În secțiunea precedentă, am definit variabilele de rotație ale deplasării unghiulare, vitezei unghiulare și accelerației unghiulare. În această secțiune, lucrăm cu aceste definiții pentru a deriva relații între aceste variabile și pentru a folosi aceste relații pentru a analiza mișcarea de rotație pentru un corp rigid în jurul unei axe fixe sub o accelerație unghiulară constantă. Această analiză formează baza cinematicii rotaționale. Dacă accelerația unghiulară este constantă, ecuațiile cinematicii rotaționale se simplifică, similar cu ecuațiile cinematicii liniare discutate în Mișcarea de-a lungul unei drepte și Mișcarea în două și trei dimensiuni. Apoi putem folosi acest set simplificat de ecuații pentru a descrie multe aplicații în fizică și inginerie în care accelerația unghiulară a sistemului este constantă. Cinematica rotațională este, de asemenea, o condiție prealabilă pentru discuția despre dinamica rotațională mai târziu în acest capitol.
Cinematica mișcării de rotație
Folosind intuiția noastră, putem începe să vedem cum mărimile de rotație θ, ω, α și t sunt legate între ele. De exemplu, am văzut în secțiunea anterioară că, dacă un volant are o accelerație unghiulară în aceeași direcție cu vectorul viteză unghiulară, viteza sa unghiulară crește cu timpul și deplasarea sa unghiulară crește, de asemenea. Dimpotrivă, dacă accelerația unghiulară este opusă vectorului viteză unghiulară, viteza sa unghiulară scade cu timpul. Putem descrie aceste situații fizice și multe altele cu un set consistent de ecuații cinematice rotaționale sub o accelerație unghiulară constantă. Metoda de investigare a mișcării de rotație în acest fel se numește cinematica mișcării de rotație.
Pentru început, observăm că, dacă sistemul se rotește sub o accelerație constantă, atunci viteza unghiulară medie urmează o relație simplă deoarece viteza unghiulară crește liniar cu timpul. Viteza unghiulară medie este doar jumătate din suma valorilor inițiale și finale:
(10.9) ω– = (ω0 + ωf)/2. |
Din definiția vitezei unghiulare medii, putem găsi o ecuație care relaționează poziția unghiulară, viteza unghiulară medie și timpul:
ω– = Δθ/Δt.
Rezolvând pentru θ, avem
(10.10) θf = θ0 + ω–t, |
unde am setat t0 = 0. Această ecuație poate fi foarte utilă dacă cunoaștem viteza unghiulară medie a sistemului. Apoi am putea găsi deplasarea unghiulară pe o anumită perioadă de timp. În continuare, găsim o ecuație care raportează ω, α și t. Pentru a determina această ecuație, începem cu definiția accelerației unghiulare:
α = dω/dt.
Rearanjam acest lucru pentru a obține αdt = dω și apoi integrăm ambele părți ale acestei ecuații de la valorile inițiale la valorile finale, adică de la t0 la t și de la ω0 la ωf. În mișcarea uniformă de rotație, accelerația unghiulară este constantă, astfel încât poate fi scoasă din integrală, rezultând două integrale definite:
α∫t0tdt′ = ∫ω0ωfdω.
Setând t0 = 0, avem
αt = ωf − ω0.
Rearanjăm acest lucru pentru a obține
(10.11) ωf = ω0 + αt, |
unde ω0 este viteza unghiulară inițială. Ecuația 10.11 este omologul de rotație al ecuației cinematice liniare vf = v0 + at. Cu ecuația 10.11, putem găsi viteza unghiulară a unui obiect la orice moment specificat t având în vedere viteza unghiulară inițială și accelerația unghiulară.
