Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Mecanica » Sisteme de coordonate

Sisteme de coordonate

Vectorii sunt de obicei descriși în termenii componentelor lor într-un sistem de coordonate. Chiar și în viața de zi cu zi invocăm în mod natural conceptul de proiecții ortogonale într-un sistem de coordonate dreptunghiular. De exemplu, dacă cereți cuiva indicații către o anumită locație, mai probabil vi se va spune să mergeți 40 km est și 30 km nord decât 50 km în direcția 37° la nord de est.

Într-un sistem de coordonate xy dreptunghiular (cartezian) într-un plan, un punct dintr-un plan este descris de o pereche de coordonate (x, y). Într-un mod similar, un vector A într-un plan este descris de o pereche de coordonatele sale vectoriale. Coordonata x a vectorului A se numește componenta sa x, iar coordonata y a vectorului A se numește componenta sa y. Vectorul componenta x este un vector notat cu Ax. Vectorul componenta y este un vector notat cu Ay. În sistemul cartezian, componentele vectoriale x și y ale unui vector sunt proiecțiile ortogonale ale acestui vector pe axele x și, respectiv, y. În acest fel, urmând regula paralelogramului pentru adunarea vectorială, fiecare vector dintr-un plan cartezian poate fi exprimat ca suma vectorială a componentelor sale vectoriale:

(2.10)  A⃗ = A⃗x + A⃗y.

După cum este ilustrat în Figura 2.16, vectorul A este diagonala dreptunghiului unde componenta x, Ax este latura paralelă cu axa x și componenta y, Ay este latura paralelă cu axa y. Componenta vectorială Ax este ortogonală cu componenta vectorială Ay.

Sisteme de coordonateFigura 2.16 Vectorul A într-un plan în sistemul de coordonate carteziene este suma vectorială a componentelor x și y ale vectorului său. Componenta vectorului x, Ax, este proiecția ortogonală a vectorului A pe axa x. Componenta vectorială y, Ay, este proiecția ortogonală a vectorului A pe axa y. Numerele Ax și Ay care înmulțesc vectorii unitari sunt componentele scalare ale vectorului.

Se obișnuiește să se noteze direcția pozitivă pe axa x cu vectorul unitar și direcția pozitivă pe axa y prin vectorul unitar . Vectorii unitari ai axelor, si , definesc doua direcții ortogonale în plan. După cum se arată în Figura 2.16, componentele x și y ale unui vector pot fi acum scrise în termeni de vectori unitari ai axelor:

(2.11)  Ax = Axiˆ

Ay = Ayjˆ.

Vectorii Ax și Ay definiți prin ecuația 2.11 sunt componentele vectoriale ale vectorului A. Numerele Ax și Ay care definesc componentele vectoriale din ecuația 2.11 sunt componentele scalare ale vectorului A. Combinând ecuația 2.10 cu ecuația 2.11, obținem forma componentă a unui vector:

(2.12)  A = Axiˆ + Ayjˆ.

 

Dacă cunoaștem coordonatele b(xb,yb) ale punctului de origine al unui vector (unde b reprezintă „începutul”) și coordonatele e(xe,ye) ale punctului final al unui vector (unde e reprezintă „sfârșitul”), putem obține componentele scalare ale unui vector pur și simplu scăzând coordonatele punctului de origine din coordonatele punctului final:

(2.13) Ax = xe − xb

Ay = ye − yb.

 

EXEMPLUL 2.3

Deplasarea unui indicator al mouse-ului

Un indicator al mouse-ului de pe monitorul de afișare al unui computer în poziția sa inițială se află într-un punct (6,0 cm, 1,6 cm) față de colțul din stânga jos. Dacă mutați indicatorul pe o pictogramă situată într-un punct (2,0 cm, 4,5 cm), care este vectorul de deplasare al indicatorului?

Strategie

Originea sistemului de coordonate xy este colțul din stânga jos al monitorului computerului. Prin urmare, vectorul unitar iˆ de pe axa x este îndreptat orizontal spre dreapta, iar vectorul unitar de pe axa y este îndreptat vertical în sus. Originea vectorului deplasare este situată în punctul b(6,0, 1,6) iar sfârșitul vectorului deplasării este situat în punctul e(2,0, 4,5). Înlocuiți coordonatele acestor puncte în ecuația 2.13 pentru a găsi componentele scalare Dx și Dy ale vectorului deplasare D . În cele din urmă, înlocuiți coordonatele în ecuația 2.12 pentru a scrie vectorul deplasare în forma componentei vectoriale.

Soluție

Identificăm xb = 6,0, xe = 2,0, yb = 1,6 și ye = 4,5, unde unitatea fizică este de 1 cm. Componentele scalare x și y ale vectorului deplasare sunt

Dx = xe − xb = (2,0 − 6,0) cm = −4,0 cm,

Dy = ye – yb = (4,5 − 1,6) cm = +2,9 cm.

Forma componentei vectoriale a vectorului deplasare este

(2.14)   D = Dxiˆ + Dyjˆ = (−4,0 cm)iˆ + (2,9 cm)jˆ = (−4,0iˆ + 2,9jˆ) cm.

Această soluție este prezentată în Figura 2.17.

Sisteme de coordonateFigura 2.17 Graficul vectorului deplasare. Vectorul indică de la punctul de origine de la b până la punctul final de la e.

Semnificație

Observați că unitatea fizică — aici, 1 cm — poate fi plasată fie cu fiecare componentă imediat înaintea vectorului unitar, fie global pentru ambele componente, ca în ecuația 2.14. Adesea, cel din urmă mod este modul mai convenabil, deoarece este mai simplu.

Componenta vectorială x, Dx = −4.0iˆ = 4.0(−iˆ) a vectorului deplasare are mărimea ∣Dx∣ = ∣−4,0∣∣iˆ∣ = 4,0 deoarece mărimea unității vectorul este ∣iˆ∣ = 1. Observați, de asemenea, că direcția componentei x este −iˆ, care este antiparalelă cu direcția axei +x; prin urmare, componenta vectorială x, Dx, indică spre stânga, așa cum se arată în Figura 2.17. Componenta scalară x a vectorului D este Dx = −4,0.

În mod similar, componenta vectorială y, Dy = +2.9jˆ a vectorului deplasare are mărimea ∣Dy∣ = ∣2,9∣∣jˆ∣ = 2,9 deoarece mărimea vectorului unitar este ∣jˆ∣ = 1. Direcția componentei y este +jˆ, care este paralelă cu direcția axei +y. Prin urmare, componenta vectorială y, Dy, este orientat în sus, așa cum se vede în Figura 2.17. Componenta scalară y a vectorului D este Dy = +2,9. Vectorul deplasare D este rezultanta celor două componente vectoriale ale sale.

Forma componentei veectoriale a vectorului de deplasare Ecuația 2.14 ne spune că indicatorul mouse-ului a fost mutat pe monitor cu 4,0 cm la stânga și 2,9 cm în sus față de poziția sa inițială.

 

EXERCIȚIUL 2.4

O muscă albastră aterizează pe o foaie de hârtie milimetrică într-un punct situat la 10,0 cm la dreapta marginii sale stângi și la 8,0 cm deasupra marginii sale inferioare și merge încet până la un punct situat la 5,0 cm de marginea stângă și la 5,0 cm de marginea de jos . Alegeți sistemul de coordonate dreptunghiular cu originea în colțul din stânga jos al hârtiei și găsiți vectorul de deplasare al muștei. Ilustrați-vă soluția prin grafic.

 

Când cunoaștem componentele scalare Ax și Ay ale unui vector A, putem găsi mărimea lui A și unghiul său de direcție θA. Unghiul de direcție – sau direcția, pe scurt – este unghiul pe care îl formează vectorul cu direcția pozitivă pe axa x. Unghiul θA se măsoară în sens invers acelor de ceasornic de la axa +x la vector (Figura 2.18). Deoarece lungimile A, Ax și Ay formează un triunghi dreptunghic, ele sunt legate prin teorema lui Pitagora:

(2.15)  A2 = A2x + A2y ⇔ A = √( A2x + A2y).

Această ecuație funcționează chiar dacă componentele scalare ale unui vector sunt negative. Unghiul de direcție θA al unui vector este definit prin funcția tangentă a unghiului θA din triunghiul prezentat în figura 2.18:

(2.16)  tanθ = Ay/Ax

Sisteme de coordonateFigura 2.18 Când vectorul se află fie în primul cadran, fie în al patrulea cadran, unde componenta Ax este pozitivă (Figura 2.19), unghiul de direcție θA din ecuația 2.16) este identic cu unghiul θ.

