Folosirea parantezelor în logica formală pentru fraze complexe

Am văzut cum să traducem anumite propoziții simple în limbajul nostru simbolic folosind punct, pană și tildă. Procesul de traducere începe cu determinarea propozițiilor atomice ale propoziției și apoi folosirea conectivelor funcționale de adevăr pentru a forma propoziția compusă. Uneori, acest lucru va fi destul de simplu și ușor de înțeles – mai ales dacă există un singur operator funcțional al adevărului folosit în frază. Cu toate acestea, multe propoziții vor conține mai mult de un operator funcțional de adevăr. Iată un exemplu:

Bob nu va merge la curs, ci va juca jocuri video.

Care sunt propozițiile atomice conținute în această frază? În mod clar, propoziția afirmă două lucruri:

Bob va juca jocuri video.

Prima afirmație nu este o propoziție atomică, deoarece conține o negație, „nu”. A doua afirmație este însă atomică, deoarece nu conține nicio conexiune funcțională de adevăr. Deci, dacă prima afirmație este o negație, care este afirmația atomică non-negată? Aceasta este:

Bob va merge la curs.

Voi folosi constanta C pentru a reprezenta această propoziție atomică și G pentru a reprezenta propoziția „Bob va juca jocuri video”. Acum, că ne-am identificat cele două propoziții atomice, cum ne putem construi propoziția complexă folosind doar acele propoziții atomice și conectivitățile funcționale de adevăr? Să începem cu afirmația „Bob nu va merge la curs”. Deoarece am definit constanta „C” ca „Bob va merge la curs” atunci putem reprezenta cu ușurință afirmația „Bob nu va merge la curs” folosind o negație, ca aceasta:

Propoziția originală afirmă acest lucru, dar se afirmă, de asemenea, că Bob va juca jocuri video. Adică afirmă ambele declarații. Asta înseamnă că vom conecta „~C” cu „G” cu operatorul punct. Deoarece am atribuit deja „G” declarației „Bob va juca jocuri video”, traducerea rezultată ar trebui să arate astfel:

~C ∙ G

Deși uneori putem traduce propoziții în limbajul nostru simbolic fără utilizarea parantezelor (așa cum am făcut în exemplul anterior), de multe ori o traducere va necesita utilizarea parantezelor. De exemplu:

Bob nu va face ambele, să meargă la curs și să joace jocuri video.

Observați că, în timp ce fraza anterioară afirma că Bob nu va merge la curs, această frază nu afirmă asta. Mai degrabă, afirmă că Bob nu va face ambele lucruri (adică, să meargă la curs și să joace jocuri video), ci doar unul sau altul (și, eventual, niciunul). Adică, această propoziție nu ne spune cu siguranță că Bob va merge sau nu la curs sau că va juca sau nu jocuri video, ci doar că nu va face ambele lucruri. Folosind aceleași traduceri ca înainte, cum am traduce această propoziție? Ar trebui să fie clar că nu putem folosi aceeași traducere ca înainte, deoarece aceste două propoziții nu spun același lucru. Astfel, nu putem folosi traducerea:

~C ∙ G

deoarece această traducere spune cu siguranță că Bob nu va merge la curs și că va juca jocuri video. Astfel, traducerea noastră trebuie să fie diferită. Iată cum se traduce propoziția:

~(C ∙ G)

Am introdus aici câteva simboluri noi, parantezele. Parantezele sunt folosite în logică formală pentru a arăta grupări. În acest caz, parantezele spun că conjuncția, „C ∙ G”, este grupată împreună și că negația se întinde pe toată acea conjuncție, mai degrabă decât doar pe primul conjuct (așa cum a fost cazul traducerii anterioare). Când utilizați mai mulți operatori, trebuie să învățați să distingeți care operator este operatorul principal. Operatorul principal al unei propoziții este cel care leagă principalele grupări ale propoziției. În acest caz, „conectorul” este negația, deoarece „conectează” singurul grup din această frază. În contrast, în exemplul anterior (~C ∙ G), operatorul principal a fost mai degrabă conjuncția decât negația. Putem vedea nevoia de paranteze în a distinge aceste două traduceri diferite. Fără utilizarea parantezelor, nu am avea cum să distingem aceste două fraze, care au în mod clar semnificații diferite.

Iată un exemplu diferit în care trebuie să folosim paranteze:

Noelle fie va hrăni câinii, fie își va face curat în cameră, dar nu va găti.

