Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Mecanica » Rotație cu accelerație unghiulară constantă

Rotație cu accelerație unghiulară constantă

postat în: Mecanica 0

În secțiunea precedentă, am definit variabilele de rotație ale deplasării unghiulare, vitezei unghiulare și accelerației unghiulare. În această secțiune, lucrăm cu aceste definiții pentru a deriva relații între aceste variabile și pentru a folosi aceste relații pentru a analiza mișcarea de rotație pentru un corp rigid în jurul unei axe fixe sub o accelerație unghiulară constantă. Această analiză formează baza cinematicii rotaționale. Dacă accelerația unghiulară este constantă, ecuațiile cinematicii rotaționale se simplifică, similar cu ecuațiile cinematicii liniare discutate în Mișcarea de-a lungul unei drepte și Mișcarea în două și trei dimensiuni. Apoi putem folosi acest set simplificat de ecuații pentru a descrie multe aplicații în fizică și inginerie în care accelerația unghiulară a sistemului este constantă. Cinematica rotațională este, de asemenea, o condiție prealabilă pentru discuția despre dinamica rotațională mai târziu în acest capitol.

Cinematica mișcării de rotație

Folosind intuiția noastră, putem începe să vedem cum mărimile de rotație θ, ω, α și t sunt legate între ele. De exemplu, am văzut în secțiunea anterioară că, dacă un volant are o accelerație unghiulară în aceeași direcție cu vectorul viteză unghiulară, viteza sa unghiulară crește cu timpul și deplasarea sa unghiulară crește, de asemenea. Dimpotrivă, dacă accelerația unghiulară este opusă vectorului viteză unghiulară, viteza sa unghiulară scade cu timpul. Putem descrie aceste situații fizice și multe altele cu un set consistent de ecuații cinematice rotaționale sub o accelerație unghiulară constantă. Metoda de investigare a mișcării de rotație în acest fel se numește cinematica mișcării de rotație.

Pentru început, observăm că, dacă sistemul se rotește sub o accelerație constantă, atunci viteza unghiulară medie urmează o relație simplă deoarece viteza unghiulară crește liniar cu timpul. Viteza unghiulară medie este doar jumătate din suma valorilor inițiale și finale:

(10.9)  ω = (ω0 + ωf)/2.

 

Din definiția vitezei unghiulare medii, putem găsi o ecuație care relaționează poziția unghiulară, viteza unghiulară medie și timpul:

ω = Δθ/Δt.

Rezolvând pentru θ, avem

(10.10)   θf = θ0 + ωt,

 

unde am setat t0 = 0. Această ecuație poate fi foarte utilă dacă cunoaștem viteza unghiulară medie a sistemului. Apoi am putea găsi deplasarea unghiulară pe o anumită perioadă de timp. În continuare, găsim o ecuație care raportează ω, α și t. Pentru a determina această ecuație, începem cu definiția accelerației unghiulare:

α = dω/dt.

Rearanjam acest lucru pentru a obține αdt = dω și apoi integrăm ambele părți ale acestei ecuații de la valorile inițiale la valorile finale, adică de la t0 la t și de la ω0 la ωf. În mișcarea uniformă de rotație, accelerația unghiulară este constantă, astfel încât poate fi scoasă din integrală, rezultând două integrale definite:

α∫t0tdt′ = ∫ω0ωfdω.

Setând t0 = 0, avem

αt = ωf − ω0.

Rearanjăm acest lucru pentru a obține

(10.11)   ωf = ω0 + αt,

 

unde ω0 este viteza unghiulară inițială. Ecuația 10.11 este omologul de rotație al ecuației cinematice liniare vf = v0 + at. Cu ecuația 10.11, putem găsi viteza unghiulară a unui obiect la orice moment specificat t având în vedere viteza unghiulară inițială și accelerația unghiulară.

Să facem acum un tratament similar începând cu ecuația ω = dθ/dt. O rearanjam pentru a obține ωdt = dθ și integrăm din nou ambele părți de la valorile inițiale la cele finale, observând că accelerația unghiulară este constantă și nu are o dependență de timp. Cu toate acestea, de data aceasta, viteza unghiulară nu este constantă (în general), așa că înlocuim ceea ce am derivat mai sus:

t0tf0 + αt′)dt′ = ∫θ0θfdθ;

t0tω0dt + ∫t0tαt′dt′ = ∫θ0θfdθ = [ω0t′ + α((t′)2/2)]tt0 = ω0t + α(t2/2) = α(t2/2) ,

unde am setat t0 = 0. Acum rearanjăm pentru a obține

(10.12)   θf = θ0 + ω0t + ½ αt2.

 

Ecuația 10.12 este omologul de rotație la ecuația cinematică liniară găsită în Mișcarea de-a lungul unei linii drepte pentru poziție în funcție de timp. Această ecuație ne oferă poziția unghiulară a unui corp rigid în rotație în orice moment t având în vedere condițiile inițiale (poziția unghiulară inițială și viteza unghiulară inițială) și accelerația unghiulară.

Putem găsi o ecuație care este independentă de timp rezolvând pentru t în ecuația 10.11 și înlocuind în ecuația 10.12. Ecuația 10.12 devine

θf = θ0 + ω0f − ω0α) + ½ α((ωf − ω0)/α)2

= θ0 + ω0ωf/α − ω20/α + ½ ω2f/α − ω0ωf/α + ½ ω20

= θ0 + ½ ω2f/α – ½ ω20/α,

θf − θ0 = (ωf2 − ω02)/2α

sau

(10.13)   ω2f = ω20 + 2α(Δθ).

 

Ecuația 10.10 până la ecuația 10.13 descriu rotația pe axă fixă pentru accelerație constantă și sunt rezumate în Tabelul 10.1.

Deplasarea unghiulară din viteza unghiulară medie θf = θ0 + ωt
Viteza unghiulară din accelerația unghiulară ωf = ω0 + αt
Deplasarea unghiulară din viteza unghiulară și accelerația unghiulară θf = θ0 + ω0t + 12αt2
Viteza unghiulară din deplasarea unghiulară și accelerația unghiulară ω2f = ω02 + 2αθ)

Tabelul 10.1 Ecuații cinematice

Aplicarea ecuațiilor pentru mișcarea de rotație

Acum putem aplica relațiile cinematice cheie pentru mișcarea de rotație la câteva exemple simple pentru a înțelege cum pot fi aplicate ecuațiile în situațiile de zi cu zi.

EXEMPLUL 10.4

Calcularea accelerației unei mulinete de pescuit

Un pescar de adâncime a agățat un pește mare care înoată departe de barcă, trăgând firul de pescuit cu mulineta. Întregul sistem este inițial în repaus, iar firul de pescuit se desfășoară din mulinetă pe o rază de 4,50 cm față de axa sa de rotație. Bobina primește o accelerație unghiulară de 110 rad/s2 timp de 2,00 s (Figura 10.11).

(a) Care este viteza unghiulară finală a bobinei după 2 s?

(b) Câte rotații (revoluții) face bobina?

Figura 10.11 Firul de pescuit care iese dintr-o mulinetă rotativă se mișcă liniar.

Strategie

Identificați datele cunoscute și comparați cu ecuațiile cinematice pentru accelerație constantă. Căutați ecuația potrivită care poate fi rezolvată pentru datele necunoscute, folosind cunoștințele date în descrierea problemei.

Soluție

a. Ni se dă α și t și dorim să determinăm ω. Cea mai simplă ecuație de utilizat este ωf = ω0 + αt, deoarece toți termenii sunt cunoscuți în afară de variabila necunoscută pe care o căutăm. Se dă că ω0 = 0 (se începe din repaus), deci

ωf = 0 + (110 rad/s2)(2,00 s) = 220 rad/s.

b. Ni se cere să aflăm numărul de turații. Deoarece 1 rev = 2π rad, putem găsi numărul de rotații găsind θ în radiani. Ni se dau α și t și știm că ω0 este zero, deci putem obține θ folosind

θf = θi + ωit + ½ αt2

= 0 + 0 + (0,500)(110 rad/s2)(2,00 s)2 = 220 rad.

Conversia radianilor în turații dă

Număr de turații=(220 rad)1 rev/2π rad = 35,0 rev.

Semnificație

Acest exemplu ilustrează faptul că relațiile dintre cantitățile de rotație sunt foarte analoge cu cele dintre cantitățile liniare. Răspunsurile la întrebări sunt realiste. După ce s-a desfășurat timp de două secunde, bobina se învârte la 220 rad/s, adică 2100 rpm. (Nu e de mirare că bobinele scot uneori sunete înalte.)

În exemplul precedent, am considerat o mulinetă de pescuit cu o accelerație unghiulară pozitivă. Acum să luăm în considerare ce se întâmplă cu o accelerație unghiulară negativă.

 

EXEMPLUL 10.5

Calcularea duratei când mulineta de pescuit încetinește și se oprește

Acum pescarul aplică o frână mulinetei care se rotește, realizând o accelerație unghiulară de -300rad/s2. Cât timp durează tamburul până să se oprească?

Strategie

Ni se cere să găsim timpul t pentru ca tamburul să se oprească. Condițiile inițiale și finale sunt diferite de cele din problema anterioară, care implica aceeași mulinetă de pescuit. Acum vedem că viteza unghiulară inițială este ω0 = 220 rad/s, iar viteza unghiulară finală ω este zero. Accelerația unghiulară este dată ca α = −300 rad/s2. Examinând ecuațiile disponibile, vedem toate mărimile, dar t este cunoscut în ωf = ω0 + αt, ceea ce face mai ușor de utilizat această ecuație.

Soluție

Ecuația afirmă

ωf = ω0 + αt.

Rezolvăm ecuația algebric pentru t și apoi înlocuim valorile cunoscute ca de obicei, obținând

t = (ωf − ω0)/α = (0 – 220,0 rad/s)/(−300,0 rad/s2) = 0,733 s.

Semnificație

Rețineți că trebuie avut grijă cu semnele care indică direcțiile diferitelor cantități. De asemenea, rețineți că timpul de oprire a tamburului este destul de mic, deoarece accelerația este destul de mare. Uneori, firele de pescuit se rup din cauza accelerațiilor implicate, iar pescarii lasă adesea peștii să înoate o perioadă mai mare înainte de a aplica frânele pe mulinetă. Un pește obosit este mai lent, necesitând o accelerație mai mică.

 

EXERCIȚIUL 10.2

O centrifugă utilizată în extracția ADN-ului se rotește cu o viteză maximă de 7000 rpm, producând o „forță g” pe eșantion care este de 6000 de ori forța gravitației. Dacă centrifuga are nevoie de 10 secunde pentru a se opri de la viteza maximă de centrifugare: (a) Care este accelerația unghiulară a centrifugei? (b) Care este deplasarea unghiulară a centrifugei în acest timp?

 

EXEMPLUL 10.6

Accelerația unghiulară a unei elice

Figura 10.12 prezintă un grafic al vitezei unghiulare a unei elice pe o aeronavă în funcție de timp. Viteza sa unghiulară începe de la 30 rad/s și scade liniar la 0 rad/s pe parcursul a 5 secunde. (a) Aflați accelerația unghiulară a obiectului și verificați rezultatul folosind ecuațiile cinematice. (b) Găsiți unghiul cu care se rotește elicea în aceste 5 secunde și verificați rezultatul utilizând ecuațiile cinematice.

Figura 10.12 Un grafic al vitezei unghiulare a unei elice în funcție de timp.

Strategie

a. Deoarece viteza unghiulară variază liniar în timp, știm că accelerația unghiulară este constantă și nu depinde de variabila timp. Accelerația unghiulară este panta graficului viteză unghiulară în funcție de timp, α = dω/dt. Pentru a calcula panta, citim direct din Figura 10.12 și vedem că ω0=30rad/s la t=0s și ωf=0rad/s la t=5s. Apoi, putem verifica rezultatul folosind ω=ω0+αt.

b. Folosim ecuația ω=dθdt; întrucât derivata în timp a unghiului este viteza unghiulară, putem găsi deplasarea unghiulară prin integrarea vitezei unghiulare, ceea ce din figură înseamnă luarea în considerare a ariei de sub graficul vitezei unghiulare. Cu alte cuvinte:

θ0θfdθ = θf − θ0 = ∫t0tfω(t)dt.

Apoi folosim ecuațiile cinematice pentru accelerație constantă pentru a verifica rezultatul.

Soluție

a. Calculând panta, obținem

α = (ω − ω0)/(t − t0) = (0 − 30,0)rad/s/(5,0 − 0)s = −6,0 rad/s2.

Vedem că aceasta este exact ecuația 10.11 cu o mică rearanjare a termenilor.

b. Putem găsi aria de sub curbă calculând aria triunghiului dreptunghic, așa cum se arată în Figura 10.13.

Figura 10.13 Aria de sub curbă este aria triunghiului dreptunghic.

Δθ = aria(triunghi);

Δθ = ½ (30 rad/s)(5s) = 75 rad.

Verificăm soluția folosind ecuația 10.12:

θf = θ0 + ω0t + ½ αt2.

Setând θ0 = 0, avem

θf = (30,0 rad/s)(5,0 s) + ½ (−6,0rad/s2)(5,0rad/s)2 = 150,0 − 75,0 = 75,0 rad.

Aceasta verifică soluția găsită din găsirea ariei de sub curbă.

Semnificație

Vedem din partea (b) că există abordări alternative pentru analiza rotației pe axă fixă cu accelerație constantă. Am început cu o abordare grafică și am verificat soluția folosind ecuațiile cinematice rotaționale. Deoarece α = dω/dt, am putea face aceeași analiză grafică pe o curbă accelerație unghiulară-vs.-timp. Aria de sub o curbă α-vs.-t ne oferă modificarea vitezei unghiulare. Deoarece accelerația unghiulară este constantă în această secțiune, acesta este un exercițiu simplu.

Răspuns

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4,99 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.

%d blogeri au apreciat: