Negația și disjuncția în logica propozițională

Negația este operatorul funcțional de adevăr care schimbă valoarea adevărului unei propoziții de la fals la adevărat sau de la adevărat la fals. De exemplu, dacă afirmația „câinii sunt mamifere” este adevărată (așa și este), atunci putem face acea afirmație falsă adăugând o negație. Negația este adăugată în mod firesc chiar înainte de sintagma nominală care urmează verbului astfel:

Câinii nu sunt mamifere.

Dar un alt mod de a adăuga negația este cu expresia „nu este cazul ca” astfel:

Nu este cazul ca câinii sunt mamifere.

Oricare dintre aceste propoziții exprimă aceeași propoziție, care este pur și simplu negarea propoziției atomice, „câinii sunt mamifere”. Desigur, această propoziție este falsă, deoarece este adevărat că câinii sunt mamifere. Așa cum putem face o afirmație adevărată falsă negând-o, putem face o afirmație falsă adevărată adăugând o negație. De exemplu, afirmația „Cincinnati este capitala Ohio” este falsă. Dar putem face această afirmație adevărată adăugând o negație:

Cincinnati nu este capitala Ohio

Există multe modalități diferite de a exprima negațiile. Iată câteva modalități de exprimare a propoziției anterioare în diferite moduri:

Cincinnati nu este capitala Ohio

Nu este adevărat că Cincinnati este capitala Ohio

Nu este cazul ca Cincinnati este capitala Ohio

Fiecare dintre aceste propoziții exprimă aceeași propoziție adevărată, care este pur și simplu negarea propoziției atomice, „Cincinnati este capitala Ohio”. Deoarece acea afirmație este falsă, negarea ei este adevărată.

Există un aspect în care negația diferă de celelalte trei conectivități funcționale de adevăr pe care le vom introduce în acest capitol. Spre deosebire de celelalte trei, negația nu conectează două propoziții diferite. Cu toate acestea, o numim conectivitate funcțională de adevăr, deoarece, deși nu conectează de fapt două propoziții diferite, schimbă valoarea de adevăr a propozițiilor într-un mod funcțional de adevăr. Adică, dacă cunoaștem valoarea de adevăr a propoziției pe care o negăm, atunci cunoaștem valoarea de adevăr a propoziției negate rezultate. Putem reprezenta aceste informații în tabelul adevărului pentru negare. În tabelul următor, simbolul pe care îl vom folosi pentru a reprezenta negația se numește „tildă” (~). (Puteți găsi tilda în partea din stânga sus a tastaturii.)

p	~p
A	F
F	A

Acest tabel de adevăr reprezintă semnificația conectivității funcționale de adevăr, negația, care este reprezentată de tildă în limbajul nostru simbolic. Rândul de sus al tabelului reprezintă o propoziție p (care ar putea fi orice propoziție) și negarea acestei propoziții, ~p. Ceea ce spune tabelul este pur și simplu că, dacă o propoziție este adevărată, atunci negația acestei propoziții este falsă (ca în primul rând al tabelului); iar dacă o propoziție este falsă, atunci negația acestei propoziții este adevărată (ca în al doilea rând al tabelului).

După cum am văzut, este ușor să formăm propoziții în limbajul nostru simbolic folosind tilde. Tot ce trebuie să facem este să adăugăm o tildă în partea stângă a unei propoziții existente. De exemplu, am putea reprezenta afirmația „Cincinnati este capitala Ohio” folosind litera C, care se numește constantă. În logica propozițională, o constantă este o literă mare care reprezintă o propoziție atomică. În acest caz, am putea reprezenta afirmația „Cincinnati nu este capitala Ohio” astfel:

~C

La fel, am putea reprezenta afirmația „Toledo este capitala Ohio” folosind constanta T. În acest caz, am putea reprezenta afirmația „Toledo nu este capitala Ohio” astfel:

~T

Am putea crea, de asemenea, o propoziție care este o conjuncție a acestor două negații, astfel:

~C ∙ ~T

Vă puteți da seama ce spune această propunere complexă? (Gândiți-vă la asta; ar trebui să vă puteți da seama, având în vedere înțelegerea dvs. despre conectivitățile funcționale de adevăr, negație și conjuncție.) Propozițiile spun (literal): „Cincinnati nu este capitala Ohio și Toledo nu este capitala Ohio”. În secțiunile ulterioare vom învăța cum să formăm propoziții complexe utilizând diverse combinații ale fiecăreia dintre cele patru conectivități funcționale de adevăr. Înainte de a putea face acest lucru, totuși, trebuie să introducem următoarea noastră conectivitate adevăr-funcțională, disjuncția.

Cuvântul care funcționează cel mai frecvent ca disjuncție este cuvântul „sau”. De asemenea, este obișnuit ca „sau” să fie precedat de un „fie” mai devreme în propoziție, astfel:

Fie Charlie, fie Violet au adus noroi în casă.

Ceea ce afirmă această propoziție este că unul sau altul (și posibil ambii) dintre acești indivizi au adus noroi în casă. Astfel, este compusă din următoarele două propoziții atomice:

Charlie a adus noroi în casă.

Violet a adus noroi în casă.

Dacă adevărul este că Charlie a a adus noroi în casă, afirmația este adevărată. Dacă adevărul este că Violet a adus noroi în casă, afirmația este, de asemenea, adevărată. Această afirmație este falsă doar dacă de fapt nici Charlie, nici Violet nu au adus noroi în casă. Această afirmație ar fi, de asemenea, adevărată, chiar dacă și Charlie și Violet ar fi a adus noroi în casă. Un alt exemplu de disjuncție care are același tipar poate fi văzut într-o posibilă campanie pentru siguranța traficului cu sloganul ”centura sau amenda”. Ceea ce ar putea spune sloganul campaniei este:

Fie vă puneți centura de siguranță, fie luați amendă.

Acesta este un fel de avertisment: puneți-vă centura de siguranță sau veți primi amendă. Gândiți-vă la condițiile în care această afirmație ar fi adevărată. Există doar patru scenarii diferite:

Centura de siguranță este pusă	Nu luați amendă	Adevărat
Centura de siguranță nu este pusă	Luați amendă	Adevărat
Centura de siguranță este pusă	Luați amendă	Adevărat
Centura de siguranță nu este pusă	Nu luați amendă	Fals

Primul și al doilea scenariu (rândurile 1 și 2) sunt destul de direct adevărate, conform declarației ”centura sau amenda”. Dar să presupunem că centura dvs. de siguranță este închisă, mai este posibil să luați amendă (ca în al treilea scenariu – rândul 3)? Desigur că este! Adică, declarația permite că ar putea fi atât adevărat că centura dvs. de siguranță este pusă, cât și adevărat că luați amendă. Cum așa? (Gândiți-vă la asta o secundă și probabil vă veți da seama de răspuns.) Să presupunem că centura dvs. de siguranță este pusă, dar că accelerați, sau că lumina din spate este stinsă sau că conduceți sub influența alcoolului. În oricare dintre aceste cazuri, veți primi o amendă chiar dacă purtați centura de siguranță. Deci, disjuncția, centura sau amenda, permite în mod clar afirmația să fie adevărată chiar și atunci când ambele disjuncții (afirmațiile care formează disjuncția) sunt adevărate. Singurul mod în care disjuncția ar fi falsă este dacă nu ați pus centura de siguranță și totuși nu ați luat amendă. Astfel, singura modalitate prin care disjuncția este falsă este atunci când ambele disjuncții sunt false.

Aceste exemple dezvăluie un model: o disjuncție este o afirmație funcțională de adevăr, care este adevărată în fiecare caz, cu excepția cazului în care ambele disjuncții sunt false. În limbajul nostru simbolic, simbolul pe care îl vom folosi pentru a reprezenta o disjuncție se numește „pană” (˅). (Puteți utiliza pur și simplu litera „v” cu pentru a scrie pana.) Iată tabelul de adevăr pentru disjuncție:

p	q	p ˅ q
A	A	A
A	F	A
F	A	A
F	F	F

Ca și înainte, antetul acestui tabel de adevăr reprezintă două propoziții (primele două coloane) și disjuncția lor (ultima coloană). Următoarele patru rânduri reprezintă condițiile în care disjuncția este adevărată. După cum am văzut, disjuncția este adevărată atunci când cel puțin una dintre disjuncțiile ei este adevărată, inclusiv atunci când ambele sunt adevărate (primele trei rânduri). O disjuncție este falsă numai dacă ambele disjuncții sunt false (ultimul rând).

După cum am definit-o, pana (˅) este ceea ce se numește „sau inclusiv”. Un sau inclusiv este o disjuncție care este adevărată chiar și atunci când ambele disjuncții sunt adevărate.

Cu toate acestea, uneori o disjuncție implică în mod clar că afirmația este adevărată numai dacă una sau alta dintre disjuncții este adevărată, dar nu ambele. De exemplu, să presupunem că știți că Bob s-a clasat fie pe primul loc, fie pe al doilea loc în cursă, pentru că vă amintiți că ați văzut o poză cu el în ziar unde stătea pe un podium (și știți că doar primii doi alergători din cursă ajung la stai pe podium). Deși nu vă amintiți pe ce loc a fost, știți că:

Bob s-a clasat pe primul sau al doilea loc în cursă.

Aceasta este o disjuncție care este construită din două propoziții atomice diferite:

Bob s-a clasat pe primul loc în cursă.

Bob s-a clasat pe al doilea loc în cursă.

Deși sună ciudat să-l scrieți astfel, am putea conecta pur și simplu fiecare afirmație atomică cu un „sau”:

Bob s-a clasat pe primul loc în cursă sau Bob s-a clasat pe al doilea loc în cursă.

Această frază explicitează faptul că această afirmație este o disjuncție a două afirmații separate. Cu toate acestea, este de asemenea clar că, în acest caz, disjuncția nu ar fi adevărată dacă toate disjuncțiile ar fi adevărate, deoarece nu este posibil ca toate disjuncțiile să fie adevărate, deoarece Bob nu s-ar fi putut clasa atât primul, cât și pe al doilea loc. Astfel, este clar într-un caz ca acesta, că „sau” se înțelege ca ceea ce se numește „sau exclusiv”. Un sau exclusiv este o disjuncție care este adevărată numai dacă una sau cealaltă, dar nu ambele, disjuncții ale sale este adevărată. Când credeți că cea mai bună interpretare a unei disjuncții este sau exclusiv, există modalități de a o reprezenta folosind o combinație de disjuncție, conjuncție și negație. Motivul pentru care interpretăm pana ca fiind sau inclusiv mai degrabă decât sau exclusiv este că, deși putem construi un sau exclusiv dintr-o combinație a unei conectivități sau inclusiv cu alte conectivități funcționale de adevăr (așa cum tocmai am subliniat), nu există nici o modalitate de a construi un sau inclusiv din sau exclusiv și alte conectivități funcționale de adevăr.

Exercițiul 9

Traduceți următoarele propoziții în limba noastră formală folosind conjuncția (punctul), negația (tilda) sau disjuncția (pana). Folosiți constantele sugerate pentru a reprezenta propozițiile atomice.

1. Fie Bob va șterge pe jos, fie Tom va șterge pe jos. (B = Bob va șterge pe jos; T = Tom va șterge pe jos)
2. Astăzi nu este soare. (S = azi e soare)
3. Nu este cazul ca Bob să fie un spărgător. (B = Bob este un spargător)
4. Harry ajunge fie diseară, fie mâine seară. (A = Harry ajunge în seara asta; B = Harry ajunge mâine seară)
5. Lui Gareth nu-i place numele său. (G = Gareth îi place numele său)
6. Ori nu va ploua luni ori nu va ploua marți. (M = Luni va ploua; T = Marți va ploua)
7. Lui Tom nu-i place prăjitura cu brânză. (T = Lui Tom îi place prăjitura cu brânză)
8. Bob și-ar dori să aibă atât o pisică mare, cât și un câine mic, ca animal de companie. (C = Bob ar dori să aibă o pisică mare ca animal de companie; D = Bob ar dori să aibă un câine mic ca animal de companie)
9. Bob Saget nu este de fapt foarte amuzant. (B = Bob Saget este foarte amuzant)
10. Albert Einstein nu a crezut în Dumnezeu. (A = Albert Einstein a crezut în Dumnezeu)

Sursa: Matthew J. Van Cleave, Introduction to Logic and Critical Thinking, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2021 MultiMedia Publishing, Logica și gândirea critică în dezvoltarea personală, Volumul 1