Puteți spune câte propoziții atomice conține această propoziție? Conține trei propoziții atomice, care sunt:

Noelle va hrăni câinii. (F)

Noelle își va face curat în cameră. (C)

Noelle va găti. (D)

Ceea ce am scris între paranteze în dreapta propoziției este constanta pe care o voi folosi pentru a reprezenta aceste afirmații atomice în traducerea mea simbolică. Observați că propoziția nu afirmă cu siguranță că fiecare dintre aceste afirmații este adevărată. Mai degrabă, ceea ce trebuie să facem este să folosim aceste propoziții atomice pentru a surprinde sensul frazei originale folosind doar operatorii noștri funcționali de adevăr. În această frază vom folosi de fapt toți cei trei operatori funcționali ai adevărului (disjuncție, conjuncție, negație). Să începem cu negația, deoarece aceasta este relativ ușoară. Având în vedere modul în care am reprezentat propoziția atomică D, a spune că Noelle nu va găti este pur și simplu negarea lui D:

Acum să luăm în considerare prima parte a frazei: Noelle fie va hrăni câinii, fie își va face curat în cameră. Ar trebui să observați „fie … fie” acolo și să-l recunoașteți ca o disjuncție, pe care o reprezentăm cu pană, astfel:

F ˅ C

Acum, cum sunt conectate aceste două propoziții compuse, „~ D” și „F ˅ C”? Există un cuvânt în propoziție care ne sfătuiește – „ci”. După cum am văzut mai devreme, „ci” este un mod obișnuit de a reprezenta o conjuncție în limba engleză. Astfel, trebuie să conjugăm disjuncția (F ˅ C) și negația (~D). Ați putea crede că am putea pur și simplu să îmbinăm cele două propoziții astfel:

F ˅ C ∙ ~D

Cu toate acestea, această traducere nu ar fi corectă, deoarece nu este ceea ce numim o formulă bine formată. O formulă bine formată este o frază în limbajul nostru simbolic care are exact o singură interpretare sau sens. Traducerea pe care am dat-o este ambiguă având două semnificații diferite. Ar putea însemna că (Noelle va hrăni câinii) sau (Noelle își va face curat în cameră și nu va găti). Această afirmație ar fi adevărată dacă Noelle ar hrăni câinii și va găti. Putem reprezenta această posibilitate în mod simbolic, folosind astfel paranteze:

F ˅ (C ∙ ~D)

Parantezele au ca scop gruparea principalelor părți ale propoziției. În acest caz, grupăm „C ∙ ~D” împreună și lăsăm „F” singur. Rezultatul este că acele grupări sunt conectate printr-o disjuncție, care este operatorul principal al propoziției. În acest caz, există doar două grupări: „F” pe de o parte și „C ∙ ~D” pe de altă parte.

Dar propoziția inițială ar putea însemna și că (Noelle va hrăni câinii sau își va face curat în cameră) și (Noelle nu va spăla vasele). Spre deosebire de interpretarea noastră anterioară, această interpretare ar fi falsă dacă Noelle ar hrăni câinii și ar găti, deoarece această interpretare afirmă că Noelle nu va găti (ca parte a unei conjuncții). Iată cum am reprezenta această interpretare în mod simbolic:

(F ˅ C) ∙ ~D

Observați că această interpretare, spre deosebire de ultima, grupează „F ∙ C” împreună și lasă „~D” singur. Aceste două grupări sunt apoi conectate printr-o conjuncție, care este principalul operator al acestei propoziții complexe.

Faptul că încercarea noastră inițială de traducere (fără a utiliza paranteze) a dat o propoziție ambiguă arată necesitatea ca parantezele să clarifice diferitele posibilități. Deoarece limbajul nostru formal își propune să elimine orice ambiguitate, trebuie să alegem una dintre cele două grupări ca traducere a propoziției noastre originale în engleză. Deci, care grupare surprinde cu exactitate fraza originală? Este a doua traducere cea care surprinde cu exactitate sensul frazei originale. Această frază afirmă în mod clar că Noelle nu va găti și asta spune cea de-a doua traducere a noastră. În schimb, prima traducere este o frază care ar putea fi adevărată chiar dacă Noelle ar găti. Având în vedere înțelegerea noastră a frazei originale, nu ar trebui să fie adevărat în aceste condiții, deoarece afirmă în mod clar că Noelle nu va găti.

Să trecem la un alt exemplu. Luați în considerare fraza:

Fie Bob și Karen spală vasele, fie Sally și Tom.

Această propoziție conține patru propoziții atomice:

Bob spală vasele (B)

Karen spală vasele (K)

Sally spală vasele (S)

Tom spală vasele (T)

La fel ca înainte, am scris constantele la dreapta fiecărei propoziții atomice apoi le voi folosi pentru a reprezenta fiecare propoziție atomică. Puteți folosi orice literă doriți atunci când veniți cu propriile traduceri, atâta timp cât fiecare propoziție atomică folosește o literă mare diferită. (În mod obișnuit încerc să aleg litere care sunt distincte pentru fiecare propoziție, cum ar fi alegerea „B” pentru „Bob”.) Deci, cum putem folosi operatorii funcționali de adevăr pentru a conecta aceste propoziții atomice împreună pentru a da o frază care surprinde sensul frazei originale? În mod clar, B și K sunt grupate împreună cu conjuncția „și” și S și T sunt, de asemenea, grupate împreună cu conjuncția „și”:

(B ∙ K)

(S ∙ T)

Mai mult, operatorul principal al propoziției este o disjuncție, de la care ar trebui să fie îndepărtată expresia „fie … fie”. Astfel, traducerea corectă a propoziției este:

(B ∙ K) ˅ (S ∙ T)

Operatorul principal al acestei fraze este disjuncția (pana). Din nou, este operatorul principal, deoarece grupează cele două grupări principale ale frazei.

Să terminăm această secțiune cu un ultim exemplu. Luați în considerare fraza:

Tom nu va spăla vasele și nu va ajuta la pregătirea cinei; oricum, va aspira podeaua sau va tăia iarba.

Această frază conține patru propoziții atomice:

Tom va spăla vasele (W)

Tom va ajuta la pregătirea cinei (P)

Tom va aspira podeaua (V)

Tom va tăia iarba (C)

Este clar (din cauza lui „nu”) că trebuie să negăm atât W cât și P. Este clar de asemenea (din cauza lui „și„) că W și P sunt grupate împreună. Astfel, prima parte a traducerii ar trebui să fie:

(~W ∙ ~P)

De asemenea, este clar că ultima parte a frazei (după punct și virgulă) este o grupare de V și C și că aceste două propoziții sunt legate printr-o disjuncție (din cauza cuvântului „sau”):

(V ˅ C)

În cele din urmă, aceste două grupări sunt conectate printr-o conjuncție (din cauza lui „oricum”, care este un cuvânt care adesea funcționează ca o conjuncție). Astfel, traducerea corectă a frazei este:

(~W ∙ ~P) ∙ (V ˅ C)

După cum am văzut, traducerea propozițiilor în limba noastră simbolică este un proces care poate fi surprins ca o serie de pași:

Pasul 1: Determinați care sunt propozițiile atomice.

Pasul 2: Alegeți câte o constantă unică pentru a reprezenta fiecare propoziție atomică.

Pasul 3: Dacă fraza conține mai mult de două propoziții atomice, determinați ce propoziții atomice sunt grupate împreună și care operator funcțional de adevăr le leagă.

Pasul 4: Determinați care este operatorul principal al propoziției (adică, care operator funcțional de adevăr conectează grupurile de propoziții atomice împreună).

Pasul 5: Odată ce traducerea dvs. este completă, citiți-o și vedeți dacă surprinde cu exactitate ceea ce transmite propoziția originală. Dacă nu, vedeți dacă un alt mod de a grupa părțile va capta mai bine ceea ce transmite fraza inițială.

Încercați să utilizați acești pași pentru a crea propriile traduceri ale frazelor din exercițiul de mai jos.

Exercițiu

Traduceți următoarele fraze în limbajul nostru simbolic folosind oricare dintre cei trei operatori funcționali ai adevărului (adică conjuncție, negație și disjuncție). Folosiți constantele de la sfârșitul fiecărei fraze pentru a reprezenta propozițiile atomice pentru care sunt în mod evident destinate. După ce ați tradus propoziția, identificați ce conectivitate funcțională de adevăr este principalul operator al propoziției. (Notă: nu fiecare propoziție necesită paranteze; o propoziție necesită paranteze numai dacă va conține mai mult de două propoziții atomice.)

Bob nu știe cum să piloteze un avion sau să piloteze o navă, dar știe cum să meargă cu motocicleta. (A, S, M)
Tom nu știe să înoate sau să călărească pe cal. (S, H)
Theresa scrie poezii, nu romane. (P, N)
Lui Bob nu-i plac Sally sau Felicia, dar îi place de Alice. (S, F, A)
Cricketul nu este jucat pe scară largă în Statele Unite, dar atât fotbalul, cât și baseballul sunt. (C, F, B)
Tom și Linda sunt prieteni, dar Tom și Susan nu – deși Linda și Susan sunt. (T, S, L)
Lansing este la est de Grand Rapids, dar la vest de Detroit. (E, W)
Fie Tom, fie Linda l-au adus pe David acasă după operația sa; dar nu era Steve. (T, L, S)
Anul viitor, Steve va locui fie în Boulder, fie în Flagstaff, dar nu în Phoenix sau Denver. (B, F, P, D)
Henric al VII-lea al Angliei a fost căsătorit cu Anne Boleyn și Jane Seymour, dar a executat-o doar pe Anne Boleyn. (A, J, E)
Henric al VII-lea al Angliei i-a executat fie pe Anne Boleyn și Jane Boleyn, fie pe Thomas Cromwell și Thomas More. (A, J, C, M)
Copiii trebuie văzuți, dar nu auziți. (SH)