Să facem acum un tratament similar începând cu ecuația ω = dθ/dt. O rearanjam pentru a obține ωdt = dθ și integrăm din nou ambele părți de la valorile inițiale la cele finale, observând că accelerația unghiulară este constantă și nu are o dependență de timp. Cu toate acestea, de data aceasta, viteza unghiulară nu este constantă (în general), așa că înlocuim ceea ce am derivat mai sus:
∫t0tf(ω0 + αt′)dt′ = ∫θ0θfdθ;
∫t0tω0dt + ∫t0tαt′dt′ = ∫θ0θfdθ = [ω0t′ + α((t′)2/2)]tt0 = ω0t + α(t2/2) = α(t2/2) ,
unde am setat t0 = 0. Acum rearanjăm pentru a obține
(10.12) θf = θ0 + ω0t + ½ αt2. |
Ecuația 10.12 este omologul de rotație la ecuația cinematică liniară găsită în Mișcarea de-a lungul unei linii drepte pentru poziție în funcție de timp. Această ecuație ne oferă poziția unghiulară a unui corp rigid în rotație în orice moment t având în vedere condițiile inițiale (poziția unghiulară inițială și viteza unghiulară inițială) și accelerația unghiulară.
Putem găsi o ecuație care este independentă de timp rezolvând pentru t în ecuația 10.11 și înlocuind în ecuația 10.12. Ecuația 10.12 devine
θf = θ0 + ω0(ωf − ω0α) + ½ α((ωf − ω0)/α)2
= θ0 + ω0ωf/α − ω20/α + ½ ω2f/α − ω0ωf/α + ½ ω20/α
= θ0 + ½ ω2f/α – ½ ω20/α,
θf − θ0 = (ωf2 − ω02)/2α
sau
(10.13) ω2f = ω20 + 2α(Δθ). |
Ecuația 10.10 până la ecuația 10.13 descriu rotația pe axă fixă pentru accelerație constantă și sunt rezumate în Tabelul 10.1.
Deplasarea unghiulară din viteza unghiulară medie | θf = θ0 + ω – t |
Viteza unghiulară din accelerația unghiulară | ωf = ω0 + αt |
Deplasarea unghiulară din viteza unghiulară și accelerația unghiulară | θf = θ0 + ω0t + 12αt2 |
Viteza unghiulară din deplasarea unghiulară și accelerația unghiulară | ω2f = ω02 + 2α(Δθ) |
Tabelul 10.1 Ecuații cinematice
Aplicarea ecuațiilor pentru mișcarea de rotație
Acum putem aplica relațiile cinematice cheie pentru mișcarea de rotație la câteva exemple simple pentru a înțelege cum pot fi aplicate ecuațiile în situațiile de zi cu zi.
EXEMPLUL 10.5
Calcularea duratei când mulineta de pescuit încetinește și se oprește Acum pescarul aplică o frână mulinetei care se rotește, realizând o accelerație unghiulară de -300rad/s2. Cât timp durează tamburul până să se oprească? Strategie Ni se cere să găsim timpul t pentru ca tamburul să se oprească. Condițiile inițiale și finale sunt diferite de cele din problema anterioară, care implica aceeași mulinetă de pescuit. Acum vedem că viteza unghiulară inițială este ω0 = 220 rad/s, iar viteza unghiulară finală ω este zero. Accelerația unghiulară este dată ca α = −300 rad/s2. Examinând ecuațiile disponibile, vedem toate mărimile, dar t este cunoscut în ωf = ω0 + αt, ceea ce face mai ușor de utilizat această ecuație. Soluție Ecuația afirmă ωf = ω0 + αt. Rezolvăm ecuația algebric pentru t și apoi înlocuim valorile cunoscute ca de obicei, obținând t = (ωf − ω0)/α = (0 – 220,0 rad/s)/(−300,0 rad/s2) = 0,733 s. Semnificație Rețineți că trebuie avut grijă cu semnele care indică direcțiile diferitelor cantități. De asemenea, rețineți că timpul de oprire a tamburului este destul de mic, deoarece accelerația este destul de mare. Uneori, firele de pescuit se rup din cauza accelerațiilor implicate, iar pescarii lasă adesea peștii să înoate o perioadă mai mare înainte de a aplica frânele pe mulinetă. Un pește obosit este mai lent, necesitând o accelerație mai mică. |
EXERCIȚIUL 10.2
O centrifugă utilizată în extracția ADN-ului se rotește cu o viteză maximă de 7000 rpm, producând o „forță g” pe eșantion care este de 6000 de ori forța gravitației. Dacă centrifuga are nevoie de 10 secunde pentru a se opri de la viteza maximă de centrifugare: (a) Care este accelerația unghiulară a centrifugei? (b) Care este deplasarea unghiulară a centrifugei în acest timp? |
Răspuns
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu
© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Lasă un răspuns