Logica propozițională și conectivitățile funcționale ale adevărului de bază – Conjuncția – Tabelul de adevăr

Logica propozițională (numită și „logică sentențială”) este zona logicii formale care se ocupă de relațiile logice dintre propoziții. O propoziție este pur și simplu ceea ce am numit anterior ca fiind o afirmație. (1) Câteva exemple de propoziții sunt:

Zăpada este albă.

Zăpada este rece.

Tom este un astronaut.

Podeaua a fost ștearsă.

Vasele au fost spălate.

De asemenea, putem conecta propoziții împreună folosind anumite cuvinte, cum ar fi „și” astfel:

Podeaua a fost ștearsă și vasele au fost spălate.

Această propoziție se numește o propoziție complexă deoarece conține conjunctivul „și” care leagă două propoziții separate. În contrast, „podeaua a fost ștearsă” și „vasele au fost spălate” sunt ceea ce se numesc propoziții atomice. Propozițiile atomice sunt cele care nu conțin nicio conexiune funcțională a adevărului. Cuvântul „și” din această propoziție complexă este o conectivitate funcțională de adevăr. O conectivitate funcțională de adevăr este un mod de conectare a propozițiilor astfel încât valoarea de adevăr a propoziției complexe rezultate poate fi determinată de valoarea de adevăr a propozițiilor care o compun. Să presupunem că podeaua nu a fost ștearsă, dar vasele au fost spălate. În acest caz, dacă afirm conjuncția, „podeaua a fost ștearsă și vasele au fost spălate”, atunci am afirmat ceva care este fals. Motivul este că o conjuncție, ca cea de mai sus, este adevărată numai atunci când fiecare conjunct (adică, fiecare afirmație care este unită de „și”) este adevărată. Dacă oricare conjunct este fals, atunci întreaga conjuncție este falsă. Acest lucru ar trebui să fie destul de evident. Dacă Bob și Sally își împart treburile, iar treburile lui Bob erau atât de a aspira, cât și de a șterge praf, în timp ce treburile lui Sally erau deopotrivă să șteargă podeaua și să spele vasele, atunci dacă Sally a spus că a șters podeaua și a spălat vasele atunci când, în realitate, ea a doar a spălat vasele (dar nu a șters podeaua), atunci Bob s-ar putea plânge pe bună dreptate că nu este adevărat că Sally a șters și podeaua și a spălat și vasele! Acest lucru arată că conjuncțiile sunt adevărate numai dacă ambele conjuncturi sunt adevărate. Acest lucru este valabil pentru toate conjuncțiile. Conjuncția de mai sus are o anumită formă – aceeași formă ca orice conjuncție. Putem reprezenta această formă folosind substituenți – litere mici ca p și q pentru a reprezenta orice afirmație. Astfel, reprezentăm forma unei conjuncții ca aceasta:

p și q

Orice conjuncție are această aceeași formă. De exemplu, propoziția complexă, „astăzi este soare și cald”, are aceeași formă pe care o putem vedea scriind conjuncția astfel:

Astăzi este soare și astăzi este cald.

Deși am putea scrie conjuncția în acest fel, este mai firesc să îmbinăm adjectivele „soare” și „cald” pentru a obține „astăzi este soare și cald”. Cu toate acestea, aceste două propoziții înseamnă același lucru (doar că una sună mai natural decât cealaltă). În orice caz, putem vedea că „astăzi este soare” este propoziția în locul „p” al formei conjuncției, în timp ce „astăzi este cald” este propoziția în locul „q” al formei conjuncției. Ca și înainte, această conjuncție este adevărată numai dacă ambele conjuncturi sunt adevărate. De exemplu, să presupunem că este o zi de iarnă însorită, dar rece. În acest caz, deși este adevărat că astăzi este soare, este fals că astăzi este cald – caz în care conjuncția este falsă. Dacă cineva ar afirma că astăzi este soare și cald în aceste circumstanțe, i-ai spune că nu este adevărat. De asemenea, dacă ar fi o zi de vară noroasă, dar caldă și umedă, conjuncția ar fi de asemenea falsă. Singurul mod în care afirmația ar fi adevărată este dacă ambele conjuncte ar fi adevărate.

În limbajul formal vom reprezenta conjuncții folosind un simbol numit „punct”, care arată astfel: „∙” Folosind acest simbol, iată cum vom reprezenta o conjuncție în notație simbolică:

p ∙ q

Mai târziu vom introduce patru conectivități funcționale ale adevărului de bază, fiecare dintre ele având propriul simbol și semnificație. Cele patru conectivități de bază adevăr-funcționale sunt: ​​conjuncție, disjuncție, negație și condiţionalitate.

După cum am văzut, o conjuncție îmbină două propoziții separate pentru a forma o propoziție complexă. Conjuncția este adevărată dacă și numai dacă ambele conjuncte sunt adevărate. Putem reprezenta aceste informații folosind ceea ce se numește tabel de adevăr. Tabelele de adevăr reprezintă modul în care valoarea de adevăr a unei propoziții complexe depinde de valorile de adevăr ale propozițiilor care o compun. Iată tabelul de adevăr pentru conjuncție:

p	q	p ∙ q
A	A	A
A	F	F
F	A	F
F	F	F

Iată cum să înțelegem acest tabel de adevăr. Rândul din antet enumeră propozițiile atomice, p și q, din care este compusă conjuncția, precum și conjuncția în sine, p ∙ q. Fiecare dintre următoarele patru rânduri reprezintă un scenariu posibil cu privire la adevărul fiecărei conjuncturi și există doar patru scenarii posibile: fie p și q ar putea fi ambele adevărate (ca în rândul 1), p și q ar putea fi ambele false (ca în rândul 4), p ar putea fi adevărat în timp ce q este fals (rândul 2) sau p ar putea fi fals în timp ce q este adevărat (rândul 3). Coloana finală (valorile adevărului sub conjuncție, p ∙ q) reprezintă modul în care valoarea adevărului conjuncției depinde de valoarea adevărului fiecărui conjunct (p și q). După cum am văzut, o conjuncție este adevărată dacă și numai dacă ambele conjuncte sunt adevărate. Iată ce reprezintă tabelul adevărului. Deoarece există un singur rând (un scenariu posibil) în care atât p cât și q sunt adevărate (adică rândul 1), aceasta este singura circumstanță în care conjuncția este adevărată. Deoarece în fiecare alt rând cel puțin unul dintre conjuncte este fals, conjuncția este falsă în celelalte trei scenarii.

În acest moment, unii studenți vor să se întrebe ce facem cu tabelele de adevăr. Adesea, acest lucru se datorează faptului că se crede că conceptul este mult mai complicat decât este de fapt. (Pentru unii, acest lucru poate proveni, în parte, dintr-o fobie matematică declanșată de utilizarea notației simbolice.) Dar un tabel de adevăr este de fapt o idee foarte simplă: este pur și simplu o reprezentare a semnificației unui operator funcțional de adevăr. Când spun că o conjuncție este adevărată numai dacă ambele conjuncte sunt adevărate, asta reprezintă chiar tabelul. Nu există nimic mai mult decât atât. (Tabelele de adevăr se pot folosi pentru a demonstra dacă un argument este valid sau invalid. O astfel de înțelegere va necesita mai multă subtilitate, dar ceea ce am introdus până acum nu este deloc complicat.)

Există mai multe modalități de a reprezenta conjuncții, nu numai cu cuvântul „și”. Mai jos sunt câteva cuvinte și fraze obișnuite care funcționează de obicei ca niște conjuncții funcționale de adevăr.

dar	totuși	de asemenea	cu toate că
in orice caz	în plus	cu toate acestea	încă

Este important să subliniem că de multe ori conjuncțiile poartă mai multe informații decât pur și simplu că cele două propoziții sunt adevărate (care este singura informație purtată de conectivitatea noastră simbolică, punctul). Putem vedea acest lucru cu conjuncții precum „dar” și „oricum” care au un sens contrastiv. Dacă ar fi să spun „Bob a votat, dar Caroline nu”, atunci contrastez cu ce au făcut Bob și Caroline. Cu toate acestea, afirm încă două propoziții independente. Un alt tip de informație pe care îl reprezintă conjuncțiile, dar nu este conectivitatea simbolică punct, este informația temporală. De exemplu, în conjuncția:

Bob s-a spălat pe dinți și s-a dus în pat.

Există în mod clar o implicație temporală că Bob s-a spălat mai întâi pe dinți și apoi s-a dus în pat. Ar putea părea ciudat să spui:

Bob s-a dus în pat și s-a spălat pe dinți.

întrucât acest lucru ar părea să implice că Bob s-a spălat pe dinți în timp ce era în pat. Dar fiecare dintre aceste conjuncții ar fi reprezentată în același mod de conectivitatea noastră punct, deoarece conectivității punct nu îi pasă de aspectele temporale ale lucrurilor. Dacă ar fi să reprezentăm „Bob s-a dus în pat” cu litera A și „Bob s-a spălat pe dinți” cu litera B, atunci ambele propoziții ar fi reprezentate exact la fel, și anume:

A ∙ B

Uneori, o conjuncție poate fi reprezentată doar cu virgulă sau punct și virgulă, astfel:

În timp ce Bob ștergea podeaua, Sally spăla vasele.

