Strategia de rezolvare a problemelor despre legea gravitației universale a lui Newton

Legea gravitației lui Newton

Pentru a determina mișcarea cauzată de forța gravitațională, urmați acești pași:

1.       Identificați cele două mase, una sau ambele, pentru care doriți să aflați forța gravitațională.

2.       Desenați o diagramă a corpului liber, schițând forța care acționează asupra fiecărei mase și indicând distanța dintre centrele lor de masă.

3.       Aplicați a doua lege a mișcării a lui Newton fiecărei mase pentru a determina cum se va mișca.

O coliziune pe orbită

Luați în considerare două vehicule Soyuz cu încărcătură utilă aproape sferică, pe orbită în jurul Pământului, fiecare cu o masă de 9000 kg și un diametru de 4,0 m. Sunt inițial în repaus unul față de celălalt, la 10,0 m de la centru la centru. (După cum vom vedea în Legile mișcării planetare ale lui Kepler, ambele orbitează Pământul cu aceeași viteză și interacționează aproape la fel ca și cum ar fi izolate în spațiul profund.) Determinați forța gravitațională dintre ele și accelerația lor inițială. Estimați cât de mult durează ca ele să se deplaseze împreună și cât de repede se mișcă la impact.

Strategie

Folosim legea gravitației lui Newton pentru a determina forța dintre ele și apoi folosim a doua lege a lui Newton pentru a găsi accelerația fiecăreia. Pentru estimare, presupunem că această accelerație este constantă și folosim ecuațiile de accelerație constantă din Mișcarea de-a lungul unei linii drepte pentru a găsi timpul și viteza coliziunii.

Soluție

Mărimea forței este

∣F⃗₁₂∣ = F₁₂ = Gm₁m₂/r² = 6,67 × 10⁻¹¹ N⋅m²/kg²·(9000kg)(9000kg)/(10m)² = 5,4 × 10⁻⁵ N.

Accelerația inițială a fiecărei sarcini utile este

a = F/m = 5,4 × 10⁻⁵ N/9000 kg = 6,0 × 10−9 m/s².

Vehiculele au un diametru de 4,0 m, astfel încât vehiculele se deplasează de la 10,0 m la 4,0 m unul de celălalt, sau o distanță de 3,0 m fiecare. Un calcul similar cu cel de mai sus, pentru când vehiculele sunt la o distanță de 4,0 m unul de celălalt, dă o accelerație de 3,8 × 10⁻⁸ m/s², iar media acestor două valori este de 2,2 × 10⁻⁸ m/s². Dacă presupunem o accelerație constantă a acestei valori și pornesc din repaus, atunci vehiculele se ciocnesc cu viteza dată de

v² = v²₀ + 2a(x − x₀), unde v₀ = 0,

deci

v = √(2(2,2 × 10⁻⁹ m/s²)(3,0 m)) = 3,6 × 10⁻⁴ m/s.

Folosim v = v₀ + at pentru a găsi t = v/a = 1,7 × 10⁴ s sau aproximativ 4,6 ore.

Semnificație

Aceste calcule, inclusiv forța inițială, sunt doar estimări, deoarece vehiculele probabil nu sunt simetrice sferic. Dar puteți vedea că forța este incredibil de mică. Astronauții trebuie să se lege atunci când lucrează în afara uriașei Stații Spațiale Internaționale (ISS), ca în Figura 13.4, deoarece atracția gravitațională nu îi poate salva nici măcar de cea mai mică împingere de îndepărtare de stație.

Figura 13.4 Această fotografie îl arată pe Ed White legat de Naveta Spațială în timpul unei plimbări în spațiu. (credit: NASA)

Ce se întâmplă cu forța și accelerația când vehiculele cad împreună? Care va fi estimarea noastră a vitezei la o coliziune mai mare sau mai mică decât viteza de fapt? Și, în sfârșit, ce s-ar întâmpla dacă masele nu ar fi identice? Forța asupra fiecăreia ar fi aceeași sau diferită? Ce piteți spune despre accelerațiile lor?

Efectul gravitației între două obiecte cu mase de ordinul acestor vehicule spațiale este într-adevăr mic. Cu toate acestea, efectul gravitației asupra voastră de pe Pământ este suficient de semnificativ încât o cădere pe Pământ de doar câțiva metri poate fi periculoasă. Examinăm forța gravitației lângă suprafața Pământului în secțiunea următoare.

Răspuns

Atracția dintre galaxii

Găsiți accelerația galaxiei noastre, Calea Lactee, datorită celei mai apropiate galaxii de dimensiuni comparabile, galaxia Andromeda (Figura 13.5). Masa aproximativă a fiecărei galaxii este de 800 de miliarde de mase solare (o masă solară este masa Soarelui nostru) și sunt separate de 2,5 milioane de ani lumină. (Rețineți că masa Andromedei nu este atât de bine cunoscută, dar se crede că este puțin mai mare decât galaxia noastră.) Fiecare galaxie are un diametru de aproximativ 100.000 de ani lumină (1 an lumină = 9,5 × 10¹⁵ m).

Figura 13.5 Galaxiile interacționează gravitațional pe distanțe imense. Galaxia Andromeda este cea mai apropiată galaxie spirală de Calea Lactee și, în cele din urmă, se vor ciocni. (credit: Boris Štromar)

Strategie

Ca și în exemplul precedent, folosim legea gravitației lui Newton pentru a determina forța dintre ele și apoi folosim a doua lege a lui Newton pentru a găsi accelerația Căii Lactee. Putem considera galaxiile ca fiind mase punctiforme, deoarece dimensiunile lor sunt de aproximativ 25 de ori mai mici decât separarea lor. Masa Soarelui (vezi Anexa D) este de 2,0 × 10³⁰ kg, iar un an-lumină este distanța pe care o parcurge lumina într-un an, 9,5 × 10¹⁵ m.

Soluție

Mărimea forței este

F₁₂ = Gm₁m₂/r² = (6,67 × 10⁻¹¹ N⋅m²/kg²)·[(800×10⁹)(2,0 × 1030 kg)]²/[(2,5 × 10⁶)(9,5 × 10¹⁵ m)]² = 3,0 × 10²⁹ N.

Accelerația Căii Lactee este

a = F/m = 3,0 × 10²⁹ N·(800×10⁹)(2,0 × 10³⁰ kg) = 1,9 × 10⁻¹³ m/s2.

Semnificație

Această valoare a accelerației pare uimitor de mică? Dacă pornesc din repaus, atunci ar accelera direct unul spre celălalt, „ciocnindu-se” în centrul lor de masă. Să estimăm timpul pentru ca acest lucru să se întâmple. Accelerația inițială este de ~10⁻¹³ m/s², deci folosind v = at, vedem că ar fi nevoie de ~10¹³ s pentru ca fiecare galaxie să atingă o viteză de 1,0 m/s și ar fi doar ~0,5 × 10¹³ m mai aproape. Adică, cu nouă ordine de mărime mai mică decât distanța inițială dintre ele. În realitate, astfel de mișcări sunt rareori simple. Aceste două galaxii, împreună cu alte aproximativ 50 de galaxii mai mici, sunt toate legate gravitațional de clusterul nostru local. Clusterul nostru local este legat gravitațional de alte clustere din ceea ce se numește supercluster. Toate acestea fac parte din marele dans cosmic care rezultă din gravitație, așa cum se arată în Figura 13.6.

Figura 13.6 Pe baza rezultatelor acestui exemplu, plus ceea ce astronomii au observat în altă parte a Universului, galaxia noastră se va ciocni cu galaxia Andromeda în aproximativ 4 miliarde de ani. (credit: modificarea lucrării de către NASA; ESA; A. Feild și R. van der Marel, STScI)