Dovezi și cele opt forme valide de inferență în logică

Deși tabelele de adevăr sunt singura noastră metodă formală de a decide dacă un argument este valid sau invalid în logica propozițională, există o altă metodă formală de a demonstra că un argument este valid: metoda dovezii. Deși nu puteți construi o dovadă pentru a arăta că un argument este nevalid, puteți construi dovezi pentru a arăta că un argument este valid. Motivul pentru care dovezile sunt utile este că ne permit să arătăm că anumite argumente sunt valide mult mai eficient decât tabelele de adevăr. De exemplu, luați în considerare următorul argument:

1. (R ˅ S) ⸧ (T ⸧ K)
2. ~K
3. R ˅ S        /∴ ~T

(Notă: În această secțiune voi scrie concluzia argumentului din dreapta ultimei premise – în acest caz premisa 3. La fel ca înainte, concluzia pe care încercăm să o derivăm este notată cu semnul „de aceea”, „∴”) Am putea încerca să dovedim că acest argument este valid cu un tabel de adevăr, dar tabelul de adevăr ar avea 16 rânduri, deoarece există patru propoziții atomice diferite care apar în acest argument, R, S, T și K. Dacă ar fi 5 sau 6 propoziții atomice diferite, tabelul adevărului ar avea 32 sau 64 de linii! Cu toate acestea, după cum vom vedea în curând, am putea dovedi că acest argument este valid doar cu două linii suplimentare. Acesta pare un mod mult mai eficient de a stabili că acest argument este valid. Vom face acest lucru puțin mai târziu – după ce vom introduce cele 8 forme valide de inferență de care veți avea nevoie pentru a face dovezi. Fiecare linie a dovezii va fi justificată prin citarea uneia dintre aceste reguli, ultima linie a probei fiind concluzia pe care încercăm să o stabilim în cele din urmă. Voi introduce cele 8 forme valabile de inferență în grupuri, începând cu regulile care utilizează potcoava și negația.
Prima dintre cele 8 forme de inferență este „modus ponens”, care în latină înseamnă „mod care afirmă”. Modus ponens are următoarea formă:

1. p ⸧ q
2. p
3. ∴ q

Ceea ce spune această formă, în cuvinte, este că, dacă am făcut o afirmație condițională (p ⸧ q) și am afirmat, de asemenea, antecedentul acelei afirmații condiționate (p), atunci avem dreptul să deducem consecința acelei afirmații condiționate (q). De exemplu, dacă am afirmat condiționalul „dacă plouă, atunci solul este umed” și am afirmat și „plouă” (antecedentul acelui condițional) atunci eu (sau oricine altcineva, de altfel) am dreptul să afirm consecința condiționalului, „solul este umed”.

Ca și în cazul oricăror forme de inferență valide din această secțiune, putem demonstra că modus ponens este valid prin construirea unui tabel de adevăr. După cum vedeți din tabelul adevărului de mai jos, această formă de argument trece testul validității tabelului adevărului (deoarece nu există un rând al tabelului adevărului pentru care premisele să fie adevărate și totuși concluzia să fie falsă).

p	q	p ⸧ q	p	q
A	A	A	A	A
A	F	F	A	F
F	A	A	F	A
F	F	A	F	F

Astfel, orice argument care are aceeași formă este valid. De exemplu, următorul argument are, de asemenea, aceeași formă (modus ponens):

1. (A ∙ B) ⸧ C
2. (A ∙ B)
3. ∴ C

În acest argument putem afirma C conform regulii, modus ponens. Acest lucru este valabil chiar dacă antecedentul condiționalului este el însuși complex (adică este o conjuncție). Asta nu contează. Prima premisă este încă o afirmație condițională (deoarece potcoava este operatorul principal) și a doua premisă este antecedentul acelei afirmații condiționate. Regula modus ponens spune că, dacă avem atât de mult, avem dreptul să deducem consecința condiționalului.