Când vectorul se află fie în primul cadran, fie în al patrulea cadran, unde componenta Ax este pozitivă (Figura 2.19), unghiul θ din ecuația 2.16 este identic cu unghiul de direcție θA. Pentru vectorii din al patrulea cadran, unghiul θ este negativ, ceea ce înseamnă că pentru acești vectori, unghiul de direcție θA este măsurat în sensul acelor de ceasornic de la axa x pozitivă. În mod similar, pentru vectorii din al doilea cadran, unghiul θ este negativ. Când vectorul se află fie în al doilea, fie în al treilea cadran, unde componenta Ax este negativă, unghiul de direcție este θA = θ + 180° (Figura 2.19).

Sisteme de coordonateFigura 2.19 Componentele scalare ale unui vector pot fi pozitive sau negative. Vectorii din primul cadran (I) au ambele componente scalare pozitive, iar vectorii din al treilea cadran au ambele componente scalare negative. Pentru vectorii din cadranele II și III, unghiul de direcție al unui vector este θA = θ + 180°.

EXEMPLUL 2.4

Mărimea și direcția vectorului de deplasare

Mutați un indicator al mouse-ului de pe monitorul de afișare din poziția sa inițială la un punct (6,0 cm, 1,6 cm) la o pictogramă situată la un punct (2,0 cm, 4,5 cm). Care sunt mărimea și direcția vectorului de deplasare al indicatorului?

Strategie

În Exemplul 2.3, am găsit vectorul de deplasare D al indicatorului mouse-ului (vezi Ecuația 2.14). Identificăm componentele sale scalare Dx = −4,0 cm și Dy = +2,9 cm și înlocuim în ecuația 2.15 și în ecuația 2.16 pentru a găsi magnitudinea D și, respectiv, direcția θD.

Soluție

Mărimea vectorului D este

D = √(D2x + D2y) = √((−4,0 cm)2 + (2,9 cm)2) = √((4,0)2 + (2,9)2) cm = 4,9 cm.

Unghiul de direcție este

tanθ = Dy/Dx = +2,9 cm/−4,0 cm = −0,725 ⇒ θ = tan−1(−0,725) = −35,9°.

Vectorul D se află în al doilea cadran, deci unghiul său de direcție este

θD = θ + 180° = −35,9°+180° = 144,1°.

 

EXERCIȚIUL 2.5

Dacă vectorul deplasării unei muște albastre care merge pe o foaie de hârtie milimetrică este D = (−5,00iˆ − 3,00jˆ) cm, găsiți mărimea și direcția acestuia.

 

În multe aplicații, mărimile și direcțiile mărimilor vectoriale sunt cunoscute și trebuie să găsim rezultanta multor vectori. De exemplu, imaginați-vă 400 de mașini care se deplasează pe podul Golden Gate din San Francisco într-un vânt puternic. Fiecare mașină dă podului o împingere diferită în diferite direcții și am dori să știm cât de mare poate fi împingerea rezultată. Am acumulat deja ceva experiență în construcția geometrică a sumelor vectoriale, așa că știm că sarcina de a găsi rezultanta prin desenarea vectorilor și măsurarea lungimii și unghiurilor acestora poate deveni destul de rapid insolubilă, ceea ce duce la erori uriașe. Griji ca aceasta nu apar atunci când folosim metode analitice. Primul pas într-o abordare analitică este găsirea componentelor vectoriale atunci când direcția și mărimea unui vector sunt cunoscute.

Să revenim la triunghiul dreptunghic din figura 2.18. Coeficientul laturii adiacente Ax la ipotenuza A este funcția cosinus a unghiului de direcție θA, Ax/A = cosθA, iar raportul laturii opuse Ay la ipotenuza A este funcția sinus a lui θA, Ay/A = sinθA . Când magnitudinea A și direcția θA sunt cunoscute, putem rezolva aceste relații pentru componentele scalare:

(2.17) Ax = AcosθA

Ay = AsinθA.

 

Când se calculează componente vectoriale cu ecuația 2.17, trebuie avut grijă cu unghiul. Unghiul de direcție θA al unui vector este unghiul măsurat în sens invers acelor de ceasornic de la direcția pozitivă pe axa x la vector. Măsurarea în sensul acelor de ceasornic dă un unghi negativ.

EXEMPLUL 2.5

Componentele vectorilor de deplasare

O grupă de salvare a unui copil dispărut urmărește un câine de căutare pe nume Trooper. Trooper rătăcește mult și face multe adulmecări de probă pe multe căi diferite. Trooper găsește în cele din urmă copilul și povestea are un final fericit, dar deplasările sale pe diverse căi par a fi cu adevărat complicate. Pe una dintre căi merge 200,0 m spre sud-est, apoi aleargă spre nord aproximativ 300,0 m. Pe a treia cale, el examinează cu atenție parfumurile timp de 50,0 m în direcția 30° vest de la nord. Pe a patra cale, Trooper merge direct spre sud 80,0 m, miroase un parfum proaspăt și se întoarce la 23° vest de la sud pe 150,0 m. Găsiți componentele scalare ale vectorilor de deplasare ai lui Trooper și vectorii săi de deplasare sub formă de componente vectoriale pentru fiecare cale.

Strategie

Să adoptăm un sistem de coordonate dreptunghiulare cu axa x pozitivă în direcția estului geografic, cu direcția y pozitivă îndreptată spre nordul geografic. În mod explicit, vectorul unitar al axei x indică spre est și vectorul unitar al axei y indică spre nord. Trooper merge pe cinci căi, deci există cinci vectori de deplasare. Începem prin a identifica mărimile și unghiurile de direcție ale acestora, apoi folosim ecuația 2.17 pentru a găsi componentele scalare ale deplasărilor și ecuația 2.12 pentru vectorii de deplasare.

Soluție

Pe prima cale, magnitudinea deplasării este L1 = 200,0m și direcția este sud-est. Pentru unghiul de direcție θ1 putem lua fie 45° măsurat în sensul acelor de ceasornic din direcția est, fie 45° + 270° măsurat în sens invers acelor de ceasornic din direcția est. Cu prima alegere, θ1 = −45°. Cu a doua alegere, θ1 = +315°. Putem folosi oricare dintre aceste două unghiuri. Componentele sunt

L1x = L1cosθ1 = (200,0 m)cos315° = 141,4 m,

L1y = L1sinθ1 = (200,0 m)sin315° = −141,4m.

Vectorul deplasare al primului segment este

L1 = L1xiˆ + L1yjˆ = (141,4iˆ − 141,4jˆ) m.

În a doua etapă a rătăcirii lui Trooper, magnitudinea deplasării este L2 = 300,0 m și direcția este nord. Unghiul de direcție este θ2 = +90°. Obținem următoarele rezultate:

L2x = L2cosθ2 = (300,0 m)cos90° = 0,0,

L2y = L2sinθ2 = (300,0 m)sin90° = 300,0 m,

L⃗2 = L2xiˆ + L2yjˆ = (300,0m)jˆ.

Pe al treilea segment, magnitudinea deplasării este L3 = 50,0 m și direcția este la 30° vest de la nord. Unghiul de direcție măsurat în sens invers acelor de ceasornic față de direcția de est este θ3 = 30° + 90° = +120°. Aceasta oferă următoarele răspunsuri:

L3x = L3cosθ3 = (50,0 m)cos120° = −25,0 m,

L3y = L3sinθ3 = (50,0 m)sin120° = +43,3 m,

L⃗3 = L3xiˆ + L3yjˆ = (−25,0iˆ + 43,3jˆ) m.

În a patra etapă a excursiei, magnitudinea deplasării este L4 = 80,0 m și direcția este sud. Unghiul de direcție poate fi considerat fie θ4 = −90°, fie θ4 = +270°. Obținem

L4x = L4cosθ4 = (80,0 m)cos(−90°) = 0,

L4y = L4sinθ4 = (80,0 m)sin(−90°) = −80,0 m,

L⃗4 = L4xiˆ + L4yjˆ = (−80,0 m)jˆ.

Pe ultimul drum, magnitudinea este L5 = 150,0 m și unghiul este θ5 = −23°+270° = +247° (23° vest de sud), ceea ce dă

L5x = L5cosθ5 = (150,0 m)cos247° = −58,6 m,

L5y = L5sinθ5 = (150,0 m)sin247° = −138,1 m,

L⃗5 = L5xiˆ + L5yjˆ = (−58,6iˆ − 138,1jˆ) m.

 

EXERCIȚIUL 2.6

Dacă Trooper aleargă 20 m spre vest înainte de a se odihni, care este vectorul său de deplasare?

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4,99 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.

%d blogeri au apreciat: