Accelerația instantanee a, sau accelerația la un anumit moment de timp, se obține folosind același proces discutat pentru viteza instantanee. Adică, calculăm accelerația medie între două puncte de timp separate de Δt și lăsăm Δt să se apropie de zero. Rezultatul este derivata funcției de viteză v(t), care este accelerația instantanee și este exprimată matematic ca
| (3.9) a(t) = dv(t)/dt. |
Astfel, la fel cum viteza este derivata funcției de poziție, accelerația instantanee este derivata funcției de viteză. Putem arăta acest lucru grafic în același mod ca viteza instantanee. În figura 3.14, accelerația instantanee la momentul t0 este panta dreptei tangente la graficul viteză în funcție de timp la momentul t0. Vedem că accelerația medie a– = Δv/Δt se apropie de accelerația instantanee pe măsură ce Δt se apropie de zero. De asemenea, în partea (a) a figurii, vedem că viteza are un maxim atunci când panta ei este zero. Acest timp corespunde cu zero al funcției de accelerație. În partea (b), este afișată accelerația instantanee la viteza minimă, care este, de asemenea, zero, deoarece panta curbei este zero și acolo. Astfel, pentru o funcție de viteză dată, zerourile funcției de accelerație dau fie viteza minimă, fie viteza maximă.
Figura 3.14 Într-un grafic al vitezei în funcție de timp, accelerația instantanee este panta dreptei tangente. (a) Se arată accelerația medie a– = Δv/Δt = (vf – vi)/(tf − ti) între timpii Δt = t6 − t1, Δt = t5 − t2 și Δt = t4 − t3. Când Δt→0, accelerația medie se apropie de accelerația instantanee la momentul t0. În vederea (a), accelerația instantanee este afișată pentru punctul de pe curba vitezei la viteza maximă. În acest moment, accelerația instantanee este panta dreptei tangente, care este zero. În orice alt moment, panta dreptei tangente – și, prin urmare, accelerația instantanee – nu ar fi zero. (b) Același ca (a) dar prezentat pentru accelerația instantanee la viteza minimă.
Pentru a ilustra acest concept, să ne uităm la două exemple. În primul rând, este prezentat un exemplu simplu utilizând Figura 3.9(b), graficul viteză în funcție de timp din Exemplul 3.4, pentru a găsi accelerația grafic. Acest grafic este reprezentat în Figura 3.15(a), care este o linie dreaptă. Graficul corespunzător al accelerației în funcție de timp se găsește din panta vitezei și este prezentat în Figura 3.15(b). În acest exemplu, funcția viteză este o linie dreaptă cu o pantă constantă, prin urmare accelerația este o constantă. În exemplul următor, funcția de viteză are o dependență funcțională mai complicată de timp.
Figura 3.15 (a, b) Graficul viteză în funcție de timp este liniar și are o pantă constantă negativă (a) care este egală cu accelerația, prezentată în (b).
Dacă cunoaștem forma funcțională a vitezei, v(t), putem calcula accelerația instantanee a(t) în orice moment al mișcării folosind ecuația 3.9.
| EXEMPLUL 3.6
Calcularea accelerației instantanee O particulă este în mișcare și accelerează. Forma funcțională a vitezei este v(t) = (20 m/s)t – (5 m/s2)t2. a. Găsiți forma funcțională a accelerației. b. Aflați viteza instantanee la t = 1, 2, 3 și 5 s. c. Aflați accelerația instantanee la t = 1, 2, 3 și 5 s. d. Interpretați rezultatele de la (c) în termeni de direcții ale vectorilor accelerație și viteză. Strategie Găsim forma funcțională a accelerației luând derivata funcției viteză. Apoi, calculăm valorile vitezei instantanee și ale accelerației din funcțiile date pentru fiecare. Pentru partea (d), trebuie să comparăm direcțiile vitezei și ale accelerației de fiecare dată. Soluție a. a(t) = dv(t)/dt = (20 m/s2) – (10 m/s3)t b. v(1s) = 15 m/s, v(2s) = 20 m/s, v(3s) = 15 m/s, v(5s) = −25 m/s c. a(1s) = 10 m/s2, a(2s) = 0 m/s2, a(3s) = −10 m/s2, a(5s) = −30 m/s2 d. La t = 1 s, viteza v(1s) = 15m/s este pozitivă, iar accelerația este pozitivă, deci atât viteza, cât și accelerația sunt în aceeași direcție. Particula se mișcă mai repede. La t = 2 s, viteza a crescut la v(2s) = 20 m/s, unde este maximă, ceea ce corespunde timpului în care accelerația este zero. Vedem că viteza maximă apare atunci când panta funcției de viteză este zero, care este doar zero al funcției de accelerație. La t = 3 s, viteza este v(3s) = 15 m/s iar accelerația este negativă. Particula și-a redus viteza și vectorul de accelerație este negativ. Particula încetinește. La t = 5 s, viteza este v(5s) = −25 m/s iar accelerația este din ce în ce mai negativă. Între momentele t = 3 s și t = 5 s, particula și-a scăzut viteza la zero și apoi a devenit negativă, inversându-și astfel direcția. Particula se accelerează din nou, dar în direcția opusă. Aceste rezultate le putem vedea grafic în Figura 3.16.
Semnificație Făcând atât o analiză numerică, cât și o analiză grafică a vitezei și accelerației particulei, putem afla multe despre mișcarea acesteia. Analiza numerică completează analiza grafică oferind o vedere totală a mișcării. Zero al funcției de accelerație corespunde maximului vitezei din acest exemplu. De asemenea, în acest exemplu, atunci când accelerația este pozitivă și în aceeași direcție cu viteza, viteza crește. Pe măsură ce accelerația tinde spre zero, devenind în cele din urmă negativă, viteza atinge un maxim, după care începe să scadă. Dacă așteptăm suficient, viteza devine și ea negativă, indicând o inversare a direcției. Un exemplu real al acestui tip de mișcare este o mașină cu o viteză care crește la un maxim, după care începe să încetinească, se oprește, apoi își inversează direcția. |
| EXERCIȚIUL 3.4
Un avion aterizează pe o pistă circulând spre est. Descrieți accelerația acestuia. |
Răspuns:
Dacă considerăm că estul este pozitiv, atunci avionul are o accelerație negativă, deoarece accelerează spre vest. Este, de asemenea, accelerație opusă mișcării; accelerația sa este opusă în direcție vitezei sale.
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.
Mecanica fenomenologică
O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.
Lasă un răspuns