Putem folosi de fapt modus ponens în primul argument al acestei secțiuni:

1. (R ˅ S) ⸧ (T ⸧ K)
2. ~K
3. R ​​˅ S        /∴ ~T
4. T ⸧ K      Modus ponens, linii 1,3

Ceea ce am făcut aici este că am scris forma validă de inferență (sau regulă) care justifică linia pe care o derivăm, precum și liniile pentru care se aplică regula respectivă, în dreapta noii linii a dovezii pe care am derivat-o. Aici am derivat „T ⸧ K” din liniile 1 și 3 ale argumentului prin modus ponens. Observați că linia 1 este o afirmație condițională și linia 3 este antecedentul acelei afirmații condiționate. Această dovadă nu este încă terminată, deoarece încă nu am tras concluzia pe care încercăm să o tragem, și anume „~ T”. Avem nevoie de o regulă diferită pentru a obține asta, pe care o vom introduce în continuare.

Următoarea formă de inferență se numește „modus tollens”, care este latina pentru „modul care neagă”. Modus tollens are următoarea formă:

1. p ⸧ q
2. ~q
3. ∴ ~p

Ceea ce spune această formă, în cuvinte, este că, dacă am afirmat o făcut condițională (p ⸧ q) și am afirmat, de asemenea, consecința negată a acelui condițional (~q), atunci avem dreptul să deducem antecedentul negat al acelei afirmații condiționale (~p). De exemplu, dacă am afirmat condiționalul, „dacă plouă, atunci pământul este umed” și am afirmat și „pământul nu este umed” (consecința negată a acelui condițional) atunci am dreptul să afirm antecedentul negat al condiționalul, „nu plouă”. Este important să vedem că orice argument care are această aceeași formă este un argument valid. De exemplu, următorul argument este, de asemenea, un argument cu aceeași formă:

1. C ⸧ (E ˅ F)
   2. ~(E ˅ F)
   3. ∴ ~C

În acest argument putem afirma ~C conform regulii, modus tollens. Acest lucru este valabil chiar dacă consecința condiționalului este ea însăși complexă (adică este o disjuncție). Asta nu contează. Prima premisă este încă o afirmație condițională (deoarece potcoava este operatorul principal) și a doua premisă este consecința negată a acelei afirmații condiționate. Regula modus tollens spune că, dacă avem atât de mult, avem dreptul să deducem antecedentul negativ al condiționalului.

Putem folosi modus tollens pentru a completa dovada pe care am început-o mai sus:

1. (R ˅ S) ⸧ (T ⸧ K)
2. ~K
3. R ​​˅ S        /∴ ~T
4. T ⸧ K      Modus ponens, linii 1,3
5. ~T            Modus tollens, liniile 2, 4

Observați că ultima linie a dovezii este concluzia pe care ar trebui să o derivăm și că fiecare afirmație pe care am derivat-o (adică, liniile 4 și 5) are o regulă în dreapta. Această regulă citată este regula care justifică afirmația care se derivă, iar liniile citate sunt liniile anterioare ale dovezii, unde putem vedea că regula se aplică. Aceasta este ceea ce se numește o dovadă. O dovadă este o serie de enunțuri, începând cu premisele și terminând cu concluzia, în care fiecare afirmație suplimentară după premisă este derivată din unele rânduri anterioare ale dovezii folosind una dintre formele valabile de inferență. Vom practica acest lucru mai mult în exercițiul de la sfârșitul acestei secțiuni.

Următoarea formă de inferență se numește „silogism ipotetic”. Aceasta este ceea ce filosofii antici numeau „argumentul lanțului” și ar trebui să fie evident imediat de ce. Iată forma regulii:

1. p ⸧ q
2. q ⸧ r
3. ∴ p ⸧ r

După cum puteți vedea, concluzia acestui argument leagă p și r împreună într-o declarație condițională. Am putea continua să adăugăm condiționali precum „r ⸧ s” și „s ⸧ t”, iar inferențele ar fi la fel de valide. Și dacă le-am aliniat pe toate așa cum am prezentat mai jos, puteți vedea de ce filosofii antici s-au referit la această formă de argument validă ca „argument în lanț”:

p ⸧ q
q ⸧ r
r ⸧ s
s ⸧ t
∴ p ⸧ t

Observați cum consecința fiecărei afirmații condiționale precedente se leagă de antecedentul următoarei afirmații condiționate în așa fel încât să se creeze un lanț. Lanțul ar putea fi atâta timp cât dorim, dar regula pe care o vom cita în dovezile noastre conectează doar două afirmații condiționale diferite împreună. La fel ca înainte, este important să ne dăm seama că orice argument cu aceeași formă este un argument valid. De exemplu,

1. (A ˅ B) ⸧ ~D
2. ~D ⸧ C
3. ∴ (A ˅ B) ⸧ C

Observați că consecința primei premise și antecedentul celei de-a doua premise sunt exact același termen, „~D”. Asta ne permite să „legăm” antecedentul primei premise și consecința celei de-a doua premise împreună într-un „lanț” pentru a deduce concluzia. A putea recunoaște formele acestor inferențe este o abilitate importantă pe care va trebui să o cunoașteți pentru a face dovezi.

Următoarele patru forme de inferență pe care le vom introduce utilizează conjuncția, disjuncția și negarea în moduri diferite. Vom începe cu regula numită „simplificare”, care are următoarea formă:

1. p ∙ q
2. ∴ p

Ceea ce spune această regulă, în cuvinte, este că, dacă am afirmat o conjuncție, atunci avem dreptul să deducem oricare dintre conjuncte. Aceasta este regula pe care am introdus-o în prima secțiune a acestui capitol. Este o regulă destul de „evidentă” – atât de evidentă, de fapt, încât ne-am putea întreba chiar și de ce trebuie să o afirmăm. Cu toate acestea, orice formă de inferență pe care o vom introduce în această secțiune ar trebui să fie evidentă – acesta este motivul de a le numi forme de bază de inferență. Acestea sunt unele dintre cele mai simple forme de inferență, a căror validitate ar trebui să fie transparentă. Ideea unei dovezi este că, deși inferența făcută în argument nu este evidentă, putem descompune această inferență în trepte, fiecare dintre acestea fiind evidentă. Astfel, inferențele evidente justifică în cele din urmă inferența neevidentă făcută în argument. Aceste inferențe evidente funcționează astfel ca reguli pe care le folosim pentru a justifica fiecare etapă a dovezii. Simplificarea este un prim exemplu al uneia dintre regulile mai evidente.

La fel ca înainte, este important să ne dăm seama că orice inferență care are aceeași formă ca simplificarea este o inferență valabilă. De exemplu,

1. (A ˅ B) ∙ ~(C ∙ D)
2. ∴ (A ˅ B)

este o deducție validă, deoarece are aceeași formă ca simplificarea. Adică, linia 1 este o conjuncție (deoarece punctul este operatorul principal al propoziției) și linia 2 deduce una dintre conjunctele acelei conjuncții din linia 1. (Gândiți-vă doar la „A ˅ B” ca la „p” și „~(C ∙ D)” ca „q”.)

Următoarea regulă pe care o vom introduce se numește „conjuncție” și este ca inversul simplificării. (Nu confundați regula numită conjuncție cu tipul de propoziție complexă numită conjuncție.) Conjuncția are următoarea formă:

1. p
2. q
3. ∴ p ∙ q

Ceea ce spune această regulă, în cuvinte, este că, dacă ați afirmat două propoziții diferite, atunci aveți dreptul să afirmați conjuncția acestor două propoziții. Ca și înainte, este important să ne dăm seama că orice inferență care are aceeași formă ca și conjuncția este o inferență valabilă. De exemplu,

1. A ⸧ B
2. C ˅ D
3. (A ⸧ B) ∙ (C ˅ D)

este o inferență validă, deoarece are aceeași formă ca și conjuncția. Pur și simplu îmbinăm două propoziții împreună; nu contează dacă aceste propoziții sunt atomice sau complexe. În acest caz, desigur, propozițiile pe care le unim sunt complexe, dar atâta timp cât aceste propoziții au fost deja afirmate ca premise în argument (sau derivate de o altă formă validă de inferență), le putem îmbina într-o conjuncție.

Următoarea formă de inferență pe care o vom introduce se numește „silogism disjunctiv” și are următoarea formă:

1. p ˅ q
2. ~p
3. ∴ q

În cuvinte, această regulă afirmă că, dacă am afirmat o disjuncție și am afirmat negarea unuia dintre disjuncti, atunci avem dreptul să afirmăm cealaltă disjuncție. Odată ce vă gândești la asta, această inferență ar trebui să fie destul de evidentă. Dacă luăm ca atare adevărul premiselor – că fie p, fie q este adevărat; și că p nu este adevărat – atunci trebuie să urmeze că q este adevărat pentru ca disjuncția originală să fie adevărată. (Amintiți-vă că trebuie să presupunem că premisele sunt adevărate atunci când evaluăm dacă un argument este valid.) Dacă afirm că este adevărat că fie Bob, fie Linda au furat diamantul și afirm că Bob nu a furat diamantul, atunci trebuie să urmează că Linda a făcut-o. Acesta este un silogism disjunctiv. Ca și înainte, orice argument care are aceeași formă este un argument valid. De exemplu,

1. ~A ˅ (B ∙ C)
2. ~~A
3. ∴ B ∙ C

este o inferență validă, deoarece are aceeași formă ca silogismul disjunctiv. Prima premisă este o disjuncție (deoarece pana este operatorul principal), a doua premisă este pur și simplu negarea disjunctului stâng, „~A”, iar concluzia este disjunctul drept al disjuncției originale. Vă poate ajuta să vedeți forma argumentului dacă tratați „~ A” ca p și „B ∙ C” ca q. De asemenea, observați că a doua premisă conține o dublă negație. Gramatica vă poate spune să nu folosiți niciodată duble negative, dar în ceea ce privește logica, nu este absolut nimic în neregulă cu o dublă negație. În acest caz, disjunctul nostru stâng în premisa 1 este el însuși o negație, în timp ce premisa 2 este pur și simplu o negare a disjunctului stâng.

Următoarea regulă pe care o vom introduce se numește „adiția”. Nu este o regulă la fel de „evidentă” ca cele pe care le-am introdus mai sus. Cu toate acestea, odată ce înțelegeți condițiile în care o disjuncție este adevărată, atunci ar trebui să fie evident de ce această formă de inferență este validă. Adiția are următoarea formă:

1. p
2. ∴ p ˅ q

Ceea ce spune această regulă, în cuvinte, este că, dacă am afirmat vreo propoziție, p, atunci avem dreptul să afirmăm disjuncția acelei propoziții p și orice altă propoziție q dorim. Iată simpla justificare a regulii. Dacă știm că p este adevărat și o disjuncție este adevărată dacă cel puțin una dintre disjuncții este adevărată, atunci știm că disjuncția p ˅ q este adevărată chiar dacă nu știm dacă q este adevărată sau falsă. De ce? Pentru că nu contează dacă q este adevărată sau falsă, deoarece știm deja că p este adevărată. Cel mai greu de înțeles despre această regulă este de ce am vrea vreodată să o folosim. Cel mai bun răspuns pe care vi-l pot oferi acum este că ne poate ajuta atunci când facem dovezi. (3)

La fel ca înainte, este important să ne dăm seama că orice argument care are aceeași formă este un argument valid. De exemplu,

1. A ˅ B
2. ∴ (A ˅ B) ˅ (~C ˅ D)

este o inferență validă, deoarece are aceeași formă ca adiția. Prima premisă face o afirmație (care în acest caz este complexă – o disjuncție), iar concluzia este o disjuncție a acelei afirmații și a unei alte afirmații. În acest caz, acea altă afirmație este ea însăși complexă (o disjuncție). Dar un argument sau inferență pot avea aceeași formă, indiferent dacă componentele acelor propoziții sunt atomice sau complexe. Aceasta este lecția importantă pe care am încercat să o aprofundez în această secțiune.

Ultima din cele 8 forme valide de inferență se numește „dilemă constructivă” și este cea mai complicată dintre toate. Poate fi cel mai util să o introducem folosind un exemplu. Să presupunem că am argumentat astfel:

Criminalul este fie la mansardă, fie la subsol. Dacă criminalul se află la mansardă atunci este deasupra mea. Dacă criminalul se află la subsol, atunci este sub mine. Prin urmare, criminalul este fie _________ fie _________.

Puteți completa spațiile libere cu expresiile care ar face valabil acest argument? Bănuiesc că puteți. Ar trebui să fie destul de evident. Concluzia argumentului este următoarea:

Criminalul este fie deasupra mea, fie sub mine.

Faptul că acest argument este valid ar trebui să fie evident (vă puteți imagina un scenariu în care toate premisele sunt adevărate și totuși concluzia este falsă?). Ceea ce s-ar putea să nu fie la fel de evident este forma pe care o are acest argument. Cu toate acestea, ar trebui să puteți identifica acel formular dacă utilizați instrumentele pe care le-ați învățat până acum. Prima premisă este o disjuncție. A doua premisă este o afirmație condițională al cărei antecedent este disjuncția stângă a disjuncției din prima premisă. Iar a treia premisă este o afirmație condițională al cărei antecedent este disjuncția corectă a disjuncției din prima premisă. Concluzia este disjuncția consecințelor condiționalelor din premisele 2 și 3. Iată această formă de inferență folosind simboluri:

1. p ˅ q
2. p ⸧ r
3. q ⸧ s
4. ∴ r ˅ s

Nota

(3) Un răspuns mai bun este că avem nevoie de această regulă pentru a face ca acest set de reguli pe care le prezint să fie un set complet de reguli. Adică, fără el, ar exista argumente valide, dar pe care nu le putem arăta, sunt valabile folosind acest set de reguli. În domenii mai avansate ale logicii, cum ar fi metalogica, logicienii încearcă să demonstreze lucruri despre un anumit sistem de logică, cum ar fi demonstrarea faptului că sistemul este solid și complet.

Exercițiul 16

Completați spațiile libere cu forma validă de inferență care este folosită și liniile din care rezultă inferența. Notă: concluzia este scrisă în dreapta ultimei premise, după simboluri.

Exemplul 1:

1. M ⸧ ~N
2. M
3. H ⸧ N            /∴ ~H
4. ~N                Modus ponens, 1, 2
5. ~H                Modus tollens, 3, 4

Exemplul 2:

1. A ˅ B
   2. C ⸧ D
   3. A ⸧ C
   4. ~D            /∴ B
   5. A ⸧ D      Silogism ipotetic, 3, 2
   6. ~A            Modus tollens, 5, 4
   7. B              Silogism disjunctiv, 1, 6

# 1

1. A ∙ C /∴ (A v E) ∙ (C ˅ D)
   2. A _________________
   3. C _________________
   4. A ˅ E _________________
   5. C ˅ D _________________
   6. (A ˅ E) ∙ (C ˅ D) ______________

# 2

1. A ⸧ (B ⸧ D)
   2. ~D
   3. D ˅ A /∴ ~B
   4. A _________________
   5. B ⸧ D _________________
   6. ~B _________________

# 3

1. A ⸧ ~B
   2. A ˅ C
   3. ~~B ∙ D /∴ C
   4. ~~B _________________
   5. ~A _________________
   6. C _________________

#4

1. A ⸧ B
   2. A ∙ ~D
   3. B ⸧ C /∴ C ⸧ ~D
   4. A _________________
   5. A ⸧ C _________________
   6. C _________________
   7. ~D ________________
   8. C ∙ ~D _________________

#5

1. C
   2. A ⸧ B
   3. C ⸧ D
   4. D ⸧ E /∴ E ˅ B
   5. C ⸧ E _________________
   6. C ˅ A _________________
   7. E ˅ B _________________

#6

1. (A ˅ M) ⸧ R
   2. (L ⸧ R) ∙ ~R
   3. ~(C ∙ D) v (A ˅ M) /∴ ~(C ∙ D)
   4. ~R _______________
   5. ~(A ˅ M) _______________
   6. ~(C ∙ D) _______________

#7

1. (H ∙ K) ⸧ L
   2. ~R ∙ K
   3. K ⸧ (H ˅ R) /∴ L
   4. K _________________
   5. H ˅ R _________________
   6. ~R _________________
   7. H _________________
   8. H ∙ K _________________
   9. L _________________

#8

1. C ⸧ B
   2. ~D ∙ ~B
   3. (A ⸧ (B ⸧ C)) ˅ D
   4. A ˅ C /∴ B ⸧ C
   5. ~D _________________
   6. A ⸧ (B ⸧ C) _____________
   7. ~B _________________
   8. ~C __________________
   9. A __________________
   10. B ⸧ C __________________
   11. ~B __________________
   12. (B ⸧ C) ˅ B __________________

Sursa: Matthew J. Van Cleave, Introduction to Logic and Critical Thinking, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2021 MultiMedia Publishing, Logica și gândirea critică în dezvoltarea personală, Volumul 1