În sistemul de coordonate cartezian, produsele scalare ale vectorului unitar al unei axe cu alți vectori unitari ai axelor se anulează întotdeauna deoarece acești vectori unitari sunt ortogonal:
𝐢·̂𝐣=∣̂𝐢∣∣̂𝐣∣cos90°=(1)(1)(0)=0,
𝐢·̂𝐤=∣̂𝐢∣∣̂𝐤∣cos90°=(1)(1)(0)=0, (2.29)
𝐤·̂𝐣=∣̂𝐤∣̂𝐣∣cos90°=(1)(1)(0)=0.
În aceste ecuații, folosim faptul că magnitudinile tuturor vectorilor unitari sunt egale cu unu: ∣𝐢∣=∣̂𝐣∣=∣̂𝐤∣=1. Pentru vectorii unitari ai axelor, Ecuația 2.28 dă următoarele identități:
̂𝐢·̂𝐢=𝑖2=̂𝐣·̂𝐣=𝑗2=̂𝐤·̂𝐤=𝑘2=1. (2.30)
Produsul scalar 𝐀·𝐁 poate fi interpretat și ca produsul lui B cu proiecția 𝐴ǁ a vectorului 𝐀 pe direcția vectorului 𝐁 (Figura 2.27(b)) sau produsul lui A cu proiecția 𝐵ǁ a vectorului 𝐁 pe direcția vectorului 𝐀 (Figura 2.27(c)):
𝐀·𝐁=𝐴𝐵cos𝜑
=𝐵(𝐴cos𝜑)=𝐵𝐴ǁ
=𝐴(𝐵cos𝜑)=𝐴𝐵ǁ.
De exemplu, în sistemul de coordonate dreptunghiulare într-un plan, componenta scalară x a unui vector este produsul său scalar cu vectorul unitar ̂𝐢, iar componenta scalară y a unui vector este produsul său scalar cu vectorul unitar ̂𝐣:
𝐀·̂𝐢=∣𝐀∣∣̂𝐢∣cos𝜃𝐴=𝐴cos𝜃𝐴=𝐴𝑥
𝐀·̂𝐣=∣𝐀∣∣̂𝐣∣cos(90°−𝜃𝐴)=𝐴sin𝜃𝐴=𝐴𝑦.
Înmulțirea scalară a vectorilor este comutativă,
| 𝐀·𝐁=𝐁·𝐀, (2.31) |
și respectă legea distributivă:
| 𝐀·(𝐁+𝐂)=𝐀·𝐁+𝐀·𝐂. (2.32) |
Putem folosi legile comutative și distributive pentru a deriva diverse relații pentru vectori, cum ar fi exprimarea produsului scalar a doi vectori în funcție de componentele lor scalare.
| EXERCIȚIUL 2.12
Pentru vectorul 𝐀=𝐴𝑥𝐢+𝐴𝑦𝐣+𝐴𝑧𝐤 într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, utilizați ecuația 2.29 până la ecuația 2.32 pentru a arăta că 𝐀·̂𝐢=𝐴𝑥 𝐀·̂𝐣=𝐴𝑦 și 𝐀·̂𝐤=𝐴𝑧. |
Când vectorii din Ecuația 2.27 sunt dați în formele componentelor lor vectoriale,
𝐀=𝐴𝑥𝐢+𝐴𝑦𝐣+𝐴𝑧𝐤 și 𝐁=𝐵𝑥𝐢+𝐵𝑦𝐣+𝐵𝑧𝐤,
putem calcula produsul lor scalar după cum urmează:
𝐀·𝐁=(𝐴𝑥𝐢+𝐴𝑦𝐣+𝐴𝑧𝐤)·(𝐵𝑥𝐢+𝐵𝑦𝐣+𝐵𝑧𝐤)
=𝐴𝑥𝐵𝑥𝐢·̂𝐢+𝐴𝑥𝐵𝑦𝐢·̂𝐣+𝐴𝑥𝐵𝑧𝐢·̂𝐤
+𝐴𝑦𝐵𝑥𝐣·̂𝐢+𝐴𝑦𝐵𝑦𝐣·̂𝐣+𝐴𝑦𝐵𝑧𝐣·̂𝐤
+𝐴𝑧𝐵𝑥𝐤·̂𝐢+𝐴𝑧𝐵𝑦𝐤·̂𝐣+𝐴𝑧𝐵𝑧𝐤·̂𝐤.
Deoarece produsele scalare ale doi vectori unitari diferiți de axe dau zero, iar produsele scalare ale vectorilor unitari cu ei înșiși dau unu (vezi Ecuația 2.29 și Ecuația 2.30), există doar trei termeni nenuli în această expresie. Astfel, produsul scalar se simplifică la
| 𝐀·𝐁=𝐴𝑥𝐵𝑥+𝐴𝑦𝐵𝑦+𝐴𝑧𝐵𝑧. (2.33) |
Putem folosi ecuația 2.33 pentru produsul scalar în funcție de componentele scalare ale vectorilor pentru a găsi unghiul dintre doi vectori. Când împărțim ecuația 2.27 la AB, obținem ecuația pentru cos𝜑, în care înlocuim ecuația 2.33:
| cos𝜑=𝐀·𝐁/𝐴𝐵=(𝐴𝑥𝐵𝑥+𝐴𝑦𝐵𝑦+𝐴𝑧𝐵𝑧)/𝐴𝐵. (2.34) |
Unghiul 𝜑 dintre vectorii 𝐀 și 𝐁 se obține luând inversul cosinusului expresiei din ecuația 2.34.
| EXEMPLUL 2.16
Unghiul dintre două forțe Trei câini trag de un băț în direcții diferite, așa cum se arată în Figura 2.28. Primul câine trage cu forță 𝐅1 = (10,0̂𝐢 – 20,4̂𝐣 + 2,0̂𝐤)N, al doilea câine trage cu forță 𝐅2 = (−15,0̂𝐢 – 6,2̂𝐤)N, iar al treilea câine trage cu forță 𝐅3 = (5,0̂𝐢 + 12,5̂𝐣)N. Care este unghiul dintre forțele 𝐅1 și 𝐅2?
Figura 2.28 Trei câini se joacă cu un băț. Strategie Componentele vectorului forță 𝐅1 sunt 𝐹1𝑥 = 10,0N, 𝐹1𝑦 = −20,4 N și 𝐹1𝑧 = 2,0 N, în timp ce cele ale vectorului forță 𝐅2 sunt 𝐹2𝑥 = −15,0 N, 𝐹2𝑦 = 0,0 N și 𝐹2𝑧 = −6,2 N. Calculând produsul scalar al acestor vectori și magnitudinile lor și substituind în Ecuația 2.34 se obține unghiul de interes. Soluție Mărimile forțelor 𝐅1 și 𝐅2 sunt 𝐹1=√𝐹21𝑥 + 𝐹21𝑦 + 𝐹21𝑧) = √(10,02 + 20,42 + 2,02) N = 22,8 N și 𝐹2 = √(𝐹22𝑥 + 𝐹22𝑦 + 𝐹22𝑧) = √(15,02 + 6,22)N = 16,2 N. Înlocuind componentele scalare în Ecuația 2.33 rezultă produsul scalar 𝐅1·𝐅2 = 𝐹1𝑥𝐹2𝑥 + 𝐹1𝑦𝐹2𝑦 + 𝐹1𝑧𝐹2𝑧 =(10,0 N)(−15,0 N) + (−20,4 N)(0,0 N) + (2,0 N)(−6,2 N) =−162,4 N2. În final, înlocuind totul în Ecuația 2.34 se obține unghiul cos𝜑 = 𝐅1·𝐅2/𝐹1𝐹2 = −162,4 N2/(22,8 N)(16,2 N) = −0,439 ⇒ 𝜑 = cos−1(−0,439) = 116,0°. Semnificație Observați că atunci când vectorii sunt dați în funcție de vectorii unitari ai axelor, putem găsi unghiul dintre ei fără a cunoaște specificul direcțiilor geografice pe care le reprezintă vectorii unitari. Aici, de exemplu, direcția +x ar putea fi spre est, iar direcția +y ar putea fi spre nord. Dar unghiul dintre forțe în problemă este același dacă direcția +x este spre vest, iar direcția +y este spre sud. |
| EXERCIȚIUL 2.13
Găsiți unghiul dintre forțele 𝐅1 și 𝐅3 din Exemplul 2.16. |
| EXEMPLUL 2.17
Lucrul mecanic al unei forțe Când forța 𝐅 trage un obiect și când îi provoacă deplasarea 𝐃, spunem că forța efectuează un lucru mecanic. Cantitatea de lucru mecanic efectuată de forță este produsul scalar 𝐅·𝐃. Dacă bățul din Exemplul 2.16 se mișcă momentan și este deplasat de vectorul 𝐃 = (−7,9̂𝐣 – 4,2̂𝐤) cm, cât lucru mecanic este efectuat de al treilea câine din Exemplul 2.16? Strategie Calculăm produsul scalar al vectorului deplasare 𝐃 cu vectorul forță 𝐅3 = (5,0̂𝐢 + 12,5̂𝐣) N, care este forța de atracție a celui de-al treilea câine. Să folosim 𝑊3 pentru a desemna lucrul mecanic efectuat de forța 𝐅3 la deplasare 𝐃. Soluție Calcularea lucrului mecanic este o aplicație simplă a produsului scalar: 𝑊3 = 𝐅3·𝐃 = 𝐹3𝑥𝐷𝑥 + 𝐹3𝑦𝐷𝑦 + 𝐹3𝑧𝐷𝑧 = (5,0 N)(0,0 cm) + (12,5 N)(−7,9 cm) + (0,0 N)(−4,2 cm) = −98,7 N·cm. Semnificație Unitatea SI de lucru mecanic se numește joule (J), unde 1 J = 1 N·m. Unitatea cm·N poate fi scrisă ca 10−2 m·N = 10−2 J, deci răspunsul poate fi exprimat ca 𝑊3 = −0,9875 J ≈ −1,0 J. |
| EXERCIȚIUL 2.14
Cât lucru mecanic este efectuat de primul câine și de al doilea câine din Exemplul 2.16 privind deplasarea din Exemplul 2.17? |
2.14: 𝑊1 = 1,5 J, 𝑊2 = 0,3 J
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2026 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Evoluția și etica eugeniei
Transformă-ți perspectiva asupra geneticii și eugeniei citind această lucrare captivantă!
Căutarea, extragerea, organizarea și evaluarea informațiilor
Transformă informația în putere cu ajutorul acestei cărți indispensabile!
Introducere în inteligența artificială
Pășește în era digitală pregătit să înțelegi și să aplici conceptele care schimbă lumea!
Descoperă mai multe la MultiMedia
Abonează-te ca să primești ultimele articole prin email.
Lasă un răspuns