Echivalența materială în logica propozițională

Două fraze simbolice diferite pot traduce aceeași frază. „~S ⸧ R” și „S ˅ R” sunt echivalente. Mai exact, ele sunt modalități echivalente de a surprinde relația funcțională de adevăr dintre propoziții. Două propoziții sunt echivalente material dacă și numai dacă au aceeași valoare de adevăr pentru fiecare atribuire de valori de adevăr propozițiilor atomice. Adică au aceleași valori de adevăr pe fiecare rând al unei tabele de adevăr. Tabelul adevărului de mai jos demonstrează că „~S ⸧ R” și „S ˅ R” sunt echivalente din punct de vedere material.

R	S	~S ⸧ R		S ˅ R
A	A	F	A	A
A	F	A	A	A
F	A	F	A	A
F	F	A	F	F

Dacă vă uitați la valorile adevărului de sub operatorii principali ai fiecărei fraze, puteți vedea că valorile lor de adevăr sunt identice pe fiecare rând. Asta înseamnă că cele două afirmații sunt echivalente din punct de vedere material și pot fi utilizate în mod interschimbabil, în măsura în care funcționează logica propozițională.

Să demonstrăm echivalența materială cu un alt exemplu. Am văzut că putem traduce afirmațiile „nici nici” ca o conjuncție a două negații. Deci, o declarație a formei, „nici p, nici q” nu poate fi tradusă:

~p ∙ ~q

Dar un alt mod de a traduce afirmațiile acestei forme este ca negarea unei disjuncții, ca aceasta:

~(p ˅ q)

Putem dovedi că aceste două afirmații sunt material echivalente cu un tabel de adevăr (mai jos).

p	q	~p ∙ ~q			~(p ˅ q)
A	A	F	F	F	F	A
A	F	F	F	A	F	A
F	A	A	F	F	F	A
F	F	A	A	A	A	F

Din nou, după cum puteți vedea din tabelul adevărului, valorile adevărului sub operatorii principali ai fiecărei propoziții sunt identice pe fiecare rând (adică pentru fiecare atribuire a valorilor adevărului la propozițiile atomice).

De fapt, există un al cincilea conectiv funcțional de adevăr numit „echivalență materială” sau „bicondițional” care este definit ca adevărat atunci când propozițiile atomice împărtășesc aceeași valoare de adevăr și fals atunci când adevărul are valori diferite. Deși nu ne vom baza pe bicondițional, vă ofer tabelul de adevăr pentru acesta mai jos. Bicondiționalul este reprezentat folosind simbolul „≡” care se numește „tribar”.

p	q	p ≡ q
A	A	A
A	F	F
F	A	F
F	F	A

Unele moduri obișnuite de exprimare a bicondiționalului sunt cu expresiile „dacă și numai dacă” și „doar în cazul în care”. Folosim des expresia „dacă și numai dacă”. Este cel mai frecvent utilizată atunci când se dă o definiție, cum ar fi definiția validității și, de asemenea, în definirea „echivalenței materiale” chiar în această secțiune. Are sens că bicondiționalul ar fi folosit în acest mod, deoarece atunci când definim ceva, stabilim un mod echivalent de a-l spune.