentului în care bila trece de repere.
2. Cum variază viscozitatea unui lichid odată cu temperatura? Dar a unui gaz? – În general, viscozitatea lichidelor scade când crește temperatura, pe când la gaze viscozitatea crește cu temperatura (Elmesery 2023).
3. Explicați de ce picăturile mici de ploaie (burnița) cad mai încet decât picăturile mari. – Pentru că viteza lor terminală este mai mică; conform legii lui Stokes v_t ∝ r², o picătură cu raza de 2 ori mai mică are o viteză terminală de 4 ori mai mică, deci picăturile mici „plutesc” mai mult timp în aer(Singh 2019).
4. Dacă am folosi o bilă de plastic (densitate mai mică decât a apei) într-un vas cu apă, în ce direcție ar fi viteza terminală? – Bila de plastic ar urca la suprafață (pentru că ρ_s < ρ_l); relația v_t = 2r²(ρ_s − ρ_l)g/9η, ar da un v_t negativ, adică în sus (Wikipedia 2025).
5. Numiți două aplicații practice sau din natură unde apare legea lui Stokes. – Sedimentarea particulelor (în laborator, viscozimetre cu bilă, decantarea apei), experimentul lui Millikan (determinarea sarcinii electronului folosind picături de ulei în aer) (Elmesery 2023), proiectarea parașutelor (viteza terminală a parașutiștilor), determinarea mărimii moleculelor în soluție (metoda sedimentării în ultracentrifugă) etc.

Precauții și erori posibile

Fluidul trebuie să fie omogen și fără impurități/particule de praf (care ar putea afecta căderea bilei). Bila trebuie manipulată cu grijă (să nu aibă reziduuri de grăsime sau aer lipit). Cronometrul trebuie acționat prompt; eroarea de reacție umană poate fi de ~ 0,1 s sau mai mult – de aceea, măsurători repetate și medierea datelor ajută. Dacă se observă turbulență (dâre vizibile în lichid sau oscilații ale bilei), probabil condițiile experimentale nu satisfac regimul Stokes – schimbați bila sau lichidul. Asigurați-vă că temperatura rămâne aproximativ constantă pe durata experimentului (dacă lichidul se încălzește/răcește, viscozitatea se schimbă și introduce erori).

Bibliografie

• Byjus. 2025. „Coefficient of Viscosity”. BYJUS. https://byjus.com/physics/to-determine-the-coefficient-of-viscosity-of-given-viscous-liquid-by-measuring-terminal-velocity-of-given-spherical-body/.
• Elmesery, Muhamed. 2023. Determine the Coefficient of Viscosity Using Stoke’s Method. Virtual Learning Articles. august 29. https://praxilabs.com/en/blog/2023/08/29/coefficient-of-viscosity-using-stokes-method/.
• Singh, Jitender. 2019. „Stokes Law and Terminal Velocity (Formula, Solved Problems)”. https://www.concepts-of-physics.com/mechanics/stokes-law-and-terminal-velocity.php.
• teachengineering. 2016. „Measuring Viscosity – Activity”. TeachEngineering.Org. https://www.teachengineering.org/activities/view/cub_surg_lesson03_activity1.
• Wikipedia. 2025. „Stokes’ Law”. În Wikipedia. aprilie 28. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Stokes%27_law&oldid=1287866591.

PDF: https://www.telework.ro/ro/e-books/viscozitate-si-legea-lui-stokes/