Defectele non-locale ale spațiu-timpului în teoria relativității și gravitația cuantică

Dacă spațiu-timpul este sau nu fundamental discret, este o chestiune de importanță centrală pentru dezvoltarea teoriei. Dar această discrepanță se face de obicei vizibilă la lungimea Planck, ceea ce este dificil, dacă nu imposibil de accesat experimental. Astfel, în loc să căutăm dovezi directe pentru discretitatea la scară Planck, aici propunem să căutăm imperfecțiuni în această discreție. Astfel de imperfecțiuni în spațiu-timp vor determina deviații de la relativitatea generală, deoarece relativitatea generală se bazează pe ipoteza că spațiu-timpul este o varietate topologică și local neted și diferențiat. Deoarece relativitatea generală este o teorie extrem de bine testată, chiar și cele mai mici deviații pot deveni vizibile, făcând defectele spațiu-timp o consecință fenomenologică promițătoare de căutat. Căutarea de defecte spațiu-timp ca dovadă a prezenței unei geometrii discrete este asemănătoare cu căutarea unor urme de mizerie ca dovadă a prezenței unei ferestre.

Că astfel de defecte ar trebui să existe este o așteptare independentă de model pentru toate abordările gravitației cuantice în care geometria are o structură fundamentală discretă. Dar prevalența, distribuția și proprietățile defectelor vor depinde de detaliile teoriei fundamentale de bază. În acest fel, modelul fenomenologic poate reduce diferența dintre teorie și experiment. În cele ce urmează, ne vom strădui să parametrizăm consecințele defectelor spațiu-timp, astfel încât să se poată face legătura cu teoria de bază dacă parametrii relevanți pot fi extrași. Defectele considerate aici sunt efecte gravitaționale cuantice în sensul că ele sunt relicve ale structurii discrete subiacente.

Spre deosebire de defectele în sistemele de materie condensată, ale căror analogii au fost de asemenea luate în considerare pentru relativitatea generală [6], defectele spațiu-timp nu sunt localizate numai în spațiu, ci și în timp. Ele nu au liniile de univers, ci sunt evenimente spațio-temporale. Defectele spațiu-timp pot veni în două versiuni diferite, defecte locale și defecte nonlocale. Cazul general ar fi un hibrid al ambelor, dar tratarea acestor două tipuri separat este utilă pentru dezvoltarea teoriei. Vom discuta mai întâi defectele nonlocale.

Unul dintre motivele pentru care ne așteptăm ca gravitația cuantică să impună nonlocalitatea este că noțiunea de lungime Planck ca lungime minimă implică faptul că este lipsită de sens să distingem punctele de sub această distanță – aceste puncte nu sunt locale (sau nu puncte, în funcție de perspectiva dvs.) . Dar, în plus, în ultimele decenii, a devenit din ce în ce mai clar că o rezolvare a problemei pierderii informației privind gaura neagră necesită un tip de nonlocalitate [7]. Între timp, o linie de investigație complet diferită a condus la concluzia că necesitatea energiei Planck de a fi o componentă independentă de observator a unui cuadri-impuls necesită renunțarea la o localitate absolută. În schimb, ar trebui să se stabilească o cerință locală mai slabă, care a fost numită „localitate relativă” [8].

În timp ce nonlocalitatea la scară Planck a primit o atenție destul de mare, de exemplu, în modelele bine studiate pentru teoria câmpului cuantic cu o lungime minimă [9], aici ne vom concentra pe o caracteristică a cărei fenomenologie a primit până acum foarte puțină atenție: nonlocalitatea macroscopică, unde macroscopic înseamnă mult mai mare decât lungimea Planck.

Nonlocalitatea macroscopică se poate aștepta să apară în abordarea gravitației cuantice, în care spațiu-timpul este doar o aproximare bună a unei varietăți netede, dar în mod fundamental o rețea (graf) constând din noduri și legături care pot purta sarcini suplimentare sau grade de libertate. Motivul este că apariția unei varietăți din rețea nu va fi perfectă, dar va avea defecte. Și din moment ce noțiunea noastră de distanță macroscopică apare numai cu spațiu-timp și cu măsura pe care o definim în ea, nu există niciun motiv pentru care aceste defecte ar trebui să respecte localitatea macroscopică emergentă.

Acest lucru a fost demonstrat explicit de către Markopoulou și Smolin în [10] în cazul rețelelor de spin. Argumentul acestora poate fi rezumat în cele ce urmează.

Stările din rețeaua de spin descriu felii spațiale de spațiu și se schimbă în timp printr-un set de mișcări de evoluție permise, care sunt locale în funcție de localitatea rețelei. Anumite stări de rețea de spin, numite „stări de țesut”, se potrivesc cu o precizie bună (până la corecțiile scalei Planck), care variază încet, în funcție de mediile clasice. Structura nodurilor și a legăturilor rețelei conține informații despre zonă și volume și, prin urmare, geometria pe care o descrie în mod fundamental rețeaua. Se poate arăta apoi că este posibil să se acționeze cu un număr mare de mișcări de evoluție locală pe o stare fără legături nelocale și prin aceasta să se creeze o stare care conține legături macroscopice nonlocale. Acest lucru este posibil fără a schimba starea clasică pe care o aproximează; astfel încât existența aproximării clasice nu poate fi folosită exclusiv pentru a exclude aceste legături nelocale.

O legătură nonlocală este, intuitiv, o legătură în rețea care nu respectă localitatea macroscopică emergentă. Mai strict, poate fi identificată prin numărul de noduri din cea mai scurtă buclă închisă din care face parte. Pentru legătura nonlocală, acestea vor fi un număr mare de noduri, în timp ce toate legăturile locale au un număr mic de noduri (în funcție de valența rețelei). Vezi figura 1 pentru ilustrare.

În exemplul lui Markopoulou și Smolin, stările cu legături nelocale sunt totuși soluții admise și, prin urmare, perioade spațiu-timp semiclasice valabile, dar nu respectă localitatea macroscopică. Din cauza combinatoriei simple, se constată că există de fapt mai multe stări nonlocale decât stările locale. Aceasta înseamnă că localitatea stării în care trăim astăzi nu este perfectă; legăturile nonlocale ar trebui să fie în jurul nostru. Această situație a fost denumită în mod adecvat „localitate dezordonată” în [10].

Figura 1: Imaginea schematică pentru legăturile nelocale pe o rețea obișnuită. Rețeaua reprezintă spațiu-timpul. Legătura, care reprezintă un defect în regularitatea fundalului, are lungimea în funcție de măsura distanței de fundal. Rețineți că toate nodurile rămân 4-valente. Dacă spațiu-timpul este fundamental discret, defecte similare ar trebui să existe în jurul nostru.

Argumentul lui Markopoulou și Smolin este un exemplu explicit pe care îl putem avea în minte. Dar așteptarea existenței defectelor nonlocale este mai generală decât aceea; aceasta se datorează faptului că perfecțiunea necesită explicații suplimentare sau criterii de selecție pe care nu le avem.

Acum, o astfel de nonlocalitate macroscopică s-ar putea considera ca ceva ce trebuie evitat, deoarece nu pare să o experimentăm, dar aceasta este o chestiune de constrângeri experimentale. Pentru a înțelege cu adevărat implicațiile unei astfel de nonlocalități, trebuie mai întâi să dezvoltăm un model fenomenologic care să parametrize efectele și apoi să le contracteze cu datele. Un astfel de model a fost dezvoltat în [4]. Acest model nu pornește de la o structură discretă subiacentă, ci se ocupă de defectele din structura locală ca abateri de la geometria fundalului neted al relativității generale.

Ipoteza centrală a modelului [4] este că invarianța Lorentz este prezervată în medie, deoarece încălcările invarianței Lorentz sunt puternic defavorizate de date. Invarianța Lorentz, poate nu atât de surprinzător, se dovedește a fi foarte restrictivă pentru tipul de nonlocalitate care este permisă. Distribuția defectelor nonlocale în acest model este presupusă a fi dată de singura distribuție discretă Lorentz-invariantă cunoscută în prezent pe spațiul Minkowski, care este definită prin procesul Poisson descris în [11,12]. Cu această distribuție, probabilitatea de a găsi N puncte într-un volum spațio-temporal V este

(1) P_N(V) = (βV)^Nexp(-βV) / N!

unde β = L⁴ este o densitate spațiu-timp constantă și L un parametru de dimensiune lungime.

O particulă care se confruntă cu un defect nonlocal va avea o translație în spațiu-timp. Vectorul de translație este parametrizat într-o distribuție a probabilității care, pe lângă L, introduce un parametru de dimensiunea masă, Λ, și un parametru de dimensiune lungime, α. Λ și α (cuantificate și pozitive) cuantifică translația, y_ν(Λ,α), pe care particulele o experimentează la defectul nonlocal. Să considerăm

(2) p_νy^ν = αΛ,  y_νy^ν = ±α²

unde alegerea semnului determină dacă translația este asemănătoare unui timp sau unui spațiu. Interpretarea lui Λ este, în general, o interpretare a faptului că particula va fi translatată la o distanță de aproximativ a în cadrul de repaus în care energia sa este de aproximativ Λ.

Translația pe care particulele o întâlnește atunci când întâlnește defectul nonlocal este dată de o distribuție de probabilitate P_NL(α,Λ) asupra punctelor finale. Prin construcție, toate acestea sunt în întregime invariabile în Lorentz. Densitatea β împreună cu distribuția P_NL(α,Λ) determină fenomenologia modelului. Se poate simplifica în continuare această situație prin aproximarea distribuției de probabilitate de către un Gaussian cu valori medii ‹α›, ‹Λ› și varianțele Δα și ΔΛ. Acest lucru lasă 5 parametri. Acestea pot fi reduse suplimentar presupunând că există o singură scară de lungime nouă L ~ ‹α› și că lățimea distribuțiilor este comparabilă cu valorile medii ‹α› ~ Δα și ‹Λ› ~ ΔΛ. Rămân apoi doi parametri, o scală de lungime și o scală de masă, care pot fi constrânse de experiment simplu. Deși acest lucru nu ar putea fi cel mai general caz, aceasta va permite o primă impresie cu privire la ce cantitate de nonlocalitate este compatibilă cu observarea.

O particulă fără masă care se confruntă cu un defect nonlocal va fi deviată de conul luminos și pe călătoria medie, fie mai rapid, fie mai lent decât viteza normală a luminii (în funcție de alegerea semnului din (2)). Este posibil să restricționăm translațiile pentru a fi de tip timp și viteze pentru a fi subluminale pentru a evita problemele de cauzalitate, deoarece o astfel de restricție nu încalcă inversarea Lorentz. Împrăștierea repetată pe defectele nonlocale creează o mică cantitate efectivă pentru foton, care este masa pe care o particulă de energia fotonului o va avea pe traiectoria medie care conține legături nonlocale. Acest lucru se reflectă în viteza medie a particulei care, în prezența defectelor nonlocale, se poate abate de la viteza luminii, deoarece translațiile pe care particulele le întâlnesc atunci când întâlnesc o defecțiune nonlocală pot fi asemănătoare spațiului sau timpului mai degrabă decât asemănătoare luminii.

Este important de observat că distribuția vectorilor de translație în acest model nu este o proprietate independentă a spațiu-timpului, dar depinde de funcția de undă a particulelor incidente. Acesta este în cel mai simplu caz vectorul său de impuls, în cazul general vectorul de impuls mediu și lățimea spațială a funcției de undă (în momentul în care întâlnește defectul). Este dependența de particula incidentă care permite să se construiască o distribuție normalizabilă și Lorentz-invariantă. În timp ce întregul grup Lorentz este necompact, utilizarea proprietăților măsurabile ale particulelor incidente ca referință împiedică necesitatea introducerii unei scurtături care violează invarianța Lorentz, menținând în același timp independența observatorului.

Caracteristica centrală care diferențiază acest model de alte modele aleatoare pentru propagarea într-un spațiu-timp cuantic este că probabilitatea ca particula să fie afectată de proprietățile cuantice, aici defectele spațiu-timp, depinde de volumul de univers (Lorentz-invariant ) care este eliminat de funcția de undă a particulelor. Astfel, cu cât este mai mare incertitudinea de poziție a particulei și cu cât este mai mare timpul de propagare, cu atât este mai probabil ca particula să fie afectată de defectele spațiu-timp. Acest lucru înseamnă generic că particulele de lungime de undă lungă sunt mai potrivite pentru a găsi consecințe fenomenologice decât cele extrem de energetice, spre deosebire de fenomenologia care apare, de exemplu, în cadrul deformațiilor sau încălcărilor invarianței Lorentz [2,13].

Cu ajutorul acestui model pentru defectele non-locale spațiu-timp, constrângerile privind densitatea defectelor și parametrii modelului pot fi apoi derivate din diverse observabile.

De exemplu, avem dovezi bune că protonii de energie ultraînaltă care dau naștere la razele cosmice provine din nuclee galactice active. Protonii au un parcurs fără mediu atunci când călătoresc prin fundalul cosmic de microunde (CMB) deoarece pot dispersa fotonii CMB și pot produce pioni. În prezența defectelor nonlocale, traiectoria liberă a protonilor poate crește, deoarece particulele nu se deplasează efectiv la distanța maximă. În cazul în care calea fără mediu crește substanțial, aceasta ar fi în conflict cu observarea și poate fi astfel utilizată pentru a obține limite privind densitatea defectelor. Alte constrângeri provin din neclaritatea inelelor de interferență în imaginile quasarilor îndepărtați și din monitorizarea strictă a fotonilor singuri într-o cavitate. Pentru detalii și referințe, consultați [4]. Constrângerile asupra defectelor nonlocale pot fi rezumate vizual în Figura 2. Aproximativ, se poate concluziona că densitatea defectelor nonlocale trebuie să fie mai mică decât una la un volum spațiu-timp de fm⁴.

În contextul cosmologic, o scală naturală este dată de scara de lungime asociată cu valoarea măsurată a constantei cosmologice, care este de aproximativ 1/10 mm. Constrângerile la L sunt în prezent de aproximativ 10 ordine de mărime sub acest interval de parametri interesanți. Se poate însă aștepta ca datele existente să fie sensibile la valori mai mari ale lui L. Este corect că modelul în forma sa actuală nu poate fi folosit pentru a analiza în mod fiabil o mare parte din datele cosmologice existente deoarece nu ia în considerare curbura fundalului. Este clar că este de dorit să generalizăm modelul la cel puțin un fundal Friedmann-Robertson-Walker pentru a putea analiza datele cosmologice pentru dovezile defectelor spațiu-timp.

Figura 2: Rezumatul constrângerilor asupra defectelor spatiu-timp non-locale, din[4]. Regiunea umbrită în roșu este exclusă. Linia întreruptă (neagră) indică valoarea constantei cosmologice.

Referințe

• [2]    G. Amelino-Camelia, “Quantum-spacetime phenomenology,” Living Reviews in Relativity, vol. 16, p. 5, 2013.
• [4]    S. Hossenfelder, “Phenomenology of space-time imperfection. I: nonlocal defects,” Physical Review D, vol. 88, no. 12, Article ID 124030,13 pages, 2013.
• [6]    R. A. Puntigam and H. H. Soleng, “Volterra distortions, spinning strings, and cosmic defects,” Classical and Quantum Gravity, vol. 14, no. 5, pp. 1129-1149,1997
• [7]    S. B. Giddings, “Nonlocality versus complementarity: a conservative approach to the information problem,” Classical and Quantum Gravity, vol. 28, no. 2, Article ID 025002, 11 pages, 2011.
• [8]    G. Amelino-Camelia, L. Freidel, J. Kowalski-Glikman, and L. Smolin, “Principle of relative locality,” Physical Review D, vol. 84, no. 8, Article ID 084010, 2011.
• [9]    S. Hossenfelder, “Minimal length scale scenarios for quantum gravity,” Living Reviews in Relativity, vol. 16, p. 2, 2013.
• [10]    F. Markopoulou and L. Smolin, “Disordered locality in loop quantum gravity states,” Classical and Quantum Gravity, vol. 24, no. 15, pp. 3813-3823, 2007
• [11]    F. Dowker, J. Henson, and R. D. Sorkin, “Quantum gravity phenomenology, Lorentz invariance and discreteness,” Modern Physics Letters A, vol. 19, no. 24, pp. 1829-1840, 2004.
• [12]    L. Bombelli, J. Henson, and R. D. Sorkin, “Discreteness without symmetry breaking: a theorem,” Modern Physics Letters A, vol. 24, no. 32, pp. 2579-2587, 2009.
• [13]    G. Amelino-Camelia, “Doubly-special relativity: facts, myths and some key open issues,” Symmetry, vol. 2, no. 1, pp. 230-271, 2010.

Sursa: ”Theory and Phenomenology of Space-Time Defects”, de Sabine Hossenfelder, licența Creative Commons, în Experimental Tests of Quantum Gravity and Exotic Quantum Field Theory Effects, Advances in High Energy Physics · June 2014, DOI: 10.1155/2014/192712. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu