Vectorii sunt de obicei descriși în termenii componentelor lor într-un sistem de coordonate. Chiar și în viața de zi cu zi invocăm în mod natural conceptul de proiecții ortogonale într-un sistem de coordonate dreptunghiular. De exemplu, dacă cereți cuiva indicații către o anumită locație, mai probabil vi se va spune să mergeți 40 km est și 30 km nord decât 50 km în direcția 37° la nord de est.
Într-un sistem de coordonate xy dreptunghiular (cartezian) într-un plan, un punct dintr-un plan este descris de o pereche de coordonate (x, y). Într-un mod similar, un vector A⃗ într-un plan este descris de o pereche de coordonatele sale vectoriale. Coordonata x a vectorului A⃗ se numește componenta sa x, iar coordonata y a vectorului A⃗ se numește componenta sa y. Vectorul componenta x este un vector notat cu A⃗x. Vectorul componenta y este un vector notat cu A⃗y. În sistemul cartezian, componentele vectoriale x și y ale unui vector sunt proiecțiile ortogonale ale acestui vector pe axele x și, respectiv, y. În acest fel, urmând regula paralelogramului pentru adunarea vectorială, fiecare vector dintr-un plan cartezian poate fi exprimat ca suma vectorială a componentelor sale vectoriale:
(2.10) A⃗ = A⃗x + A⃗y.
După cum este ilustrat în Figura 2.16, vectorul A⃗ este diagonala dreptunghiului unde componenta x, A⃗x este latura paralelă cu axa x și componenta y, A⃗y este latura paralelă cu axa y. Componenta vectorială A⃗x este ortogonală cu componenta vectorială A⃗y.
Figura 2.16 Vectorul A⃗ într-un plan în sistemul de coordonate carteziene este suma vectorială a componentelor x și y ale vectorului său. Componenta vectorului x, A⃗x, este proiecția ortogonală a vectorului A⃗ pe axa x. Componenta vectorială y, A⃗y, este proiecția ortogonală a vectorului A⃗ pe axa y. Numerele Ax și Ay care înmulțesc vectorii unitari sunt componentele scalare ale vectorului.
Se obișnuiește să se noteze direcția pozitivă pe axa x cu vectorul unitar iˆ și direcția pozitivă pe axa y prin vectorul unitar jˆ. Vectorii unitari ai axelor, iˆ si jˆ, definesc doua direcții ortogonale în plan. După cum se arată în Figura 2.16, componentele x și y ale unui vector pot fi acum scrise în termeni de vectori unitari ai axelor:
(2.11) A⃗x = Axiˆ
A⃗y = Ayjˆ.
Vectorii A⃗x și A⃗y definiți prin ecuația 2.11 sunt componentele vectoriale ale vectorului A⃗. Numerele Ax și Ay care definesc componentele vectoriale din ecuația 2.11 sunt componentele scalare ale vectorului A⃗. Combinând ecuația 2.10 cu ecuația 2.11, obținem forma componentă a unui vector:
| (2.12) A⃗ = Axiˆ + Ayjˆ. |
Dacă cunoaștem coordonatele b(xb,yb) ale punctului de origine al unui vector (unde b reprezintă „începutul”) și coordonatele e(xe,ye) ale punctului final al unui vector (unde e reprezintă „sfârșitul”), putem obține componentele scalare ale unui vector pur și simplu scăzând coordonatele punctului de origine din coordonatele punctului final:
| (2.13) Ax = xe − xb
Ay = ye − yb. |
| EXEMPLUL 2.3
Deplasarea unui indicator al mouse-ului Un indicator al mouse-ului de pe monitorul de afișare al unui computer în poziția sa inițială se află într-un punct (6,0 cm, 1,6 cm) față de colțul din stânga jos. Dacă mutați indicatorul pe o pictogramă situată într-un punct (2,0 cm, 4,5 cm), care este vectorul de deplasare al indicatorului? Strategie Originea sistemului de coordonate xy este colțul din stânga jos al monitorului computerului. Prin urmare, vectorul unitar iˆ de pe axa x este îndreptat orizontal spre dreapta, iar vectorul unitar jˆ de pe axa y este îndreptat vertical în sus. Originea vectorului deplasare este situată în punctul b(6,0, 1,6) iar sfârșitul vectorului deplasării este situat în punctul e(2,0, 4,5). Înlocuiți coordonatele acestor puncte în ecuația 2.13 pentru a găsi componentele scalare Dx și Dy ale vectorului deplasare D⃗ . În cele din urmă, înlocuiți coordonatele în ecuația 2.12 pentru a scrie vectorul deplasare în forma componentei vectoriale. Soluție Identificăm xb = 6,0, xe = 2,0, yb = 1,6 și ye = 4,5, unde unitatea fizică este de 1 cm. Componentele scalare x și y ale vectorului deplasare sunt Dx = xe − xb = (2,0 − 6,0) cm = −4,0 cm, Dy = ye – yb = (4,5 − 1,6) cm = +2,9 cm. Forma componentei vectoriale a vectorului deplasare este (2.14) D⃗ = Dxiˆ + Dyjˆ = (−4,0 cm)iˆ + (2,9 cm)jˆ = (−4,0iˆ + 2,9jˆ) cm. Această soluție este prezentată în Figura 2.17.
Semnificație Observați că unitatea fizică — aici, 1 cm — poate fi plasată fie cu fiecare componentă imediat înaintea vectorului unitar, fie global pentru ambele componente, ca în ecuația 2.14. Adesea, cel din urmă mod este modul mai convenabil, deoarece este mai simplu. Componenta vectorială x, D⃗x = −4.0iˆ = 4.0(−iˆ) a vectorului deplasare are mărimea ∣D⃗x∣ = ∣−4,0∣∣iˆ∣ = 4,0 deoarece mărimea unității vectorul este ∣iˆ∣ = 1. Observați, de asemenea, că direcția componentei x este −iˆ, care este antiparalelă cu direcția axei +x; prin urmare, componenta vectorială x, D⃗x, indică spre stânga, așa cum se arată în Figura 2.17. Componenta scalară x a vectorului D⃗ este Dx = −4,0. În mod similar, componenta vectorială y, D⃗y = +2.9jˆ a vectorului deplasare are mărimea ∣D⃗y∣ = ∣2,9∣∣jˆ∣ = 2,9 deoarece mărimea vectorului unitar este ∣jˆ∣ = 1. Direcția componentei y este +jˆ, care este paralelă cu direcția axei +y. Prin urmare, componenta vectorială y, D⃗y, este orientat în sus, așa cum se vede în Figura 2.17. Componenta scalară y a vectorului D⃗ este Dy = +2,9. Vectorul deplasare D⃗ este rezultanta celor două componente vectoriale ale sale. Forma componentei veectoriale a vectorului de deplasare Ecuația 2.14 ne spune că indicatorul mouse-ului a fost mutat pe monitor cu 4,0 cm la stânga și 2,9 cm în sus față de poziția sa inițială. |
| EXERCIȚIUL 2.4
O muscă albastră aterizează pe o foaie de hârtie milimetrică într-un punct situat la 10,0 cm la dreapta marginii sale stângi și la 8,0 cm deasupra marginii sale inferioare și merge încet până la un punct situat la 5,0 cm de marginea stângă și la 5,0 cm de marginea de jos . Alegeți sistemul de coordonate dreptunghiular cu originea în colțul din stânga jos al hârtiei și găsiți vectorul de deplasare al muștei. Ilustrați-vă soluția prin grafic. |
Când cunoaștem componentele scalare Ax și Ay ale unui vector A⃗, putem găsi mărimea lui A și unghiul său de direcție θA. Unghiul de direcție – sau direcția, pe scurt – este unghiul pe care îl formează vectorul cu direcția pozitivă pe axa x. Unghiul θA se măsoară în sens invers acelor de ceasornic de la axa +x la vector (Figura 2.18). Deoarece lungimile A, Ax și Ay formează un triunghi dreptunghic, ele sunt legate prin teorema lui Pitagora:
(2.15) A2 = A2x + A2y ⇔ A = √( A2x + A2y).
Această ecuație funcționează chiar dacă componentele scalare ale unui vector sunt negative. Unghiul de direcție θA al unui vector este definit prin funcția tangentă a unghiului θA din triunghiul prezentat în figura 2.18:
(2.16) tanθ = Ay/Ax
Figura 2.18 Când vectorul se află fie în primul cadran, fie în al patrulea cadran, unde componenta Ax este pozitivă (Figura 2.19), unghiul de direcție θA din ecuația 2.16) este identic cu unghiul θ.
Când vectorul se află fie în primul cadran, fie în al patrulea cadran, unde componenta Ax este pozitivă (Figura 2.19), unghiul θ din ecuația 2.16 este identic cu unghiul de direcție θA. Pentru vectorii din al patrulea cadran, unghiul θ este negativ, ceea ce înseamnă că pentru acești vectori, unghiul de direcție θA este măsurat în sensul acelor de ceasornic de la axa x pozitivă. În mod similar, pentru vectorii din al doilea cadran, unghiul θ este negativ. Când vectorul se află fie în al doilea, fie în al treilea cadran, unde componenta Ax este negativă, unghiul de direcție este θA = θ + 180° (Figura 2.19).
Figura 2.19 Componentele scalare ale unui vector pot fi pozitive sau negative. Vectorii din primul cadran (I) au ambele componente scalare pozitive, iar vectorii din al treilea cadran au ambele componente scalare negative. Pentru vectorii din cadranele II și III, unghiul de direcție al unui vector este θA = θ + 180°.
| EXEMPLUL 2.4
Mărimea și direcția vectorului de deplasare Mutați un indicator al mouse-ului de pe monitorul de afișare din poziția sa inițială la un punct (6,0 cm, 1,6 cm) la o pictogramă situată la un punct (2,0 cm, 4,5 cm). Care sunt mărimea și direcția vectorului de deplasare al indicatorului? Strategie În Exemplul 2.3, am găsit vectorul de deplasare D⃗ al indicatorului mouse-ului (vezi Ecuația 2.14). Identificăm componentele sale scalare Dx = −4,0 cm și Dy = +2,9 cm și înlocuim în ecuația 2.15 și în ecuația 2.16 pentru a găsi magnitudinea D și, respectiv, direcția θD. Soluție Mărimea vectorului D⃗ este D = √(D2x + D2y) = √((−4,0 cm)2 + (2,9 cm)2) = √((4,0)2 + (2,9)2) cm = 4,9 cm. Unghiul de direcție este tanθ = Dy/Dx = +2,9 cm/−4,0 cm = −0,725 ⇒ θ = tan−1(−0,725) = −35,9°. Vectorul D⃗ se află în al doilea cadran, deci unghiul său de direcție este θD = θ + 180° = −35,9°+180° = 144,1°. |
| EXERCIȚIUL 2.5
Dacă vectorul deplasării unei muște albastre care merge pe o foaie de hârtie milimetrică este D⃗ = (−5,00iˆ − 3,00jˆ) cm, găsiți mărimea și direcția acestuia. |
În multe aplicații, mărimile și direcțiile mărimilor vectoriale sunt cunoscute și trebuie să găsim rezultanta multor vectori. De exemplu, imaginați-vă 400 de mașini care se deplasează pe podul Golden Gate din San Francisco într-un vânt puternic. Fiecare mașină dă podului o împingere diferită în diferite direcții și am dori să știm cât de mare poate fi împingerea rezultată. Am acumulat deja ceva experiență în construcția geometrică a sumelor vectoriale, așa că știm că sarcina de a găsi rezultanta prin desenarea vectorilor și măsurarea lungimii și unghiurilor acestora poate deveni destul de rapid insolubilă, ceea ce duce la erori uriașe. Griji ca aceasta nu apar atunci când folosim metode analitice. Primul pas într-o abordare analitică este găsirea componentelor vectoriale atunci când direcția și mărimea unui vector sunt cunoscute.
Să revenim la triunghiul dreptunghic din figura 2.18. Coeficientul laturii adiacente Ax la ipotenuza A este funcția cosinus a unghiului de direcție θA, Ax/A = cosθA, iar raportul laturii opuse Ay la ipotenuza A este funcția sinus a lui θA, Ay/A = sinθA . Când magnitudinea A și direcția θA sunt cunoscute, putem rezolva aceste relații pentru componentele scalare:
| (2.17) Ax = AcosθA
Ay = AsinθA. |
Când se calculează componente vectoriale cu ecuația 2.17, trebuie avut grijă cu unghiul. Unghiul de direcție θA al unui vector este unghiul măsurat în sens invers acelor de ceasornic de la direcția pozitivă pe axa x la vector. Măsurarea în sensul acelor de ceasornic dă un unghi negativ.
| EXEMPLUL 2.5
Componentele vectorilor de deplasare O grupă de salvare a unui copil dispărut urmărește un câine de căutare pe nume Trooper. Trooper rătăcește mult și face multe adulmecări de probă pe multe căi diferite. Trooper găsește în cele din urmă copilul și povestea are un final fericit, dar deplasările sale pe diverse căi par a fi cu adevărat complicate. Pe una dintre căi merge 200,0 m spre sud-est, apoi aleargă spre nord aproximativ 300,0 m. Pe a treia cale, el examinează cu atenție parfumurile timp de 50,0 m în direcția 30° vest de la nord. Pe a patra cale, Trooper merge direct spre sud 80,0 m, miroase un parfum proaspăt și se întoarce la 23° vest de la sud pe 150,0 m. Găsiți componentele scalare ale vectorilor de deplasare ai lui Trooper și vectorii săi de deplasare sub formă de componente vectoriale pentru fiecare cale. Strategie Să adoptăm un sistem de coordonate dreptunghiulare cu axa x pozitivă în direcția estului geografic, cu direcția y pozitivă îndreptată spre nordul geografic. În mod explicit, vectorul unitar iˆ al axei x indică spre est și vectorul unitar jˆ al axei y indică spre nord. Trooper merge pe cinci căi, deci există cinci vectori de deplasare. Începem prin a identifica mărimile și unghiurile de direcție ale acestora, apoi folosim ecuația 2.17 pentru a găsi componentele scalare ale deplasărilor și ecuația 2.12 pentru vectorii de deplasare. Soluție Pe prima cale, magnitudinea deplasării este L1 = 200,0m și direcția este sud-est. Pentru unghiul de direcție θ1 putem lua fie 45° măsurat în sensul acelor de ceasornic din direcția est, fie 45° + 270° măsurat în sens invers acelor de ceasornic din direcția est. Cu prima alegere, θ1 = −45°. Cu a doua alegere, θ1 = +315°. Putem folosi oricare dintre aceste două unghiuri. Componentele sunt L1x = L1cosθ1 = (200,0 m)cos315° = 141,4 m, L1y = L1sinθ1 = (200,0 m)sin315° = −141,4m. Vectorul deplasare al primului segment este L⃗1 = L1xiˆ + L1yjˆ = (141,4iˆ − 141,4jˆ) m. În a doua etapă a rătăcirii lui Trooper, magnitudinea deplasării este L2 = 300,0 m și direcția este nord. Unghiul de direcție este θ2 = +90°. Obținem următoarele rezultate: L2x = L2cosθ2 = (300,0 m)cos90° = 0,0, L2y = L2sinθ2 = (300,0 m)sin90° = 300,0 m, L⃗2 = L2xiˆ + L2yjˆ = (300,0m)jˆ. Pe al treilea segment, magnitudinea deplasării este L3 = 50,0 m și direcția este la 30° vest de la nord. Unghiul de direcție măsurat în sens invers acelor de ceasornic față de direcția de est este θ3 = 30° + 90° = +120°. Aceasta oferă următoarele răspunsuri: L3x = L3cosθ3 = (50,0 m)cos120° = −25,0 m, L3y = L3sinθ3 = (50,0 m)sin120° = +43,3 m, L⃗3 = L3xiˆ + L3yjˆ = (−25,0iˆ + 43,3jˆ) m. În a patra etapă a excursiei, magnitudinea deplasării este L4 = 80,0 m și direcția este sud. Unghiul de direcție poate fi considerat fie θ4 = −90°, fie θ4 = +270°. Obținem L4x = L4cosθ4 = (80,0 m)cos(−90°) = 0, L4y = L4sinθ4 = (80,0 m)sin(−90°) = −80,0 m, L⃗4 = L4xiˆ + L4yjˆ = (−80,0 m)jˆ. Pe ultimul drum, magnitudinea este L5 = 150,0 m și unghiul este θ5 = −23°+270° = +247° (23° vest de sud), ceea ce dă L5x = L5cosθ5 = (150,0 m)cos247° = −58,6 m, L5y = L5sinθ5 = (150,0 m)sin247° = −138,1 m, L⃗5 = L5xiˆ + L5yjˆ = (−58,6iˆ − 138,1jˆ) m. |
| EXERCIȚIUL 2.6
Dacă Trooper aleargă 20 m spre vest înainte de a se odihni, care este vectorul său de deplasare? |
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult
Mecanica fenomenologică
O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult
Lasă un răspuns