Bob a șters podeaua; Sally a spălat vasele.

Ambele sunt conjuncții care sunt reprezentate în același mod. Ar trebui să vedeți că ambele au forma, p ∙ q.

Nu orice conjuncție este o conjuncție funcțională de adevăr. Putem vedea acest lucru luând în considerare o propoziție precum următoarea:

Maya și Alice sunt căsătorite.

Dacă aceasta ar fi o propoziție funcțională a adevărului, atunci ar trebui să putem identifica cele două propoziții independente implicate. Dar nu putem. Care ar fi aceste propoziții? Ați putea crede că două propoziții ar fi acestea:

Maya este căsătorită Alice este căsătorită.

Dar acest lucru nu poate fi corect, deoarece faptul că Maya este căsătorită și că Alice este căsătorită nu este același lucru cu a spune că Maya și Alice sunt căsătorite între ele, ceea ce este în mod clar implicația propoziției inițiale. Mai mult, dacă ați încerca să adăugați „între ele” la fiecare propoziție, nu ar mai avea sens:

Maya este căsătorită între Alice este căsătorită între ele

Poate am putea spune că cele două conjuncte sunt „Maya este căsătorită cu Alice” și „Alice este căsătorită cu Maya”, dar valorile adevărului acestor două conjuncte nu sunt independente una de cealaltă, deoarece dacă Maya este căsătorită cu Alice, trebuie să fie adevărat că Alice este căsătorită cu Maya. În schimb, următorul este un exemplu de conjuncție funcțională de adevăr:

Maya și Alice sunt femei.

Spre deosebire de exemplul anterior, în acest caz putem identifica în mod clar două propoziții ale căror valori de adevăr sunt independente una de alta:

Maya este o femeie

Alice este o femeie

Dacă Maya este sau nu femeie este o problemă care este total independentă de faptul dacă Alice este femeie (și invers). Adică, faptul că Maya este o femeie nu ne spune nimic despre dacă Alice este o femeie. În contrast, faptul că Maya este căsătorită cu Alice implică faptul că Alice este căsătorită cu Maya. Deci, modul de a determina dacă o conjuncție este sau nu funcțională de adevăr este să ne întrebăm dacă este formată din două propoziții al căror adevăr este independent unul de celălalt. Dacă există două propoziții al căror adevăr este independent unul de celălalt, atunci conjuncția este funcțională de adevăr; dacă nu există două propoziții al căror adevăr este independent unul de celălalt, conjuncția nu este funcțională de adevăr.

Notă

(1) Unii filozofi ar susține că o propoziție nu este același lucru cu o afirmație, dar motivele pentru care se face acest lucru nu sunt relevante pentru noi aici. Astfel, pentru scopurile noastre, putem trata o propoziție ca același lucru cu o afirmație.

Exercițiul 8

Identificați care dintre propozițiile următoare sunt conjuncții funcționale de adevăr. Dacă propoziția este o conjuncție funcțională de adevăr, identificați cele două conjuncte (notându-le).

1. Jack și Jill sunt colegi de muncă.
2. Tom este pompier și tată.
3. Ringo Starr și John Lennon au fost colegi de trupă.
4. Lucy iubește sandvișurile cu friptură și ceapă.
5. Cameron Dias a avut mai multe relații, deși nu s-a căsătorit niciodată.
6. Bob și Sally s-au sărutat.
7. O persoană care cântă atât la mandolină și la chitară este un multiinstrumentist.
8. Nimeni care a contractat vreodată rabia nu a trăit.
9. Jack și Jill sunt cowboy.
10. Iosia este amish; cu toate acestea, el este și traficant de droguri.
11. Tigrii sunt cea mai bună echipă de baseball din stat, dar nu sunt la fel de buni ca și Yankees.
12. Bob s-a dus la plajă pentru a se bucura de odihnă și relaxare.
13. Lauren nu este cel mai rapid alergător al echipei; totuși, este suficient de rapidă pentru a ajunge în campionatul național.
14. Inelul este frumos, dar scump.
15. Este trist dar adevărat că mulți americani nu știu de unde va veni următoarea lor masă.

Sursa: Matthew J. Van Cleave, Introduction to Logic and Critical Thinking, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2021 MultiMedia Publishing, Logica și gândirea critică în dezvoltarea personală, Volumul 1